Kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 4 veya 7 elemanı bulunur?
Bu soruyu çözmek için verilen kümenin elemanları ile kaç farklı alt küme oluşturabileceğimizi hesaplamamız gerekmektedir. Verilen küme:
[ A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ]
Bu kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 4 veya 7 elemanı bulunur sorusunu çözmek için adımları izleyelim:
-
Toplam Alt Küme Sayısı: İlk önce, kümenin toplam 4 elemanlı alt küme sayısını hesaplayalım. A kümesinin 7 elemanı vardır ve bu kümeden 4 eleman seçeceğimiz için kombinasyon kullanırız:
[
C(7,4) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
] -
4 Elemanı İçeren Alt Kümeler: Daha sonra, 4 elemanını içeren 4 elemanlı alt küme sayısını bulalım. 4 elemanı seçildiği için geriye, A kümesinin {2, 3, 5, 6, 7, 8} elemanları arasından 3 eleman seçmeliyiz:
[
C(6,3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
] -
7 Elemanı İçeren Alt Kümeler: Aynı şekilde, 7 elemanını içeren 4 elemanlı alt küme sayısını bulalım. 7 elemanı seçildiği için geriye, A kümesinin {2, 3, 4, 5, 6, 8} elemanları arasından 3 eleman seçmeliyiz:
[
C(6,3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
] -
Hem 4 Hem de 7 Elemanını İçeren Alt Kümeler: Hem 4 hem de 7 elemanlarını içeren 4 elemanlı alt kümeleri çıkaralım. Bu durumda geriye, {2, 3, 5, 6, 8} elemanları arasından 2 eleman seçmeliyiz:
[
C(5,2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
] -
Sonuç: 4 veya 7 elemanını içeren 4 elemanlı alt kümeler, yukarıdaki sonuçlarla bulunur. 4 ve 7’yi içeren alt kümeler iki defa sayıldığı için bunları toplamdan çıkarmalıyız:
[
20 (4 elemanı) + 20 (7 elemanı) - 10 (hem 4 hem de 7 elemanı) = 30
]
Bu durumda, A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden 30 tanesi ya 4 ya da 7 elemanını içermektedir.
Özetle, A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin 30 tanesi 4 veya 7 elemanını içermektedir.