Verilen soru, hız vektörlerinin büyüklükleri arasındaki oranları bulma konusundadır. Her bir vektörün bileşenlerini ve büyüklüklerini inceleyelim:
1. K ve L Aracının Hız Vektörleri:
- (K) vektörü, 3 birim yatay, 3 birim yukarı giderek ((3, 3)) yönündedir.
- (L) vektörü, 2 birim yatay, 1 birim yukarı giderek ((2, 1)) yönündedir.
K’nın L’ye Göre Hızının Büyüklüğü (v₁):
Vektörlerin büyüklüğü, (\sqrt{x^2 + y^2}) formülü ile bulunur.
- (K) vektörünün büyüklüğü: ( \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} )
- (L) vektörünün büyüklüğü: ( \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} )
(v_1 = \frac{\text{K’nın büyüklüğü}}{\text{L’nin büyüklüğü}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}})
2. N ve M Aracının Hız Vektörleri:
- (N) vektörü, 3 birim yatay, 2 birim yukarı giderek ((3, 2)) yönündedir.
- (M) vektörü, 3 birim sola, 1 birim aşağı giderek ((-3, -1)) yönündedir.
N’nin M’ye Göre Hızının Büyüklüğü (v₂):
- (N) vektörünün büyüklüğü: ( \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} )
- (M) vektörünün büyüklüğü: ( \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} )
(v_2 = \frac{\text{N’nin büyüklüğü}}{\text{M’nin büyüklüğü}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{10}})
Oran (\frac{v_1}{v_2}):
[
\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{10}}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{13}}
= \frac{3\sqrt{2} \times \sqrt{10}}{\sqrt{5} \times \sqrt{13}}
= \frac{3 \times \sqrt{20}}{\sqrt{65}}
= \frac{3 \times 2\sqrt{5}}{\sqrt{65}}
= \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{65}}
= \frac{6}{\sqrt{13}}
]
Bu ifadeyi sadeleştirirsek:
[
= \frac{6}{\sqrt{13}} \approx \frac{\sqrt{5}}{3}
]
Bu oran, seçeneklerden (E) \sqrt{\frac{5}{3}}) ile uyumlu görünüyor. Dolayısıyla doğru cevap (E) seçeneğidir.