Makara Probleminin Çözümü
Soruda, makaraya sarılı ipin A ucu sabit bir ivme ile çekilmektedir. t = 0 anında B noktasının toplam ivmesi 5 m/s² ve hızı 2 m/s olarak verilmiştir. Yarıçap ise 1 m olarak belirtilmiştir. Bizden, ipin A ucunun ivmesini bulmamız isteniyor.
1. Temel Kavramlar
Dönme hareketi ve doğrusal hareket: Dönme hareketinde, bir makara veya dairesel cisim etrafında dönen noktalardan söz ederiz. Bu tür hareketlerde, doğrusal hız ve açısal hız gibi kavramlar birbirine bağlıdır:
[ v = r \cdot \omega ]
Burada:
- ( v ) = doğrusal hız
- ( r ) = yarıçap
- ( \omega ) = açısal hız
Dönme hareketinde ivme: Benzer şekilde, ivme için de aşağıdaki ilişkileri kullanabiliriz:
[ a = r \cdot \alpha ]
( a ) = doğrusal ivme, ( \alpha ) = açısal ivme
2. Problemin Çözümü
B noktasının toplam ivmesi: Soruda B noktasının toplam ivmesi verilmiş. Toplam ivme hem doğrusal ivmeyi hem de merkezcil ivmeyi kapsar. Toplam ivmeyi şu şekilde ifade edebiliriz:
[ a_{\text{toplam}} = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} ]
Burada:
- ( a_t ) = teğetsel ivme (doğrusal ivme)
- ( a_c ) = merkezcil ivme
- ( a_{\text{toplam}} = 5 , \text{m/s}^2 )
Merkezcil ivme: Merkezcil ivme, hızın karesi ile yarıçapın çarpılması sonucu elde edilir:
[ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(2 , \text{m/s})^2}{1 , \text{m}} = 4 , \text{m/s}^2 ]
Teğetsel ivmenin bulunması:
[ \sqrt{a_t^2 + 4^2} = 5 ]
[ a_t^2 + 16 = 25 ]
[ a_t^2 = 9 ]
[ a_t = 3 , \text{m/s}^2 ]
B noktasının teğetsel ivmesi 3 m/s² olarak bulunmuştur.
A ucunun ivmesi: İpin A ucunun ivmesi, B noktasının teğetsel ivmesi ile aynıdır, çünkü ip sabit uzunlukta kalır ve makara etrafında sarılırken aynı doğrultuda hareket eder. Bu nedenle:
[ a_A = a_t = 3 , \text{m/s}^2 ]
Sonuç
Makara sistemindeki ipin A ucunun ivmesi ( 3 , \text{m/s}^2 ) olarak bulunur. Bu problemde, B noktasının dönme hareketinin teğetsel ivmesi hesaplandı ve ipin A ucunun aynı ivmeyle hareket etmesi sağlandı.