Verilen soruyu çözmek için öncelikle fonksiyonun türevini alalım.
Fonksiyon:
Bu ifade, f(x)'in türevini içeriyor. Türev kurallarını uygulayalım:
Adım 1: Türevini alın
Bu, orijinal fonksiyonun türevidir.
Adım 2: İkinci türevi alın
Şimdi, \frac{d}{dx}f(x)'i hesaplayalım:
Adım 3: x = -1 değerini yerine koyarak hesaplayın
Sonuç:
İşlemin sonucu -6. Doğru seçenek: A).
@username
f(x) = d/dx (x³ + 6x + 5) fonksiyonu için, f(x)’in türevinin x = -1’deki değeri nedir?
Cevap:
f(x) fonksiyonunu adım adım inceleyelim:
• Öncelikle verilen ifadedeki türev:
f(x) = (d/dx)(x³ + 6x + 5)
Dolayısıyla,
f(x) = 3x² + 6.
• Şimdi f(x)’in türevini alalım:
f’(x) = d/dx (3x² + 6) = 6x.
• İstenen değer f’(–1)’dir. x yerine –1 koyarsak:
f’(–1) = 6・(–1) = –6.
Bu hesaplamaya göre, doğru seçenek –6 olur.
@User
f(x) = d/dx (x^3 + 6x + 5) fonksiyonu için d/dx [f(x)] | x = -1 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: Bu soru, söz konusu fonksiyonun ikinci türevini x = -1 noktasında değerlendirmemizi gerektirir. Bu işlemin sonucu -6’dır. Ancak bu cevabı netleştirmek için adımları ayrıntılı bir şekilde inceleyelim.
Derivasyon (Türev) Kavramının Hatırlanması
Analizde (Calculus), bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranını ifade eder. Bulgularımızı adım adım netleştirerek şöyle açıklayabiliriz:
- Birinci Türev (f(x)): Orijinal fonksiyondan hareketle elde edilir.
- İkinci Türev (f’(x)): Birinci türevin türevine ikinci türev denir. Bu, fonksiyonun “eğiminin değişim oranını” belirtir.
Bu soruda bize verilen tanım şu şekildedir:
- f(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x + 5).
- İstenilen ise \frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr] \Big|_{x=-1}, yani $f(x)$’in türevini x=-1 noktasında hesaplamaktır.
Birinci Türevi Bulma
Verilen fonksiyonun ifadesi:
Bu ifadenin hesaplanması için polinom türev kuralları uygulanır:
- $x^3$’ün türevi 3x^2.
- 6x ifadesinin türevi 6.
- Sabit bir sayının (+5) türevi $0$’dır.
Dolayısıyla,
Bu aşamada f(x), x^3 + 6x +5 ifadesinin türevi olarak tanımlanmış yeni bir fonksiyondur.
İkinci Türevi Bulma
Soruda asıl istenen, bulduğumuz f(x) fonksiyonunun türevini almaktır. Başka bir deyişle ikinci türevi arıyoruz. Bunu şöyle yazabiliriz:
Polinom türev kuralı gereği:
- 3x^2 ifadesinin türevi 6x.
- 6 (sabit) ifadesinin türevi $0$’dır.
Dolayısıyla,
Burada f'(x), orijinal fonksiyonun ikinci türeviyle aynı anlama gelir; çünkü f(x) zaten birinci türevdi.
İkinci Türevi x = -1 Noktasında Hesaplama
Şimdi elimizde ikinci türev fonksiyonu f'(x) = 6x. Soru bizden x = -1 olduğu durumda bu değerin sonucunu istemektedir:
Dolayısıyla, soruda geçen \frac{d}{dx}[f(x)] \big|_{x = -1} işleminin sonucu -6 olarak bulunur.
Adım Adım Özet Tablosu
Aşağıda, tüm süreci özet tablo şeklinde görebilirsiniz:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. f(x) Tanımı | f(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x + 5) | f(x) = 3x^2 + 6 |
| 2. f’(x) (İkinci Türev) | \frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr] = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6) | f'(x) = 6x |
| 3. İstenen Noktada Değerini Bulma | f'(-1) = 6 \cdot (-1) | -6 |
| 4. Nihai Cevap | Soru: $\frac{d}{dx} f(x)\Big | _{x=-1}$ nedir? |
Kapsamlı Açıklama ve Ek Bilgiler
-
Türevin Yorumlanması
- Birinci türev (f(x)), orijinal fonksiyonun eğim fonksiyonudur. x^3 + 6x + 5 fonksiyonunun eğim değerlerini f(x) = 3x^2 + 6 vererek elde ederiz.
- İkinci türev (f’(x)), eğimin değişim hızını gösterir; yani f(x) fonksiyonunun nasıl değiştiğini anlatır. Burada f'(x) = 6x, değer olarak x değiştikçe eğimin nasıl farklılaştığını gösterir.
-
Polinomlarda Türev Almak
- Polinomların türevi alınırken her terimin derecesi çarpan olarak öne iner ve derecesi bir azalır. Örneğin, x^3 → 3x^2.
- Sabit terimin (5) türevi her zaman 0 olur.
- Toplama, çıkarma kuralı gereği terimler ayrı ayrı türevlenir ve birleşir.
-
Neden f’(-1) İsteniyor?
- Sınav veya test sorularında belirli bir noktadaki türev değeri, fonksiyonun tam olarak o noktadaki eğim veya eğim değişim bilgisini verir. Örneğin x=-1 noktasında bulduğumuz -6 değeri, o noktada ikinci türevi temsil eder.
- Daha ileri uygulamalarda bu bilgi, örneğin bir fonksiyonun konkav ya da konveks (eğrinin yukarı veya aşağı bakan) olup olmadığını belirlemede kullanışlıdır. İkinci türev negatif olduğunda (burada -6) fonksiyon o aralıkta konkav (aşağı doğru açılan) olma eğilimindedir.
-
Sonucun Seçeneklerle İlişkisi
- Sorudaki şıklardan A) -6, B) -4, C) -2, D) 0, E) 9 verilmiştir. Bizim bulduğumuz sonuç, A- seçeneği olan -6 ’ya denk gelir.
-
Özet ve Kazanımlar
- Bu alıştırma, basit polinomlar üzerinden türev ve ikinci türev almayı pekiştirilmek üzere tasarlanmıştır.
- Öğrencilerin, bir fonksiyonun birinci türevine ek olarak o türevin de türevi alınarak ikinci türeve ulaşma becerilerini sağlamlaştırmaları amaçlanmaktadır.
Öğrenciler, benzer sorularda önce verilen fonksiyonu açıkça türevlemek, sonra çıkan sonucu tekrar türevlemek ve belirtilen noktada yerine koyarak değer bulma adımlarını sistematik olarak takip etmelidir. Bu aşamalar, fonksiyonun derecesine, katsayılarına ve o fonksiyonun türüne (polinom, üstel, logaritmik vb.) bağlı olarak değişiklik gösterebilir ancak temel yaklaşım aynı kalır.
Sonuç olarak, \frac{d}{dx} f(x) \Big|_{x=-1} sorulduğunda, aldığımız değer -6 olmaktadır. Bu, ikinci türev yaklaşımıyla eksiksiz bir şekilde doğrulanmıştır.