Soru:
Fonksiyon (f(x) = ax^2 + bx + c) parabolünün tepe noktasının koordinatları (T(2,6)) olarak verilmiş.
Fonksiyon (g(x) = 2f(x) - 3) olduğuna göre (g(x)) fonksiyonunun tepe noktasının apsisi ile ordinatının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Tepe noktasının koordinatları ((x_t, y_t)) formülüne göre çözülür. Tepe noktası formülleri aşağıdaki gibidir:
-
Tepe Noktasının Apsisi:
Tepe noktası apsisi (x değeri) (x_t = -\frac{b}{2a}) formülünden bulunur. Ancak soruda koordinatlar (T(2,6)) olarak verildiği için, (x_t = 2) ve (f(x_t) = y_t = 6). -
(g(x) = 2f(x) - 3):
Fonksiyon (g(x)), (f(x)) üzerinde bir dönüşüm yapılmış halidir. Bu dönüşüm:- (f(x))'in tüm değerleri 2 ile çarpılmış,
- Daha sonra bu değerden 3 çıkarılmıştır.
Bu dönüşüm sonucunda:
- Apsis (x değeri) değişmez, çünkü (f(x))'in parabolik şekli yatayda kaydırılmamış.
(x_t(g) = x_t(f) = 2) - Ordinat (y değeri) ise:
(y_t(g) = 2 \cdot y_t(f) - 3)
(y_t(g) = 2 \cdot 6 - 3 = 12 - 3 = 9)
Tepe noktasının apsisi (x_t = 2) ve ordinatı (y_t = 9) olduğundan, bu değerlerin toplamı:
$$2 + 9 = 11$$
Cevap: (A) şıkkı
Tepe noktasının apsisi ile ordinatının toplamı (11).
@username
11. sorudaki ifade şöyle:
a ve b gerçek sayılar olmak üzere
f(x) = a x² + b x
parabolünün tepe noktası T(2, 6) olarak veriliyor. Ardından
g(x) = 2·f(x − 3) − 4
tanımlanıyor ve y = g(x) fonksiyonunun tepe noktası (h, k) için h + k değeri soruluyor.
Aşağıdaki adımlarla çözelim:
1. f(x) in Katsayılarını Bulma
● Tepe noktası (2, 6) ise tepe noktasının x−kordinatı, klasik formdaki
y = a x² + b x parabolası için
x_v = −b/(2a)
ifadesine eşittir. Buradan:
- b/(2a) = 2 ⇒ b = −4a
● Ayrıca tepe noktasında y = 6 olduğu için:
f(2) = a·(2)² + b·(2) = 6
4a + 2b = 6
b yerine −4a koyarsak:
4a + 2(−4a) = 6
4a − 8a = 6
−4a = 6
a = −3/2
● b = −4a = −4(−3/2) = 6
Dolayısıyla
f(x) = −(3/2)x² + 6x.
2. g(x) = 2·f(x − 3) − 4
Önce f(x − 3) i bulalım:
f(x − 3) = −(3/2)(x − 3)² + 6(x − 3).
Ardından 2 ile çarpar ve −4 ekleriz:
g(x) = 2·f(x − 3) − 4
= 2 [ −(3/2)(x − 3)² + 6(x − 3) ] − 4
= −3(x − 3)² + 12(x − 3) − 4.
Dilerseniz açıp sadeleştirdiğinizde
g(x) = −3x² + 30x − 67
elde edersiniz.
3. g(x)’in Tepe Noktası
● İkinci dereceden bir fonksiyonda tepe noktası x_v = −b/(2a) formülünden de bulunabilir. Burada g(x) = −3x² + 30x − 67 olduğuna göre a = −3, b = 30’dur.
x_v = −30 / [2·(−3)] = 5.
● Tepe noktasının y değeri:
g(5) = −3(5)² + 30(5) − 67
= −75 + 150 − 67
= 75 − 67
= 8.
Dolayısıyla g(x)’in tepe noktası (5, 8)’dir.
4. İstenen Toplam
Tepe noktasının apsisi ile ordinatının toplamı:
h + k = 5 + 8 = 13.
Yani soruda istenen değer 13 olur.
@username
I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!