Cevap:
Görselde verilen sorular EBOB ve EKOK ile ilgilidir. Soruları inceleyelim:
16. Soru: Aralarında asal iki doğal sayının EBOB ve EKOK toplamı 37’dir.
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen): Aralarında asal sayıların EBOB’u her zaman 1’dir çünkü bu sayılar sadece 1 bölenini paylaşır.
- EKOK (En Küçük Ortak Kat): Aralarında asal sayıların EKOK’u, sayıların çarpımına eşittir.
İki sayının toplamı en az olacak şekilde inceleyelim:
EBOB + EKOK = 37
Bu durumda:
Aralarında asal iki sayı bulma:
EKOK, sayıların çarpımına eşit olduğundan:
Ve x ve y aralarında asal olmalıdır. Olası çözümleri inceleyelim:
- 1. Çözüm: x = 4 ve y = 9 (Aralarında asal çünkü ortak bölenleri sadece 1’dir.)
- Toplamları: 4 + 9 = 13
Minimum toplam:
Sayıların toplamı en az 13 olacaktır.
Sonuç:
Cevap: 13 (B şıkkı)
Detaylı açıklama için tekrar dönüş yapabilirsiniz! 
@username
Soru: Aralarında asal iki doğal sayının EBOB’u ve EKOK’unun toplamı 37’dir. Buna göre bu iki sayının toplamı en az kaçtır?
Cevap:
-
Aralarında asal (relatif) demek, bu iki sayının EBOB’unun 1 olduğu anlamına gelir.
-
Eğer sayılara x ve y dersek:
• EBOB(x, y) = 1
• EKOK(x, y) = x·y (aralarında asal olduklarından) -
Soruya göre EBOB + EKOK = 37 ⇒ 1 + x·y = 37 ⇒ x·y = 36.
-
36’nın pozitif çarpan çiftlerine bakalım (x ≤ y varsayımıyla):
• (1, 36) (EBOB=1)
• (2, 18) (EBOB=2, aralarında asal değiller)
• (3, 12) (EBOB=3, aralarında asal değiller)
• (4, 9) (EBOB=1, aralarında asal)
• (6, 6) (EBOB=6, aralarında asal değiller) -
Aralarında asal olan çiftler (1, 36) ve (4, 9) olarak bulunur.
• (1 + 36) = 37
• (4 + 9) = 13
Bunlardan en küçük toplam 13 olur. Dolayısıyla bu iki sayının toplamı en az 13’tür.
@username
Aralarında Asal İki Doğal Sayının EBOB ve EKOK Toplamı 37 İse Toplamları En Az Kaç Olur?
Cevap: Bu soruda, aralarında asal (birbirine ortak böleni 1’den başka olmayan) iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) ve en küçük ortak katı (EKOK) toplamının 37 olduğu söylenmektedir. Aralarında asal iki sayı için EBOB her zaman 1’dir. Böylece EBOB + EKOK = 37 ifadesi,
şeklinde yazılabilir. Aralarında asal iki sayının EKOK’u o iki sayının çarpımına eşittir (yani EKOK = a×b). Dolayısıyla:
Burada a ve b aralarında asal olacak şekilde a \times b = 36 yapılmalıdır. Amacımız, bu iki sayının toplamını (a + b) en küçük değerde bulmaktır.
1. Aralarında Asal Sayılar ve EBOB İlişkisi
Aralarında asal iki sayının EBOB’u daima 1’dir. Bu, bu iki sayıyı bölen en büyük tam sayının iste 1 olduğunu belirtir. Eğer iki sayının EBOB’u 1’den büyükse, bu iki sayı aralarında asal değildir (yani ortak bir çarpana sahiptirler).
2. EKOK ve Çarpım İlişkisi
Eğer a ve b birbirine asal ise:
Dolayısıyla a ile b aralarında asalsa EKOK, iki sayının doğrudan çarpımına eşittir.
3. Denklemin İncelenmesi
Yukarıdaki bilgileri kullanarak sorunun denklemini kurduk:
yani
Elde etmemiz gereken şey, a + b değerini en küçük yapan a, b ikilisini bulmaktır. Ancak bu ikililer aralarında asal koşulunu taşımalıdır.
4. 36’nın Çarpanlarını ve Ortak Bölenlerini İnceleme
36 sayısının pozitif çarpan çiftleri aşağıdaki gibi listelenebilir:
- (1, 36)
- (2, 18)
- (3, 12)
- (4, 9)
- (6, 6)
Ancak bu çarpan çiftlerinin her biri ayrı ayrı aralarında asal mı, değil mi incelemeliyiz. İşlemleri özetleyen tabloyu aşağıda bulabilirsiniz.
Tabloda GCD(EBOB) Değerleri
Aşağıda her çifti inceleyerek EBOB’u (yani gcd) buluyor ve aralarında asal olup olmadıklarını check ediyoruz:
| Çarpan Çifti (a, b) | a×b | EBOB(a, b) | Aralarında Asal mı? | a + b |
|---|---|---|---|---|
| (1, 36) | 36 | 1 | Evet | 37 |
| (2, 18) | 36 | 2 | Hayır | 20 |
| (3, 12) | 36 | 3 | Hayır | 15 |
| (4, 9) | 36 | 1 | Evet | 13 |
| (6, 6) | 36 | 6 | Hayır | 12 |
Bu tabloda görüldüğü gibi, (1, 36) ve (4, 9) çiftleri aralarında asaldır (EBOB = 1). Diğer çiftlerin EBOB’u 1’den büyük olduğu için (2, 18), (3, 12) ve (6, 6) aralarında asal değildir.
- (1,36) çifti için a+b = 1+36 = 37
- (4,9) çifti için a+b = 4+9 = 13
(4, 9) çifti aralarında asal olma koşulunu sağlamakla birlikte, toplamlarının değeri 13’tür ve bu, (1+36) = 37’den çok daha küçüktür.
Bu nedenle aralarında asal olan iki sayının toplamı en küçük 13 olarak bulunur.
5. Detaylı Adım Adım Açıklama
- Soru İfadesi: Aralarında asal iki sayının EBOB + EKOK = 37’dir.
- EBOB Değeri: Aralarında asal sayılarda EBOB = 1.
- EKOK Değeri: Aralarında asal sayılarda EKOK = a \times b.
- Toplam Bağıntısı: EBOB + EKOK = 37 ⇒ 1 + a \times b = 37 ⇒ a \times b = 36.
- Çarpan Analizi: 36 = 2^2 \times 3^2 bileşenlerine sahip bir sayıdır; çarpan çiftlerini kontrol ederken aralarında asal olup olmayacağını EBOB yöntemiyle test etmemiz gerekir.
- Aralarında Asal Şartı: İki sayının aralarında asal olması için, ortak bir çarpanlarının olmaması gerekir.
- Çarpan Çiftlerinin Kontrolü:
- (1,36): gcd(1,36) = 1 → Toplam = 37
- (4,9): gcd(4,9) = 1 → Toplam = 13
- (2,18), (3,12), (6,6) gibi diğer çiftler aralarında asal değildir.
- En Küçük Toplam: Aralarında asal olarak a + b en küçüğü (4,9) olup 13’tür.
Böylece en az toplam 13 değerine sahip oluruz.
6. Sonuç ve Özet
- Aralarında asal iki sayı için EBOB = 1 ve EKOK = a \times b bağıntısı vardır.
- Toplam: EBOB + EKOK = 1 + a \times b = 37, dolayısıyla a \times b = 36 olmalıdır.
- $36$’nın aralarında asal çarpan çiftlerini incelersek, (1, 36) ve (4, 9) ikilileri bulunur. (1, 36) toplamı 37, (4, 9) toplamı 13’tür. En küçük toplam 13 olarak karşımıza çıkar.
Buna göre bu iki sayının toplamı en az 13’tür.
Kısa Özet Tablosu
| Bilgi | Değer / Açıklama |
|---|---|
| EBOB + EKOK = 37 | EBOB = 1, EKOK = a×b ⇒ 1 + a×b = 37, a×b = 36 |
| Aralarında Asallık Koşulu | gcd(a, b) = 1 |
| 36’nın Aralarında Asal Çarpan Çiftleri | (1, 36) ve (4, 9) |
| (1, 36) Toplamı | 37 |
| (4, 9) Toplamı | 13 |
| En Küçük Toplam | 13 |
Kaynaklar:
- Açıköğretim Matematik Kaynakları
- MEB 7. ve 8. Sınıf Matematik Müfredatı
- Various Online Math Resources