h: R → R, h(x) = |2x - 4| fonksiyonunun grafiğini çiziniz?
Cevap:
Fonksiyonun grafiğini çizmek için önce fonksiyonun parçalar halinde nasıl davrandığını incelemeliyiz. Mutlak değer işareti fonksiyonun tanımına göre pozitif sonuç verir ve mutlak değerden kurtulmak için iç ifadenin işaretine göre durumu inceleriz.
1. Adım: Fonksiyonu Parçalı Olarak İncelemek
Fonksiyon ( h(x) = |2x - 4| ). Burada mutlak değer ifadesi içinde bir lineer fonksiyon var: ( 2x - 4 ).
- Mutlak Değerin Tanımı:
[
|a| =
\begin{cases}
a, & \text{eğer } a \geq 0 \
-a, & \text{eğer } a < 0 \
\end{cases}
]
Fonksiyonun Parçalı Tanımı:
-
( 2x - 4 \geq 0 ) ise, ( h(x) = 2x - 4 ).
- Buradan ( 2x \geq 4 ) olması gerektiğini buluruz, yani ( x \geq 2 ).
-
( 2x - 4 < 0 ) ise, ( h(x) = -(2x - 4) = -2x + 4 ).
- Buradan ( 2x < 4 ) olur, yani ( x < 2 ).
Parçalara Göre Fonksiyon:
[
h(x) =
\begin{cases}
2x - 4, & x \geq 2 \
-2x + 4, & x < 2 \
\end{cases}
]
2. Adım: Fonksiyonun Grafiğini Çizmek
Her iki parçayı ayrı ayrı inceleyerek grafiği çizeceğiz.
-
( h(x) = 2x - 4 ) için (x ≥ 2):
- ( x = 2 ) için ( h(x) = 0 ).
- ( x = 3 ) için ( h(x) = 2(3) - 4 = 2 ), yani (3, 2) noktası.
-
( h(x) = -2x + 4 ) için (x < 2):
- ( x = 0 ) için ( h(x) = 4 ) olur, yani (0, 4) noktası.
- ( x = 1 ) için ( h(x) = 2 ) olur, yani (1, 2) noktası.
Sonuç: Grafiğin Çizimi
Yukarıdaki analiz sonucunda, grafiği çizebiliriz.
- Grafikte ( x = 2 ) noktası grafiğin köşe noktasıdır ve burada iki eğim birleşir.
- ( x < 2 ) için grafiğimiz, ( (0, 4) ) ve ( (1, 2) ) noktalarından geçen negatif eğimli bir doğru parçasıdır.
- ( x \geq 2 ) için grafiğimiz, ( (2, 0) ) ve ( (3, 2) ) noktalarından geçen pozitif eğimli bir doğru parçasıdır.
Son Çözüm:
Grafik, iki doğru parçasından oluşur ve ( x = 2 ) noktasında kırılır. Bu parçalara ait doğruların eğimleri ve kesişimleri belirtilmiştir. Grafiği çizerken bu noktaları ve eğimleri dikkate alarak birleştirebilirsiniz.