Dinamik sour 6

Üniversite Makine Mühendisliği
1

Ekran görüntüsü 2024-10-22 212038
Ekran görüntüsü 2024-10-22 2120381573×372 57.6 KB

2

Şekildeki Hareket Problemi

Soru: Şekil’de gösterildiği gibi, bir kutu A noktasında hızıssız harekete başlamakta ve yatay taşıyıcı bant boyunca ilerlemektedir. Hareket esnasında hızdaki artış, t saniye cinsinden olmak üzere, a_t = (0.2 \, t) \, \text{m/s}^2’dir. Kutunun B noktasına ulaştığı andaki hızını belirleyiniz?

Çözüm:

Bu problemde, kutunun A noktasından B noktasına olan hareketi inceleniyor. Problem, hızlanmanın zamana bağlı bir fonksiyonu ile tanımlandığı bir dinamik problemidir.

1. Hızlanma (İvme) Tanımına Ulaşmak:

Verilen ivme fonksiyonu:

a_t(t) = 0.2t \, \text{m/s}^2

2. Hızı Bulma:

Hız, ivmenin zamana göre integralidir. Bu nedenle, hız fonksiyonunu bulmak için ivme fonksiyonunu zamana göre integre edeceğiz:

v(t) = \int a_t(t) \, dt = \int 0.2t \, dt

İntegrali aldığımızda:

v(t) = 0.1t^2 + C

3. Başlangıç Şartları:

Verilen bilgiye göre, başlangıçta kutu hareketsiz (hızı 0 m/s), yani t = 0 için v(0) = 0 m/s:

v(0) = 0.1(0)^2 + C = 0

Buradan C = 0 olduğunu buluruz. Dolayısıyla:

v(t) = 0.1t^2

4. Toplam Mesafeyi Bulma:

Kutunun B noktasına ulaşana kadar aldığı toplam yolu hesaplayacağız. B’nin A’dan olan dikey mesafesini biliyoruz, fakat harekete geçen toplam yolu hesaplarken, ivme fonksiyonunu kullanarak yolu zamana entegre ederiz:

s(t) = \int v(t) \, dt = \int 0.1t^2 \, dt
s(t) = \frac{0.1}{3}t^3 + k

Yine s(0) = 0 olduğundan k=0 olur, yani:

s(t) = \frac{0.1}{3}t^3

B noktasına ulaşırken toplam mesafeyi veya zamanı bilmemiz gerekebilir. Bu soruda, toplam mesafeyi 3 \, \text{m} vermişler.

5. Ulaşma Zamanını Bulma:

Kutunun B’ye ulaştığı varsayılıyor, s = 3 m olur:

\frac{0.1}{3}t^3 = 3
t^3 = 90
t = \sqrt[3]{90}

6. Ulaştığı Andaki Hızı Bulma:

Elde ettiğimiz zaman değerini hız fonksiyonuna koyarak hızı buluruz:

v = 0.1t^2 = 0.1(\sqrt[3]{90})^2

Sonuç:
Bu değerler kullanılarak, kutunun B noktasına ulaştığı andaki hızını hesaplayabilirsiniz.

Özetle kutunun B noktasına ulaştığı andaki hızını bulmak için hızlanma fonksiyonu ile ivmeyi zamana göre entegral alıp, başlangıç koşullarını uygulayarak ve gerekli değerlendirmeleri yaparak ilerledik.