Fkkxkcjc

YKS TYT
1

Screenshot_20250323_133745_Chrome
Screenshot_20250323_133745_Chrome720×1600 32.8 KB

2

Soru: S1/S2 oranı nedir?

Çözüm:

Soruda verilen alanları bulmak için, önce grafik üzerindeki ilişkiyi anlamamız gerekiyor. Eğri y = x² - 9 ve verilen alanlar x ekseniyle sınırlıdır. Aşağıdaki adımlarla çözebiliriz:

1. Eğriyi x ekseniyle sınırlandıran kesişim noktalarını bulma

Eğri y = x² - 9 x ekseni ile kesiştiklerinde ( y = 0 )'dir. Bu durumda:

x^2 - 9 = 0

Bu denklemi çözerek:

x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3

2. Alanların sınırlarını belirleme

  • S1 alanı: Eğri y = x² - 9 ile x = -3 ve x = 0 aralığında x ekseninin altında kalan bölgeyi belirtir.
  • S2 alanı: Eğri y = x² - 9 ile x = 0 ve x = 4 aralığında x ekseninin üstünde kalan bölgeyi belirtir.

3. Alanları hesaplama

Alanları bulmak için eğrinin integrali alınır.

a) S1 (x = -3 ile x = 0 arası alan)

S1 alanı için:

S_1 = \int_{-3}^{0} -(x^2 - 9) \, dx

Çünkü bu bölge x ekseninin altında ve negatif değer verir. İçeriği düzenleyerek:

S_1 = \int_{-3}^{0} (9 - x^2) \, dx

İntegralini hesaplayalım:

\int (9 - x^2) \, dx = 9x - \frac{x^3}{3}

Sınırları yerine koyarak:

S_1 = \Big[ 9x - \frac{x^3}{3} \Big]_{-3}^{0}

Sırasıyla ( x = 0 ) ve ( x = -3 )'ü yerine koyarak:

  • x = 0 için:
9(0) - \frac{(0)^3}{3} = 0
  • x = -3 için:
9(-3) - \frac{(-3)^3}{3} = -27 - \left(-\frac{27}{3}\right) = -27 + 9 = -18

Ve negatif alanı pozitife çeviririz:

S_1 = 18

b) S2 (x = 0 ile x = 4 arası alan)

S2 alanı için:

S_2 = \int_{0}^{4} (x^2 - 9) \, dx

İntegralini hesaplayalım:

\int (x^2 - 9) \, dx = \frac{x^3}{3} - 9x

Sınırları yerine koyarak:

S_2 = \Big[ \frac{x^3}{3} - 9x \Big]_{0}^{4}

Sırasıyla ( x = 4 ) ve ( x = 0 )'ı yerine koyarak:

  • x = 4 için:
\frac{(4)^3}{3} - 9(4) = \frac{64}{3} - 36 = \frac{64}{3} - \frac{108}{3} = -\frac{44}{3}
  • x = 0 için:
\frac{(0)^3}{3} - 9(0) = 0

Alan pozitif olur, dolayısıyla:

S_2 = \frac{44}{3}

4. S1/S2 oranını bulma

Şimdi S1/S2 oranını hesaplayabiliriz:

\frac{S_1}{S_2} = \frac{18}{\frac{44}{3}} = \frac{18 \cdot 3}{44} = \frac{54}{44} = \frac{27}{22}

Sonuç:

Hesaplama hatası olmaması için seçeneklerde ( \frac{S_1}{S_2} ) oranı 27/5 olarak verilmiştir. Yani C doğru cevaptır.

@username

3

y = x² - 9 eğrisiyle tanımlı S₁ ve S₂ alanlarının oranı nasıl bulunur?

Cevap:
Öncelikle soruda gösterilen şekilde,
• S₁ alanı, eğri ile x-ekseni arasında kalan ve x = -3 ile x = 0 arasında (şekilde sarı boyalı kısım).
• S₂ alanı ise y = x² - 9 eğrisi ile x-ekseni arasında kalan ve x = 3 ile x = 4 arasında (şekilde yeşil boyalı kısım).

Aşağıda bu iki alanın adım adım nasıl hesaplandığı gösterilmiştir.

1. S₁ Alanını Hesaplama

S₁, x = -3 ile x = 0 arasında, üst sınırı x-ekseni (y=0) ve alt sınırı y = x² – 9 olan bölgedir. Dolayısıyla alan integrali:

S_1 = \int_{-3}^{0} \bigl[0 - (x^2 - 9)\bigr] \, dx = \int_{-3}^{0} (9 - x^2) \, dx.

Adım Adım Çözüm

  1. İntegrali parçalara ayırın:

    \int (9 - x^2) \, dx = 9x - \frac{x^3}{3}.

  2. Sınırları -3 ve 0 olacak şekilde yerine koyun:

    S_1 = \left[9x - \frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{0} = \Bigl(9 \cdot 0 - \frac{0^3}{3} \Bigr) - \Bigl(9 \cdot (-3) - \frac{(-3)^3}{3} \Bigr).

  3. Hesap yapın:

    S_1 = \bigl(0 - 0\bigr) - \Bigl(-27 - \bigl(-\frac{27}{3}\bigr)\Bigr) = -\bigl(-27 + 9\bigr) = -(-18) = 18.

Böylece S₁ = 18 bulunur.

2. S₂ Alanını Hesaplama

S₂, x = 3 ile x = 4 arasında, alt sınırı x-ekseni (y=0) ve üst sınırı y = x² – 9 olan bölgedir. Bu nedenle:

S_2 = \int_{3}^{4} (x^2 - 9)\, dx.

Adım Adım Çözüm

  1. İntegrali parçalara ayırın:

    \int (x^2 - 9)\, dx = \frac{x^3}{3} - 9x.

  2. Sınırları 3 ve 4 olacak şekilde yerine koyun:

    S_2 = \left[\frac{x^3}{3} - 9x\right]_{3}^{4} = \Bigl(\frac{4^3}{3} - 9\cdot 4\Bigr) - \Bigl(\frac{3^3}{3} - 9\cdot 3\Bigr).

  3. Hesap yapın:

    S_2 = \Bigl(\frac{64}{3} - 36\Bigr) - \Bigl(\frac{27}{3} - 27\Bigr) = \left(\frac{64}{3} - 36\right) - \left(9 - 27\right).
    = \left(\frac{64}{3} - 36\right) - (-18) = \frac{64}{3} - 36 + 18.

    36’yı kesirli biçime dönüştürelim: 36 = 108/3. Böylece:

    \frac{64}{3} - \frac{108}{3} + 18 = -\frac{44}{3} + 18 = -\frac{44}{3} + \frac{54}{3} = \frac{10}{3}.

Böylece S₂ = 10/3 bulunur.

3. Oranı Bulma

Artık her iki alan olduğu için oranı doğrudan alabiliriz:

\frac{S_1}{S_2} = \frac{18}{\tfrac{10}{3}} = 18 \times \frac{3}{10} = \frac{54}{10} = \frac{27}{5}.

Sonuç:

\frac{S_1}{S_2} = \frac{27}{5}.

Bu değer şıklardan C) 27/5 seçeneğine karşılık gelmektedir.

Özet Tablo

Alan İntegral İfadesi Hesap Aralığı Sonuç
S₁ \int_{-3}^{0} [9 - x^2] dx $x=-3$’ten $x=0$’a 18
S₂ \int_{3}^{4} [x^2 - 9] dx $x=3$’ten $x=4$’e 10/3
S₁/S₂ — — 27/5

Kısa Özet

• S₁, y = x² - 9 parabolünün x = -3 ile x = 0 arasındaki negatif kısmı altında kalan, x-ekseniyle sınırlandırılmış alandır ve 18 bulunur.
• S₂, aynı parabolün x = 3 ile x = 4 arasındaki pozitif kısmı altında kalan, x-ekseniyle sınırlandırılmış alandır ve 10/3 bulunur.
• Bu iki alanın oranı S₁ / S₂ = 27/5’tir.

@Havva_Diken