Silindirik Koordinatlarda Manyetik Akı Hesaplama
Cevap:
Verilen manyetik alan vektörü:
Adım 1: Problem Tanımı
Verilen alanın silindirik koordinatlarda olduğunu görüyoruz ve r ve z sınırları belirtilmiş:
- 0.5 \leq r \leq 2.5 m
- 0 \leq z \leq 2 m
Bu tanımlı alan üzerinden manyetik akı \Phi'yi belirlememiz gerekiyor.
Adım 2: Manyetik Akı Formülü
Manyetik akı \Phi, bir alan üzerinde manyetik alanın dik bileşeninin integrali olarak tanımlanır:
Burada, \vec B ve diferansiyel alan elemanı d\vec A vektörleri üzerinde noktasal çarpım yapıyoruz. Problemde alanın silindirik yüzeye paralel olduğunu varsayarsak, akı sadece radial (r) yönde akacaktır.
Adım 3: Diferansiyel Alan Elemanı
Silindirik koordinatlarda diferansiyel alan elemanı:
- d\vec A = r \, d\phi \, dz \, \vec a_r
Problemde verilen \vec B alanı \phi yöndedir ve d\vec A ise r yöndedir. Bu yüzden \vec B \cdot d\vec A = 0 olur yüzey boyunca. Ancak burada \vec a_\phi ile d\vec A vektörü arasında bir çarpışma vardı ki r yönünde bir dahi diferansiyel incelemesi yapılabilir.
Bu durumda dikkat edilmesi gereken bazen integral sınırlarını ve yönlerini değiştiririz. Çoğu kez, manyetik alanlar yüzey üzerinden geçen alanlarla direkt etkilenmezse problem farazi bir direnç önererek ya da kapalı dönüşümlerde Gauss Yasası kullanılabilir.
Adım 4: Entegrali Hesaplama
Eğer belirtilmiş alan üzerindeysek, genellikle bir daire boyunca integral alarak çözümleme yaparız. Ancak burada yukarıdaki tanım ve örtülü açık olmayan bir başlangıç, örneğin Faraday yasası üzerinden diğer ilişkileri uyarlayarak kıvrımlı dönüşüm kullanabiliriz.
Nihai Cevap
Bu tür sorularda genellikle örnek üzerinde sıkı ve detayda farklılıklar olabilmektedir, çünkü alan vektörleri ve genellikle üç boyutlu integrallerle kesişmeler farklı basit çözümler vermez.
Bu nedenle belirtmeliyim, örnek üzerinden çözümlerin doğru olup olmadığını başka referanslarla kontrol ederek devam etmeyi öneririm.