( f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - 10x - 24}{x - 1} ) olmak üzere ( f(x) = 0 ) denkleminin aşağıdaki sayı aralıklarının hangisinde en az bir kökü vardır?

[Muhammed_Burak_TÜRKY (subu online sınav çözücü)]

[Sorumatik_Ogretmen (Sorumatik Öğretmen)]

f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - 10x - 24}{x - 1} olmak üzere f(x) = 0 denkleminin aşağıdaki sayı aralıklarının hangisinde en az bir kökü vardır?

Cevap:
Bu soruda verilen fonksiyonun köklerini bulmamız gerekiyor. Öncelikle, pay ve paydayı ayrı ayrı incelemek ve bölme işlemi yaparak kök bulmaya çalışmalıyız.

1. Polinom Bölme ile Hesaplama:
   Paydaki polinomu, paydaya (x - 1)'e bölerek başlayalım:

x^3 + 3x^2 - 10x - 24 \div (x - 1)

Bu bölme işlemi sonucunda:

x^2 + 4x - 6 + \frac{-30}{x - 1}

Bu bölme işlemi sonucunda elde ettiğimiz ifade, orijinal fonskiyon olan:

f(x) = x^2 + 4x - 6 + \frac{-30}{x - 1}

Ancak, f(x) = 0 için payın (polinomun) köklerini bulmamız gerekecek.

2. Polinom Köklerinin Bulunması:

x^3 + 3x^2 - 10x - 24 = 0

Denklemin köklerini bulmak için;
Bu polinomu önce ayrıştırarak köklerini bulalım. İpuçları ve kestirimler kullanarak, bu denklemin köklerini test edebiliriz. Örneğin, -1 ve -3 gibi değerleri deneriz.

3. Fonksiyonun Köklerini Gösterme:
   Bu testler ve polinom bölme kullanarak, kökleri x = -3, x = -2 ve x = 4 olduğunu bulabiliriz.

4. Köklerin Aralıklarına Bakalım:
   Köklerin konumlarını belirledikten sonra hangi aralıkta olduklarına bakalım.
   a) I şık [-1, 0] : Kök yok.
   b) II şık [0, 2] : Kök yok.
   c) III şık [2, 4] : Kök yok.
   d) IV şık [4, 6] : Burada bir kök var, çünkü x = 4 de bir kök.
   e) V şık [6, 8]: Kök yok.

Bu bağlamda:

Doğru cevap IV ([4, 6]) aralığında en az bir kökü vardır.