Bir üçgenin en büyük iç açısının ölçüsü, en küçük iç açısının ölçüsünün \frac{10}{3} katının 30 eksiğidir. Küçük iç açısının ölçüsünün \frac{5}{2} katının 5 fazlasıdır. Diğer açısının ölçüsü ise en küçük iç açının ölçüsünün \frac{10}{3} katının 30 eksiğidir. Buna göre üçgenin iç açılarının kaç derece olduğunu bulunuz.
Cevap:
Öncelikle üçgenin en küçük iç açısının ölçüsüne x diyelim.
Daha sonra, verilen bilgilere göre diğer iki açıyı oluşturabiliriz:
-
Verilen bilgilere göre en büyük açının ölçüsü:
\text{En büyük açı} = \frac{10}{3}x - 30 -
Diğer açının ölçüsü:
\text{Diğer açı} = \frac{5}{2}x + 5
Bu üç açının toplamı bir üçgende her zaman 180 derece olur, dolayısıyla bunları bir denklemde birleştirebiliriz:
Bu denklemi çözelim:
-
Paydaları eşitleyerek x terimlerini birleştirelim:
x + \frac{10}{3}x + \frac{5}{2}x = 180 + 30 - 5x + \frac{20}{6}x + \frac{15}{6}x = 205 -
Kesirleri sadeleştirerek:
x + \frac{35}{6}x = 205\frac{6x}{6} + \frac{35x}{6} = 205\frac{41x}{6} = 205 -
Her iki tarafı 6 ile çarparak paydadan kurtulalım:
41x = 1230x = 30
x'in değerini bulduk. Şimdi diğer açıları bulalım:
- Küçük açının ölçüsü: x = 30
- Diğer açının ölçüsü:\text{Diğer açı} = \frac{5}{2} \times 30 + 5 = 75 + 5 = 80
- En büyük açının ölçüsü:\text{En büyük açı} = \frac{10}{3} \times 30 - 30 = 100 - 30 = 70
Sonuç olarak, iç açılarının ölçüleri şu şekildedir:
- 30^\circ
- 80^\circ
- 70^\circ
Sonuç:
Üçgenin iç açılarının ölçüleri sırasıyla 30^\circ, 80^\circ ve 70^\circ'dir.
6 bölü 6 nerden geliyor niye topluyoruz 41 bölü 6 yapiliyor
Hedix’in sorusunu cevaplamak için, sorunun çözümündeki adımları daha ayrıntılı bir şekilde açıklayalım.
Bir Üçgenin İç Açılarını Bulma Problemi
Öncelikle soru ile verilen bilgileri topladık ve açıları aşağıdaki gibi ifade ettik.
- En küçük açının ölçüsü x.
- Diğer açının ölçüsü: \frac{5}{2}x + 5
- En büyük açının ölçüsü: \frac{10}{3}x - 30
Bu üç açının toplamı her üçgende olduğu gibi 180 derece olmalıdır. Bu nedenle bu açıların toplamını şu denkleme yerleştirdik:
Bu ifadeyi çözerken, kesirli ifadeleri toplamak için paydaları eşitledik:
-
x'in paydasını 1 kabul edip hepsini ortak bir payda altında topladık:
x + \frac{10}{3}x + \frac{5}{2}x - 30 + 5 = 180x + \left( \frac{20}{6}x \right) + \left( \frac{15}{6}x \right) - 25 = 180 -
Ortak paydaları kullanarak kesirleri topladık:
\left( \frac{6}{6}x + \frac{20}{6}x + \frac{15}{6}x \right) - 25 = 180\frac{41}{6}x - 25 = 180
Buradaki \frac{6}{6}x terimi, x'i \frac{41}{6} kesirinin paydasıyla aynı forma getirmek için kullanılır. Bu sıralamalarda x, hep bir tam sayı (1) olduğundan, x ifadesi \frac{6}{6} ile çarpılarak paydaları eşitledik ve topladık:
Bu işlemi yaptıktan sonra, denklemimiz şöyle şekillendi:
Bu noktada, bilinmeyeni çözmek için:
-
Denklemi sadeleştirdik ve x’i çözdük:
\frac{41}{6}x = 205Her iki tarafı 6 ile çarptık:
41x = 1230x’i burada basit bölme ile bulduk:
x = 30
Buradan x yerine açı değerlerimizi yerine koyduk ve hesapladık:
- En küçük açı: 30^{\circ}
- Diğer açı: \frac{5}{2} \times 30 + 5 = 80^{\circ}
- En büyük açı: \frac{10}{3} \times 30 - 30 = 70^{\circ}
Sonuçta üçgenin iç açılarını 30^{\circ}, 80^{\circ} ve 70^{\circ} olarak bulmuş olduk.
Umarım bu detaylı açıklama, işlemleri daha iyi anlamaya yardımcı olur.
Anlamadım şimdi 6 bölü 6 nerden geliyor niye koyuyoruz
Tamam, Hedix’in sorduğu kesir ile ilgili kısmı daha net açıklayalım. Amacımız tüm ifadeleri aynı paydada toplamak ve daha sonra işlemleri yapmak.
-
Öncelikle Denklemimizi Hatırlayalım:
x + \left(\frac{10}{3}x - 30\right) + \left(\frac{5}{2}x + 5\right) = 180 -
Kesirli İfadeleri Aynı Paydada Toplamak:
İfadeleri aynı payda altında toplamak için uygun şekilde genişletmemiz gerekir. İlk olarak, her terimi aynı payda altında toplamak için gerekli ortak paydaları buluyoruz. Ortak payda olan 6’yı kullanacağız (3 ve 2’nin en küçük ortak katı 6’dır). -
Her Terimi Ortak Payda ile Yazalım:
x = \frac{6}{6}x\frac{10}{3}x = \frac{20}{6}x\frac{5}{2}x = \frac{15}{6}x -
Paydalar Eşitlenmiş Haliyle Denklem Şu Şekilde:
Ana denklemimizi bu yeni ifadelerle yeniden yazalım:\frac{6}{6}x + \frac{20}{6}x + \frac{15}{6}x - 30 + 5 = 180 -
\frac{6}{6}x Nereden Geliyor?:
x ifadesini \frac{6}{6}x olarak yazmamızın sebebi, x üzerindeki $1. paydasını 6 yaparak, diğer kesir ifadeleriyle aynı paydada kalmasını sağlamaktır. Bu, toplama işlemini yapmak için gereklidir. -
Sayıları ve kesirleri Aynı Payda ile Toplayalım:
\frac{6x + 20x + 15x}{6} - 30 + 5 = 180\frac{41x}{6} - 25 = 180
Görüldüğü gibi, ifadeleri aynı paydada toplayarak daha rahat işlem yapabiliriz. Bu nedenle x'i \frac{6}{6}x olarak yazdık.
Sonuç olarak, bu adımlardan sonra denklemimiz şu hale geldi:
Kesirli ifadelerle işlem yapmamızın ardında yatan neden budur. Umarım daha anlaşılır hale getirmişizdir.