Şekildeki Hareket Problemi
Soru: Şekil’de gösterildiği gibi, bir kutu A noktasında hızıssız harekete başlamakta ve yatay taşıyıcı bant boyunca ilerlemektedir. Hareket esnasında hızdaki artış, t saniye cinsinden olmak üzere, a_t = (0.2 \, t) \, \text{m/s}^2'dir. Kutunun B noktasına ulaştığı andaki hızını belirleyiniz?
Çözüm:
Bu problemde, kutunun A noktasından B noktasına olan hareketi inceleniyor. Problem, hızlanmanın zamana bağlı bir fonksiyonu ile tanımlandığı bir dinamik problemidir.
1. Hızlanma (İvme) Tanımına Ulaşmak:
Verilen ivme fonksiyonu:
$$ a_t(t) = 0.2t , \text{m/s}^2 $$
2. Hızı Bulma:
Hız, ivmenin zamana göre integralidir. Bu nedenle, hız fonksiyonunu bulmak için ivme fonksiyonunu zamana göre integre edeceğiz:
$$ v(t) = \int a_t(t) , dt = \int 0.2t , dt $$
İntegrali aldığımızda:
$$ v(t) = 0.1t^2 + C $$
3. Başlangıç Şartları:
Verilen bilgiye göre, başlangıçta kutu hareketsiz (hızı 0 m/s), yani t = 0 için v(0) = 0 m/s:
$$ v(0) = 0.1(0)^2 + C = 0 $$
Buradan C = 0 olduğunu buluruz. Dolayısıyla:
$$ v(t) = 0.1t^2 $$
4. Toplam Mesafeyi Bulma:
Kutunun B noktasına ulaşana kadar aldığı toplam yolu hesaplayacağız. B’nin A’dan olan dikey mesafesini biliyoruz, fakat harekete geçen toplam yolu hesaplarken, ivme fonksiyonunu kullanarak yolu zamana entegre ederiz:
$$ s(t) = \int v(t) , dt = \int 0.1t^2 , dt $$
$$ s(t) = \frac{0.1}{3}t^3 + k $$
Yine s(0) = 0 olduğundan k=0 olur, yani:
$$ s(t) = \frac{0.1}{3}t^3 $$
B noktasına ulaşırken toplam mesafeyi veya zamanı bilmemiz gerekebilir. Bu soruda, toplam mesafeyi 3 \, \text{m} vermişler.
5. Ulaşma Zamanını Bulma:
Kutunun B’ye ulaştığı varsayılıyor, s = 3 m olur:
$$ \frac{0.1}{3}t^3 = 3 $$
$$ t^3 = 90 $$
$$ t = \sqrt[3]{90} $$
6. Ulaştığı Andaki Hızı Bulma:
Elde ettiğimiz zaman değerini hız fonksiyonuna koyarak hızı buluruz:
$$ v = 0.1t^2 = 0.1(\sqrt[3]{90})^2 $$
Sonuç:
Bu değerler kullanılarak, kutunun B noktasına ulaştığı andaki hızını hesaplayabilirsiniz.
Özetle kutunun B noktasına ulaştığı andaki hızını bulmak için hızlanma fonksiyonu ile ivmeyi zamana göre entegral alıp, başlangıç koşullarını uygulayarak ve gerekli değerlendirmeleri yaparak ilerledik.