Eşitliği sağlayan ( a ) değeri kaçtır?
Çözüm:
Soruda, bir düzgün çokgenin içinde yazılan sayılarla gösterilen bir kuvvet işlemi söz konusu. Örneğin, kenar sayısı 5 olan bir çokgenin içinde bir sayı yazıldığında, o sayının 5. kuvveti alınmaktadır. Bu bilgiye göre problemi çözelim.
Verilen Durum:
- Üçgenin içinde 72 yazılı, bu durumda üçgen 3 kenarlı olduğundan ( 72^3 ) işlemine denk geliyor.
- Üçgenin içinde 18 yazılı, bu durumda üçgen 3 kenarlı olduğundan ( 18^3 ) işlemine denk geliyor.
- Beşgenin içinde ( a ) yazılı, bu durumda beşgen 5 kenarlı olduğundan ( a^5 ) işlemine denk geliyor.
Eşitlik şu biçimde:
[ 72^3 \cdot 18^3 = a^5 ]
Adımlar:
-
Çarpımı şu şekilde yeniden yazabiliriz:
[(72 \cdot 18)^3 = a^5] -
Önce ( 72 \cdot 18 ) işlemini yapalım:
[72 \times 18 = 1296] -
Eşitliği bu değerle yerine koyalım:
[1296^3 = a^5] -
Her iki tarafın 5. dereceden kökünü alalım:
[a = \sqrt[5]{1296^3}] -
Bu ifadeyi daha basit bir hale getirmek için ( 1296 ) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
[1296 = 2^4 \times 3^4] -
Kuvveti yerine koyalım:
[(2^4 \cdot 3^4)^3 = 2^{12} \cdot 3^{12}] -
( a^5 ) eşitliğinden ( a ) ifadesine geçelim:
[a = (2^{12} \cdot 3^{12})^{1/5} = (2^2 \cdot 3^2)^2 = 4^2 \cdot 9^2 = 16 \cdot 9 = 36]
Sonuç olarak, ( a ) değeri 36’dır. Doğru seçenek: E) 36
Özet: Eşitliği sağlayacak ( a ) değeri 36 olarak bulunur.