Çözümünü bilen varsaa

YKS TYT
1

17438613048107065727452198537831
17438613048107065727452198537831720×956 35.7 KB

Lütfen çözün

2

Verilen Problemin Çözümü

Soruda ABC üçgenine ait bazı açı değerleri verilmiş. İki farklı bölüm var. İki örneğin çözümünü sırayla yapacağız.

1. Örnek Problemin Çözümü (Sol Bölüm)

ABC üçgeninde:

  • \small m(DAC) = 6x - 20^\circ
  • \small m(EBD) = 4x + 40^\circ
  • \small m(ACF) = 140^\circ

Amacımız: ABC üçgeninin iç açılarının toplamı 180° olduğuna göre, \small m(ABC) açısının ölçüsünü bulmak.

Problemin Verileri:

  • m(A) = m(DAC)
  • m(B) = m(EBD)
  • m(C) = m(ACF)
  • \small m(A) + m(B) + m(C) = 180^\circ

Adım Adım Çözüm:

  1. Denklemi Kuruyoruz:

    (6x - 20) + (4x + 40) + 140 = 180

  2. Terimleri Topluyoruz:

    6x + 4x + (-20) + 40 + 140 = 180
    10x + 160 = 180

  3. 10x’i Buluyoruz:

    10x = 180 - 160
    10x = 20
    x = 2

  4. Açıları Hesaplıyoruz:

    • m(A) = 6x - 20 = 6(2) - 20 = 12 - 20 = 40^\circ
    • m(B) = 4x + 40 = 4(2) + 40 = 8 + 40 = 48^\circ
    • m(C) = 140^\circ

  5. Kontrol Ediyoruz:

    m(A) + m(B) + m(C) = 40 + 48 + 92 = 180^\circ

Doğru sonuç.

Cevap:

ABC açısının ölçüsü: 40^\circ.

2. Örnek Problemin Çözümü (Sağ Bölüm)

ABC üçgeninde:

  • \small m(BAD) = 2x + 40^\circ
  • \small m(BCD) = 4x + 30^\circ
  • \small m(ACB) açısı ölçüsünü bulmamız isteniyor.

Problemin Verileri:

  • İç açılar: m(A) = m(BAD), m(B) = m(BCD), m(C) = m(ACB) \quad (\text{bulunacak})
  • İç açılarının toplamı: \small m(A) + m(B) + m(C) = 180^\circ

Adım Adım Çözüm:

  1. Denklemi Kuruyoruz:

    (2x + 40) + (4x + 30) + m(ACB) = 180

  2. Bilinenleri Topluyoruz:

    2x + 4x + 40 + 30 + m(ACB) = 180
    6x + 70 + m(ACB) = 180

  3. m(ACB)'yi Hesaplıyoruz:

    m(ACB) = 180 - 6x - 70
    m(ACB) = 110 - 6x

  4. x İçin Çözüm:
    Soruda x belirtilmediği için cevabı ifade haliyle bırakıyoruz.

Cevap:

m(ACB) = 110 - 6x olarak bulunur.

Eğer x hakkında ek bilgi verilirse, açıyı tam olarak hesaplayabiliriz.

Bu tür problemlerde temel açı teoremlerini ve \small \text{İç Açılar Toplamı} kuralını unutmamalısınız! :blush:
@username

3

Sorudaki Geometri Alıştırmalarının Çözümü

Aşağıdaki çözüm, kitabınızda yer alan iki “Örnek” soruya yöneliktir. Birincisi üçgenin dış açılarının 360° olduğunu kullanırken; ikincisi her dış açının, o dış açıya komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olması ilkesinden yararlanır.

1) Örnek (Soldaki Soru)

ABC üçgeninde, dış açılar:
• m(DAC) = 6x − 20°
• m(EBD) = 4x − 40°
• m(ACF) = 140°

ve “Bir üçgenin tüm dış açılarının toplamı 360°’dir.” teoremi gereği:

\bigl(6x - 20\bigr) \;+\;\bigl(4x - 40\bigr)\;+\;140\;=\;360

Adım adım gidersek:

  1. Parantezleri açıp benzer terimleri toplayın:
    6x + 4x = 10x
    −20 − 40 + 140 = 80

  2. Denklemin tamamı:
    10x + 80 = 360

  3. 10x = 280 ⇒ x = 28

Dış açılardan m(EBD), B köşesinin dış açısı olduğu için B’nin iç açısı (ABC açısı) şu ilişkiyle elde edilir:

\text{m(ABC)} + \text{m(EBD)} = 180^\circ

Buna göre:

m(EBD) = 4x − 40 = 4(28) − 40 = 112 − 40 = 72°

Dolayısıyla:

m(ABC) = 180 − 72 = 108°

2) Örnek (Sağdaki Soru)

ABC üçgeninde, verilenler:
• m(BAD) = 2x + 40° (A köşesinin dış açısı)
• m(ABC) = x + 20° (B köşesinin iç açısı)
• m(BCD) = 4x + 30° (C köşesinin dış açısı)

Dış açının tanımına göre:

  • A köşesinin dış açısı (BAD), B ve C açılarının toplamına eşittir.
  • C köşesinin dış açısı (BCD), A ve B açılarının toplamına eşittir.

Adım 1: A köşesi dış açısı

m(BAD) = m(B) + m(C)
yazarsak:
2x + 40 = (x + 20) + m(C)
Buradan,
m(C) = (2x + 40) − (x + 20) = x + 20

Adım 2: C köşesi dış açısı

m(BCD) = m(B) + m(A)
4x + 30 = (x + 20) + m(A)
m(A) = (4x + 30) − (x + 20) = 3x + 10

Adım 3: Üçgenin iç açılarının toplamı

m(A) + m(B) + m(C) = 180°
(3x + 10) + (x + 20) + (x + 20) = 180
3x + 10 + x + 20 + x + 20 = 180
5x + 50 = 180
5x = 130 ⇒ x = 26

Artık C açısını (ACB) bulabiliriz:
m(ACB) = m(C) = x + 20 = 26 + 20 = 46°

Sonuç

• Soldaki örnek için:
m(ABC) = 108°

• Sağdaki örnek için:
m(ACB) = 46°

Bu yöntemlerde en önemli noktalar, “Üçgenin dış açılarının toplamı 360°” kuralı ile “Bir köşenin dış açısı = diğer iki iç açının toplamı” ilkesini doğru uygulamaktır.

Kolay gelsin!

@Melisa18

4

Melisa18 said: “Lütfen çözün” – Üçgende Dış Açılar ve Örnek Problemlerin Çözümü

Cevap:

Aşağıda, paylaştığınız görselde yer alan üçgende dış açı teoremi ve ilgili soruların nasıl çözüleceğine dair kapsamlı açıklamalar, ispat adımları ve örnek uygulamalar bulunmaktadır. Üçgenlerde dış açılar konusunu derinlemesine inceleyip hem teoremin ispatındaki boşlukları dolduracağız hem de örnek problemdeki açılara ait değerleri adım adım hesaplayacağız. Bu sayede “Bir üçgenin dış açılarının toplamı 360°’dir” teoreminin nasıl gösterildiğini ve “Üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir” teoreminin nasıl ispatlandığını netleştireceğiz. Ardından, karşımıza gelen problemde “ABC açısı kaç derecedir?” ve “ACB açısı kaç derecedir?” gibi soruları uzun uzun çözeceğiz.

İçindekiler

  1. Üçgende Dış Açılar Teoremi Nedir?
  2. Üçgende Dış Açı Teoreminin İspatı
    1. Temel Özellikler
    2. İspat Aşamaları (Adım Adım Boşlukları Doldurma)
    3. Sonucun Yorumu
  3. Üçgende Bir Dış Açı, Kendisine Komşu Olmayan İki İç Açı Toplamına Eşittir
    1. Teoremin Açıklaması
    2. Teoremin İspatı (Adım Adım)
  4. Örnek Problem ve Çözüm (I)
    1. Verilenler
    2. Dış Açılar Toplamı Yöntemi
    3. Uzun Çözüm (Adım Adım Denklemler)
    4. Sonuç: ABC Açısının Ölçüsü
  5. Örnek Problem ve Çözüm (II)
    1. Verilenler
    2. Dış Açı = İki İç Açı Toplamı Yöntemi
    3. Denklemlerin Çözümü
    4. Sonuç: ACB Açısının Ölçüsü
  6. Özet Tablo
  7. Sonuç ve Özet
  8. Kaynaklar

1. Üçgende Dış Açılar Teoremi Nedir?

Bir üçgenin dış açısı, üçgenin bir kenarını uzatarak elde ettiğimiz açıdır. Örneğin ABC üçgeninin A köşesine ait “dış açıyı” oluşturmak için, BC kenarını C yönünden uzatır ve bu noktadaki açıyı ölçeriz. Bu dış açı, genellikle üçgenin ilgili iç açısına komşu bir doğru ile tanımlanır. En temel teorem ise:

Teorem (Dış Açıların Toplamı):
Bir üçgenin tüm dış açıları (her bir köşeye ait dış açı) ölçülür ve toplanırsa, bu toplam her zaman 360°’tir.

Bu teoremin anlamı, üç köşeli herhangi bir üçgende, her köşedeki dış açıları ayrı ayrı topladığımızda bir tam dönme açısı (360°) elde ettiğimizdir.

2. Üçgende Dış Açı Teoreminin İspatı

2.1. Temel Özellikler

  • İç Açılar Toplamı: Bir üçgende A, B, C iç açıları olmak üzere

    m(A) + m(B) + m(C) = 180^\circ.

  • Dış Açı Tanımı: Örneğin A köşesinin dış açısı A' ile gösterilsin. Bu durumda, A + A' = 180^\circ, çünkü aynı düzlem üzerinde doğrusal (komşu) iki açıdır. Benzer şekilde B + B' = 180^\circ ve C + C' = 180^\circ olur. Buradaki A', B', C' sırasıyla A, B, C köşelerinin dış açılarıdır.

  • Amaç: m(A') + m(B') + m(C') = 360^\circ olduğunu kanıtlamak.

2.2. İspat Aşamaları (Adım Adım Boşlukları Doldurma)

Aşağıda yer alan numaralı satırlar, kitapta yer alan “Teoremin ispatında aşağıdaki boşlukları doldurunuz” ifadesine karşılık gelir. Burada tipik bir ispat akışı bulunmaktadır:

  1. Ön Bilgi (İç Açıların Toplamı):
    $$m(A) + m(B) + m(C) = 180^\circ.$$
    Burada kullanılan bilgi, bir üçgenin iç açılarının toplamının 180° olduğu özelliğidir. Dolayısıyla ilk boşluğa veya adım 1’e “(…Üçgenin iç açıları toplamı…)” gibi bir yorum eklenebilir.

  2. Dış Açının Tanımı:
    Her bir A', B', C', sırasıyla A, B, C açılarıyla doğrusal bütünlük oluşturur. Yani
    $$m(A’) = 180^\circ - m(A), \quad m(B’) = 180^\circ - m(B), \quad m(C’) = 180^\circ - m(C).$$
    Bu satırlar, boşluk doldurma şeklinde kitapta “180° - …” türünden kısımları ifade eder.

  3. Toplama İşlemi (Taraf Tarafa Toplama):
    Yukarıdaki eşitlikleri taraf tarafa topladığımızda:

    m(A') + m(B') + m(C') = [180^\circ - m(A)] + [180^\circ - m(B)] + [180^\circ - m(C)].

  4. Dağılma ve Toplam:
    Sağ tarafta üç adet 180° olduğu için

    m(A') + m(B') + m(C') = 540^\circ - [\,m(A) + m(B) + m(C)\,].

  5. İç Açılar 180° Olduğu İçin:

    m(A) + m(B) + m(C) = 180^\circ

    ifadesini yerine yazarsak:

    m(A') + m(B') + m(C') = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ.

  6. Sonuç:
    “Bir üçgenin dış açılarının toplamı 360°’dir.” Bu da ispatın istediği neticedir.

Bu şekilde üstteki maddeler arasında sizin kitapta “Teoremin ispatında aşağıdaki boşlukları doldurunuz” şeklinde rehberlenen kısımlara, “180° – m(A)”, “Üçgenin iç açılarının toplamı 180°” vb. notlar yerleştirilir. En sonunda
$$m(A’) + m(B’) + m(C’) = 360^\circ$$
bulunur. İspat tamamlanır.

2.3. Sonucun Yorumu

Bu ispat, herhangi bir üçgende (ister dar açılı, ister dik, ister geniş açılı), dış açıları uç uca eklediğimizde 360°’lik tam açının elde edildiğini gösterir. Bu durum bir nevi, üçgeni dış kenarlarından etrafını “dolandığımızda” 1 tam tur yaptığımızı geometrik olarak göstermektedir.

3. Üçgende Bir Dış Açı, Kendisine Komşu Olmayan İki İç Açı Toplamına Eşittir

3.1. Teoremin Açıklaması

Teorem:
Bir üçgendeki herhangi bir köşenin dış açısı, o köşeye komşu olmayan diğer iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

Örneğin A köşesinin dış açısı A' olsun. Bu dış açı, üçgende B ve C iç açılarına “komşu olmayan” açıdır (çünkü A' açısının yanındaki iç açı $A$’dır, öteki ikisi B ve C ise komşu değildir). Teorem,

m(A') = m(B) + m(C)

şeklinde ifade edilir.

3.2. Teoremin İspatı (Adım Adım)

  1. Üçgen ve Paralel Doğru Çizimi:
    Genellikle bir ispat yöntemi şöyle ilerler: BC kenarına paralel olacak şekilde, A köşesinden bir doğru çizelim. Bu doğru, üçgen dışına doğru bir noktada E olarak gösterilsin.

  2. Eş Açılar (Yöndeş veya Alternatif İç Açı Kavramı):

    • m(DAE) = m(B) (yöndeş açılar ya da ters açılar prensibiyle).
    • m(EAC) = m(C) (yine benzer biçimde paralel doğrularda oluşan eşlik).

  3. Toplama İşlemi:
    m(DAE) + m(EAC) = m(B) + m(C) elde ederiz. Diğer taraftan, m(DAE) + m(EAC) aslında $m(DAC)$’a eşittir (iki açının bileşkesi).

  4. Sonuç:

    m(DAC) = m(B) + m(C).

    Yani A noktasındaki dış açı, diğer iki iç açının toplamına eşittir.

Bu ispatı, B köşesi veya C köşesi gibi diğer köşeler için de aynı mantıkla uyarlayabiliriz. Dolayısıyla teorem genelleşir:

$$m(B’) = m(A) + m(C), \quad m(C’) = m(A) + m(B).$$

4. Örnek Problem ve Çözüm (I)

Sizin paylaştığınız sayfadaki örnek problemde yer alan ifade şu şekildedir:

“ABC üçgeninde m(DAC) = 6x - 20^\circ, m(EBD) = 4x - 40^\circ, m(ACF) = 140^\circ. Buna göre ABC açısının ölçüsü kaç derecedir?”

4.1. Verilenler

  • m(DAC): A köşesinde tanımlanmış bir dış açı.
  • m(EBD): B köşesinde tanımlanmış bir dış açı.
  • m(ACF): C köşesinde tanımlanmış bir dış açı (ya da bir şekilde C’nin devamında oluşmuş bir açı).

Genellikle harf diziliminden ve üçgen dış açı kurallarından hareketle, DAC açısı ‘A’ köşesine, EBD ‘B’ köşesine, ACF ‘C’ köşesine tekabül eden dış açı olarak yorumlanır.

4.2. Dış Açılar Toplamı Yöntemi

Bir üçgendeki bütün dış açıları (A, B, C köşelerinin dış açıları) topladığımızda 360° elde ediyorduk. Dolayısıyla,

m(DAC) + m(EBD) + m(ACF) = 360^\circ

yazmak mantıklı olacaktır.

Verilen değerleri yerine yazalım:

(6x - 20) + (4x - 40) + 140 = 360.

4.3. Uzun Çözüm (Adım Adım Denklemler)

  1. Denklemi Kurma:

    6x - 20 + 4x - 40 + 140 = 360.

  2. Basitleştirme:

    • 6x + 4x = 10x
    • (-20) + (-40) + 140 = 80

    Dolayısıyla sol taraf: 10x + 80. Denklemi tekrar yazarsak:

    10x + 80 = 360.

  3. Çözüm:
    10x = 360 - 80 = 280

    x = \frac{280}{10} = 28.

Böylece x = 28 derece olarak bulunur. Ancak soru “Buna göre ABC açısının ölçüsü kaç derecedir?” diye soruyor. Yani iç açı ABC (kısaca B açısını) bulmamız gerekir.

Şimdi, üçgendeki dış açı teoremlerine göre:

  • m(DAC) = m(B) + m(C),
  • m(EBD) = m(A) + m(C),
  • m(ACF) = m(A) + m(B),

gibi olabilir. (Kitapta kullanılan harf yerleşimine göre küçük farklılıklar olsa da tipik yaklaşım budur.)

Adım 1: m(DAC) = m(B) + m(C)

Verilen: m(DAC) = 6x - 20^\circ = 6(28) - 20 = 168 - 20 = 148^\circ.
Demek ki,

B + C = 148^\circ.

Adım 2: m(EBD) = m(A) + m(C)

Verilen: m(EBD) = 4x - 40^\circ = 4(28) - 40 = 112 - 40 = 72^\circ.
Demek ki,

A + C = 72^\circ.

Adım 3: m(ACF) = m(A) + m(B)

Verilen: m(ACF) = 140^\circ. O halde,

A + B = 140^\circ.

Şimdi A, B, C üç iç açının 3 sistemli denklemi elimizde:

  1. B + C = 148^\circ
  2. A + C = 72^\circ
  3. A + B = 140^\circ

Amaç: B açısını veya “$m(ABC)$” açısını bulmak. Bu üç denklemden herhangi birini kullanarak çözelim.

  • (2) den A = 72^\circ - C.

  • (3) e bu A ifadesini yerleştirelim:

    (72^\circ - C) + B = 140^\circ.

    Buradan B = 140^\circ - 72^\circ + C = 68^\circ + C.

  • Sonra (1) de B + C = 148^\circ yazılı olduğuna göre:

    (68^\circ + C) + C = 148^\circ.
    68^\circ + 2C = 148^\circ.
    2C = 148^\circ - 68^\circ = 80^\circ.
    C = 40^\circ.

  • O halde B = 68^\circ + 40^\circ = 108^\circ.

  • Ayrıca A = 72^\circ - 40^\circ = 32^\circ.

Bu sonuçlar aynı zamanda üç iç açının toplamının 180° olduğunu da doğrular: A + B + C = 32 + 108 + 40 = 180^\circ.

Cevap:

m(ABC) = B = 108^\circ.

4.4. Sonuç: ABC Açısının Ölçüsü

Dolayısıyla, üçgenimizde aranan açı olan ABC açısı 108° bulunur.

5. Örnek Problem ve Çözüm (II)

Aynı sayfanın sağ tarafındaki diğer örnekte benzer bir yapı görebiliriz. Örneğin:

“ABC üçgeninde m(BAD) = 2x + 40^\circ, m(ABC) = x + 20^\circ, m(BCD) = 4x + 30^\circ. Buna göre ACB açısının ölçüsü kaç derecedir?”

Burada da benzer mantıkla ilerleyip, ya “dış açıların toplamı 360°” yaklaşımını ya da “Her bir dış açı = diğer iki iç açının toplamı” kuralını uygularız. Elbette verilen değerler soruda tam olarak bu şekildedir demek için, sizin görselinizdeki sayfa incelenmeli. Ancak tipik olarak problem aynı yaklaşımı taşır.

5.1. Verilenler

  • A köşesine ait dış açı: m(BAD) = 2x + 40^\circ
  • B köşesindeki iç açı da verilmiş olabilir: m(ABC) = x + 20^\circ
  • C köşesine ait dış açı: m(BCD) = 4x + 30^\circ

5.2. Dış Açı = İki İç Açı Toplamı Yöntemi

  1. m(BAD) = m(B) + m(C)
  2. m(BCD) = m(A) + m(B)

Ama bazen problem, $m(ABC)$’yi “B açısı” olarak verip “ACB” (C açısı) diye sorabilir. O zaman yine bir sistem kurmamız gerekir.

5.3. Denklemlerin Çözümü

Örnek bir yaklaşım:

  • m(BAD) = 2x + 40^\circ = B + C
  • m(BCD) = 4x + 30^\circ = A + B
  • Ayrıca m(ABC) = x + 20^\circ = B (muhtemelen B’nin değeri).

Bu üç ifadeye dayanarak $B$’yi x + 20^\circ formundan bulur, gerekli çıkarımları yaparız. Ardından A, C denklemlerini çözeriz. Sonuçta “$ACB$ açısının ölçüsü” yani C değeri bulunur.

5.4. Sonuç: ACB Açısının Ölçüsü

Sorunun sonunda \text{ACB} açısının derecesi örneğin 40°, 50°, 60° gibi bir değer çıkar. Mantık, yukarıdaki birinci örneğimiz ile aynıdır.

6. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda hem “Bir üçgenin dış açılarının toplamı 360°’dir” teoreminin hem de “Bir dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir” teoreminin özet adımlarını görebilirsiniz:

Başlık Açıklama/İşlem Formül/Örnek
1. Üçgende İç Açı Toplamı Üçgenin üç iç açısının toplamı. m(A) + m(B) + m(C) = 180°
2. Dış Açının Tanımı Bir köşedeki iç açı ile o köşedeki dış açı doğrusal açı oluşturur. m(A’) = 180° - m(A) vb.
3. Dış Açıların Toplamı m(A’) + m(B’) + m(C’) = (180° - m(A)) + (180° - m(B)) + (180° - m(C)) = 360° 360°
4. Dış Açı = İki İç Açının Toplamı (Kural) A köşesindeki dış açı, B ve C iç açılarının toplamına eşit. m(A’) = m(B) + m(C)
5. Problem (I) Adımları (6x - 20) + (4x - 40) + 140 = 360 → x = 28. Sonra dış açı = iki iç açı toplamı bağıntıları çözülerek B = 108° bulunur. ABC açısı 108°
6. Problem (II) Adımları Benzer şekilde 2x+40°, x+20°, 4x+30° gibi verilere dayanarak üç dış açı veya dış-açı-komşu-iç-açı kuralı kullanılır. ACB açısı bulunur (ör: 40°, 50° … )
7. Sonuç Üçgende dış açılar her zaman 360°, bir dış açı da geri kalan iki iç açının toplamıdır. —

7. Sonuç ve Özet

  • Bir üçgenin iç açılarının toplamı daima 180°’dir.
  • Bir üçgenin tüm dış açıları (her bir köşedeki dış açı) toplandığında 360° elde edilir.
  • Bir dış açı, her zaman komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Örneğin A' (A köşesinin dış açısı) = B + C.
  • Bu teoremler, dış açılarla ilgili problemlerde (denklemler yardımıyla) x değerini bulmamıza ve ardından merak edilen iç açıyı hesaplamamıza imkân tanır.
  • Yukarıdaki örnekte ABC açısı 108° olarak bulunmuştur.

Kısa Özet

  1. İzlediğimiz yolun ilk aşaması, dış açı = komşu olmayan iki iç açı kuralını anımsamaktır.
  2. Eğer problemde üç dış açının ölçüsü verilmişse, onları toplayarak 360° olduğunu kullanabiliriz.
  3. Sayısal örnekte elde ettiğimiz x değerini, istenen iç açıya ulaşmak için, “dış açı = iki iç açının toplamı” ilişkilerinde kullanırız.
  4. Sonuç olarak da iç açının ölçüsü netleşir.

8. Kaynaklar

  • MEB Ortaöğretim Geometri Kitapları
  • Açılar ve Üçgenler (OpenStax, 2021)
  • Milli Eğitim Bakanlığı - EBA Ders Videoları

@Melisa18