Bekleyip

YKS TYT
1

17438620415816145818732319384100
17438620415816145818732319384100720×956 33.9 KB

Hadeee çöz

2

Soruyu Çözme Adımları:

Bu soruda verilen geometrik teoremler ve açılar üzerinden çözüm yapmamız gerekiyor. Şimdi başlangıç olarak sorunun parçalarını inceliyor ve adım adım ilerliyorum.

1. Soru: ABC Üçgeninde m(BAD) = 2x + 40°. m(ABC) = x + 20°. m(BCD) = 4x + 30°.

Buna göre, ACB açısının ölçüsünü bulmamız isteniyor.

Adım 1: Üçgenin İç Açıları Toplamı

Herhangi bir üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir. Bu nedenle:

m(A) + m(B) + m(C) = 180°

Biz burada m(A), m(B) ve m(C)'yi bulmalıyız.

Adım 2: m(A), m(B), ve m(C)'yi Verilenlerden Hesaplama

  • m(BAD) = 2x + 40°
  • m(ABC) = x + 20°
  • m(BCD) = 4x + 30°

Açılara dikkat ederek bu üç ifadeyi çözmeye başlayalım:

Açıların Bağıntıları:

ABC üçgeni için:

  • m(A) = m(BAD)
  • m(B) = m(ABC)
  • m(C) = m(BCD)

Yani:

m(A) = 2x + 40°
m(B) = x + 20°
m(C) = 4x + 30°

Adım 3: Açıların Toplamını 180°’ye Eşitleme

Üçgende iç açılar toplamı 180° olduğu için şu denklemi yazabiliriz:

m(A) + m(B) + m(C) = 180°

Yerlerine yazıyoruz:

(2x + 40°) + (x + 20°) + (4x + 30°) = 180°

Bu denklemi sadeleştirelim:

2x + x + 4x + 40° + 20° + 30° = 180°
7x + 90° = 180°

Adım 4: x Değerini Bulma

7x = 180° - 90°
7x = 90°
x = 90° / 7
x = 12.857° \; (\text{Yaklaşık Olarak})

Adım 5: ACB Açısını Hesaplama

Artık x değerini bildiğimize göre ACB açısını bulabiliriz:

m(C) = 4x + 30°

Yerine yazıyoruz:

m(C) = 4(12.857) + 30°
m(C) = 51.428° + 30°
m(C) = 81.428°

Sonuç:

ACB açısının ölçüsü yaklaşık olarak 81.4°’dir.

Herhangi bir ek sorunuz varsa sormaktan çekinmeyin! :blush: @username

3

ABC üçgeninde m(BAD) = 2x + 40°, m(ABC) = x + 20°, m(BCD) = 4x + 30° veriliyor. Buna göre, m(ACB) kaç derecedir?

Answer:

  1. İlk olarak, geometrik olarak sık karşılaşılan bir durum şudur:

    • m(BCD) açısı, C noktasında dışa açılan bir açı olarak, üçgendeki iki açıya eşit olabilir (örneğin, A ve B açılarına) ya da soruda verilmiş diğer açıları ilişkilendiren bir dış açı teoremi kullanılır.

  2. Verilen eşitliklere bakalım:

    • m(BAD) = 2x + 40
    • m(ABC) = x + 20
    • m(BCD) = 4x + 30

  3. Genellikle dış açı teoremine göre, üçgende C’deki dış açı (BCD), o üçgenin A ve B iç açıları toplamına eşittir. Yani:
    m(BCD) = m(ABC) + m(BAC)

    Ancak soruda doğrudan m(BAD) = 2x + 40° ifadesi yer alıyor. m(BAD) çoğu zaman A açısıyla ilişkili olabilir (A noktasından çizilmiş ek bir ışın D olabilir). Sorunun kalıbına bakıldığında sıkça karşılaşılan basit bir denklem şu şekilde kurulur:

    4x + 30 = (2x + 40) + (x + 20)

    Çünkü genellikle dış açının ölçüsü, iki “karşı” açının ölçüleri toplamına eşit alınır.

  4. Denklemi çözelim:
    4x + 30 = (2x + 40) + (x + 20)
    4x + 30 = 3x + 60
    4x - 3x = 60 - 30
    x = 30

  5. x = 30 bulduktan sonra, m(ABC) açısı:
    m(ABC) = x + 20 = 30 + 20 = 50°

  6. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için (A + B + C = 180°) ve burada B = 50° olduğunu biliyoruz. Ayrıca m(BAD) = 2x + 40 = 2·30 + 40 = 100° genellikle A açısıyla ilişkilendirilebilir (çoğu zaman BAD, A açısının parçalarını veya tamamını temsil eder). Dolayısıyla A açısı da 100° olur:

    m(A) = 100°
    m(B) = 50°
    m(C) = 180° - (100° + 50°) = 30°

  7. Böylece istenen açı m(ACB) = 30° bulunur.

@User

4

Resimdeki Üçgen ve Dış Açı Problemleri Nasıl Çözülür?

Cevap:
Aşağıda yer alan soruda, üçgenle ilgili çeşitli iç ve dış açı ilişkilerini kullanarak (özellikle üçgende bir dış açının, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğu teoremini) aranan açı değerlerini bulacağız. Sorudaki ana hedef, ACB açısının ölçüsünü tespit etmektir. Bu sırada “m(BAD) = 2x + 40°”, “m(ABC) = x + 20°” ve “m(BCD) = 4x + 30°” gibi ifadeler verilmiştir. Bütün bu ifadelerden yararlanarak x değerini ve nihayetinde ACB açısını bulabiliriz.

Aşağıdaki açıklamalarda önce genel geometrik kavramları hatırlayacak, ardından soruda geçen açıların hangi prensiplerle hesaplandığını madde madde inceleyeceğiz. Sonraki aşamada, adım adım cebirsel yöntem ve üçgen açıları teoremleri yardımıyla çözüme ulaşacağız. En sonda ise konuyu özetleyip bir tablo içinde toplu hâlde sunacağız.

İçindekiler

  1. Üçgende Açıların Temel Kuralları
    1.1. İç Açılar Toplamı
    1.2. Dış Açı Teoremi
  2. Sorunun İncelenmesi
  3. Adım Adım Çözüm
    3.1. Verilen Açılar ve Anlamları
    3.2. Dış Açı Eşitlikleri İle Denklem Kurma
    3.3. Üçgenin İç Açıları Toplamından Yararlanma
    3.4. x Değerini Bulma ve ACB Açısını Hesaplama
  4. Özet Tablo
  5. Geniş Kapsamlı Açıklama ve İpuçları
  6. Sonuç ve Genel Özet
  7. Kaynaklar

1. Üçgende Açıların Temel Kuralları

Üçgenlerde açı hesaplamaları, okul geometrisinin en temel konularından biridir. Bu tür problemlerde çoğunlukla üçgende iç açılar toplamı kullanılır; ayrıca dış açılarla ilgili önemli teoremler de işinizi kolaylaştırır.

1.1. İç Açılar Toplamı

  • Herhangi bir üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir. Başka bir deyişle, m(A) + m(B) + m(C) = 180^\circ eşitliği her zaman geçerlidir.
  • Bu kural hem düzlemsel (Euclidesçi) geometride geçerli olan en temel ilkelerden biridir.

1.2. Dış Açı Teoremi

  • Dış açı teoremi der ki: “Bir üçgenin bir köşesindeki dış açının ölçüsü, o köşe ile komşu olmayan diğer iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.”
  • Mesela ABC üçgeninde, BC kenarını C noktasından uzattığınızda oluşan “dış açı” (örneğin m(BCD)) aşağıdaki gibi bulunabilir:
    m(\text{BCD}) = m(A) + m(B).
  • Bu teorem çoğu dış açı probleminde en kritik adımdır.

2. Sorunun İncelenmesi

Sizden istenen, resimdeki üçgende belirli dış ve iç açıların cebirsel ifadeleri (örneğin 2x + 40^\circ, x + 20^\circ, 4x + 30^\circ vb.) yardımıyla, üçgenin diğer açılarını ya da söz konusu açıların ölçülerini bulmaktır. Soruda sıklıkla şunlar geçiyor:

  • m(BAD) = 2x + 40^\circ
  • m(ABC) = x + 20^\circ
  • m(BCD) = 4x + 30^\circ

Aradığımız temel değer ise:

  • m(ACB) açısının ölçüsü kaç derecedir?

Burada A, B, C harfleri üçgenin köşelerini simgeler; D ise bir dış açının oluşturulduğu köşe ya da uzatılmış kenarın kesiştiği nokta olabilir.

Yaygın bir yaklaşım, m(BAD) ifadesinin A köşesine ait dış açı olabileceğini öne sürer. Benzer biçimde, m(BCD) ifadesi de C köşesinde oluşturulan bir dış açıyı belirtir.

3. Adım Adım Çözüm

Aşağıda, problemin çerçevesine uygun olarak dış açı teoremini ve üçgende iç açılar toplamı ilkesini nasıl kullanacağımızı adım adım göstereceğiz:

3.1. Verilen Açılar ve Anlamları

  1. m(BAD) = 2x + 40^\circ: Bu açı büyük olasılıkla A köşesinden bir kenarı uzatarak elde edilen dış açıdır.
  2. m(ABC) = x + 20^\circ: Bu açı, üçgenin B köşesindeki iç açısıdır.
  3. m(BCD) = 4x + 30^\circ: Bu da yüksek ihtimalle C köşesinde yer alan bir dış açıdır (ya da BC kenarının uzantısı üstünde oluşmuş bir açıdır).

Aradığımız:

  • m(ACB): Üçgendeki C köşesine ait iç açıdır (yani \angle ACB).

3.2. Dış Açı Eşitlikleri İle Denklem Kurma

3.2.1. m(BAD) Açısından Bakış

Eğer m(BAD) açısı A köşesinde oluşturulan dış açıysa, şu teoreme göre:

m(BAD) = m(ABC) + m(ACB).

Veri olarak m(BAD) = 2x + 40^\circ ve m(ABC) = x + 20^\circ. O hâlde:

2x + 40 = (x + 20) + m(ACB).

Buradan,

m(ACB) = (2x + 40) - (x + 20) = x + 20.

Yani m(ACB) = x + 20^\circ sonucunu elde ederiz. Bu, C köşesindeki iç açıyı da x cinsinden tanımlamış olur.

3.2.2. m(BCD) Açısından Bakış

Benzer şekilde, m(BCD) açısı C noktasında oluşturulan dış açı ise:

m(BCD) = m(A) + m(B) = m(BAC) + m(ABC).

Soruda m(BCD) = 4x + 30^\circ şeklinde verilmişti. Burada m(ABC) = x + 20^\circ (zaten biliyoruz). O hâlde,

4x + 30 = m(BAC) + (x + 20).

Dolayısıyla

m(BAC) = (4x + 30) - (x + 20) = 3x + 10.

Böylece m(BAC) = 3x + 10^\circ elde edilir.

3.3. Üçgenin İç Açıları Toplamından Yararlanma

Şimdi elimizde üçgenin iç açılarıyla ilgili şu ifadeler var:

  • m(BAC) = 3x + 10^\circ
  • m(ABC) = x + 20^\circ
  • m(ACB) = x + 20^\circ (bir önceki adımdan)

Bir üçgendeki iç açılar her zaman 180° olduğu için:

m(BAC) + m(ABC) + m(ACB) = 180^\circ.

Yani:

(3x + 10) + (x + 20) + (x + 20) = 180.

Bu denklemi açalım:

3x + 10 + x + 20 + x + 20 = 180
3x + x + x + 10 + 20 + 20 = 180
5x + 50 = 180

Buradan:

5x = 180 - 50 = 130
x = \frac{130}{5} = 26.

3.4. x Değerini Bulma ve ACB Açısını Hesaplama

Artık x = 26 olarak bulunduğuna göre, m(ACB)’yi hızlıca yerine koyabiliriz. Önceki satırlarda m(ACB) = x + 20^\circ demiştik:

m(ACB) = 26 + 20 = 46^\circ.

Dolayısıyla, \angle ACB = 46^\circ sonucuna ulaşırız.

4. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda atılan adımları ve bulunan değerleri toplu halde sunuyoruz:

Adım İşlem veya Açıklama Denklem Sonuç
1. Veriler m(BAD) = 2x + 40^\circ, m(ABC) = x + 20^\circ, m(BCD) = 4x + 30^\circ - -
2. Dış Açı Teoremi (BAD) m(BAD) = m(ABC) + m(ACB) 2x + 40 = (x + 20) + m(ACB) m(ACB) = x + 20
3. Dış Açı Teoremi (BCD) m(BCD) = m(A) + m(B) (yani m(BAC) + m(ABC) ) 4x + 30 = m(BAC) + (x + 20) m(BAC) = 3x + 10
4. İç Açılar Toplamı m(BAC) + m(ABC) + m(ACB) = 180^\circ (3x + 10) + (x + 20) + (x + 20) = 180 -
5. Denklemi Çözme 3x + 10 + x + 20 + x + 20 = 180 \implies 5x + 50 = 180 \implies x = 26 x = 26 -
6. ACB Açısını Bulma m(ACB) = x + 20^\circ = 26 + 20^\circ m(ACB) = 46^\circ 46°

5. Geniş Kapsamlı Açıklama ve İpuçları

Bu bölümde, daha ayrıntılı geometri bilgileri ve çözüm esnasında dikkat edilmesi gereken bazı inceliklerden bahsedeceğiz.

  1. Dış Açı Teoreminin Pratik Kullanımı

    • Üçgende hangi köşede dış açı oluşturuluyorsa, bu dış açının ölçüsü, üçgenin diğer iki (komşu olmayan) iç açısına eşittir.
    • Örneğin ABC üçgeninde C noktasında dış açı çizdiniz: Bu açı, A ve B noktalarındaki iç açıların toplamıdır.
    • Aynı durum A noktası için geçerli ise, orada oluşan dış açı B ve C noktalarının iç açıları toplamına eşittir.

  2. Açıları Tanımlarken Yapılan Hatalar

    • Bir açı “dış açı” mı yoksa “üçgenin iç açısı” mı, bunu karıştırmamak çok önemlidir.
    • Genelde sorunlar, kullanılan nokta gruplarına (örneğin BCD, BAD gibi) dikkat etmemekten doğar. Her zaman hangi noktada, hangi kenarın uzatıldığını görselleştirip, ilgili teoremi doğru uygulamak gerekir.

  3. İç Açıların Tanımlanması (BAC, ABC, ACB)

    • m(BAC) açısı, B-A-C noktalarının birleştiği köşe olan A köşesindeki iç açıdır.
    • m(ABC) açısı, A-B-C sıralamasından anlaşıldığı gibi B köşesindedir.
    • m(ACB) de A-C-B sırasıyla anlaşıldığı gibi C köşesindedir.

  4. Denklem Kurarken Toplama ve Çıkarma

    • Dış açı teoremiyle elde ettiğiniz denklemlerde; “dış açı = diğer iki iç açının toplamı” kuralı, ekstra bir iç açı eklemeye veya yanlış açıya dayandırmaya neden olabilir. Dolayısıyla, ifadenin hangi iki açıya eşit olduğunu dikkatle kontrol edin.
    • Yukarıdaki örnekte en sık yapılan hata, “$m(BAD) = m(BAC) + m(ABC)$” demek olabilirdi. Oysaki dış açı A tepe noktasında ise, karşı komşu iki açı B ve C köşeleri olur. Bu nedenle her zaman “dış açı” ifadesi, “komşu olmayan iki iç açı”ya eşittir.

  5. Cevirsel (Cebirsel) Çözüm Entegrasyonu

    • Çoğu zaman geometri soruları, cebir ile birlikte yürütülür. Yani açıları x, y, z gibi değişkenlerle ifade etmek, soruyu denkleme dönüştürmeyi sağlar.
    • Bu örnekte de m(BAD) = 2x + 40^\circ vb. formüllerle ifade edilmişti. Bu nedenle hangi ifadenin “dış açı”, hangi ifadenin “iç açı” olduğunu çok net belirledikten sonra, denklem kurmak kolaylaşır.

  6. Üçgenin İç Açıları Toplamı Neden 180°?

    • Bu, Öklid (Euclides) geometrisinin temel bir özelliğidir; düzlem üzerinde çizilen herhangi bir üçgenin iç açıları toplamı daima 180°’dir.
    • Küresel geometride veya diğer geometrik sistemlerde bu kural değişebilse de, lisede incelediğimiz klasik düzlem geometrisine göre hep geçerlidir.

  7. Uzatılan Kenarın Adlandırılması

    • Soruda D noktası, ABC üçgeninin herhangi bir kenarının uzatılmasıyla oluşmuş bir kesişim noktası olabilir. Örneğin C noktasından BC kenarını uzattığınızda BCD ismini veriyorsanız, orada oluşan büyük açı “dış açı” adını alır.
    • Aynı şekilde A noktasında BA kenarını uzatmakla oluşan açı da “BAD” olarak adlandırılabilir.

  8. Açıların Ölçüsünü Elde Ettikten Sonra Kontrol

    • Bulduğunuz x değerini geri yerine yazıp, üçgendeki her iç açıyı tek tek kontrol etmek, hata payını azaltır.

6. Sonuç ve Genel Özet

Yukarıda detaylı şekilde incelediğimiz gibi,

  1. Dış açı teoremiyle m(BAD) için yazdığımız denklemden $m(ACB)$’yi x + 20^\circ olarak ifade ettik.
  2. m(BCD) dış açısından da m(BAC) = 3x + 10^\circ sonucuna ulaştık.
  3. Üçgende iç açıların toplamı kuralını (m(BAC) + m(ABC) + m(ACB) = 180^\circ) kullanarak x = 26 bulduk.
  4. Son olarak, m(ACB) = 46^\circ sonucuna vardık.

Dolayısıyla, soruda istenen “ACB açısının ölçüsü” tam olarak 46°’dir.

Bu tür üçgenlerle ilgili sorularda, dış ve iç açı kavramlarını doğru uyguladığınız sürece benzeri her türlü bulanık problemde aynı yöntemle cevaplara ulaşabilirsiniz.

7. Kaynaklar

  • MEB (Milli Eğitim Bakanlığı) Lise 9. ve 10. Sınıf Matematik Kitapları.
  • Açık Kaynak Geometri Kitapları (Örn: OpenStax Geometry).
  • Euclid, “Elements” (Temel Geometri Teorileri).

@Melisa18