Merhaba! Fotoğraftaki sorular iki farklı üçgenin iç açılarını bulma üzerine.
Aşağıda açıklamaları adım adım açıklayarak çözelim:
Soru 1:
ABC bir üçgende:
- m(\hat{B}) = 60^\circ,
- m(\hat{C}) = 40^\circ.
Buna göre, m(\hat{A}) = x \; ?
Çözüm:
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180^\circ’dir. Bu formüle göre:
m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ
Verilenleri yerine yazalım:
x + 60 + 40 = 180
Toplama işlemini yapalım:
x + 100 = 180
$x$’i bulmak için her iki taraftan 100 çıkaralım:
x = 80
Cevap:
m(\hat{A}) = 80^\circ
Soru 2:
ABC bir üçgende:
m(\hat{BAC}) + m(\hat{ABC}) = 135^\circ
Buna göre, m(\hat{ACB}) = x \; ?
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180^\circ’dir. Formül yine:
m(\hat{BAC}) + m(\hat{ABC}) + m(\hat{ACB}) = 180^\circ
Verilenlere göre:
135 + x = 180
$x$’i bulmak için her iki taraftan 135 çıkaralım:
x = 45
Cevap:
m(\hat{ACB}) = 45^\circ
Her iki soruyu da çözmüş olduk! Yardımcı olabileceğim başka bir konu varsa sorabilirsiniz. 
@username
ABC üçgende açılar soruları
Soru 1:
ABC üçgeninde m(B) = 80°, m(C) = 40° olarak verilmiştir. Buna göre, m(A) = x kaç derecedir?
Çözüm:
- Bir üçgende iç açılarının toplamı her zaman 180°’dir.
- Dolayısıyla m(A) + m(B) + m(C) = 180° yazabiliriz.
- Sayısal değerleri yerine koyduğumuzda:
m(A) + 80° + 40° = 180° - Buradan m(A) = 180° - 80° - 40° = 60° bulunur.
Cevap: 60°
Soru 2:
ABC üçgeninde m(BAC) + m(ABC) = 135° verilmiştir. Buna göre, m(ACB) = x kaç derecedir?
Çözüm:
- Üçgen iç açıları toplamı yine 180° kuralına dayanır.
- m(BAC) + m(ABC) + m(ACB) = 180°
- Verilen koşul m(BAC) + m(ABC) = 135° olduğundan,
135° + m(ACB) = 180° - Buradan m(ACB) = 180° - 135° = 45°’tir.
Cevap: 45°
Ek Bilgi - Üçgenlerde Açıların Temel Özelliği
Üçgenin iç açıları toplamının 180° olduğu, geometri derslerinde ilk öğrenilen ve en önemli kurallardan biridir. Ayrıca, yandaki sorularda verilen açı ölçüleri doğrudan bu kurala göre çözülmüştür.
Kaynak/Referans:
(MEB Ortaöğretim Matematik Programı, Üçgenlerde Açılar Konusu)
@User
Resimdeki Sorular: Üçgende Açılar ve m(A) ile m(ACB) Değerleri Kaç Derecedir?
Cevap:
Aşağıda iki farklı soru yer almaktadır. Birincisinde ABC üçgeninde m(B) = 80^\circ ve m(C) = 40^\circ verildiğinde, m(A) (soruda x olarak gösterilen açı) bulunacaktır. İkincisinde ise ABC üçgeninde m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) = 135^\circ koşulu verildiğinde m(\widehat{ACB}) = x değeri sorulmaktadır. Her iki sorunun detaylı çözümleri, üçgenin iç açılarının toplamını, yardımcı kavramları ve ispat adımlarını ele alarak aşağıda aktarılmaktadır.
İçindekiler
- Üçgenlerde Temel Kavramlar
- Üçgenlerin Açı Özellikleri
- 1. Soru: m(B) = 80^\circ ve m(C) = 40^\circ İken m(A) Kaç Derecedir?
- 2. Soru: m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) = 135^\circ İse m(\widehat{ACB}) Kaç Derecedir?
- Üçgenlerle İlgili Ek Bilgiler ve Örnekler
- Soru 1 ve Soru 2 Çözümlerinin Genel Özeti
- Referanslar
1. Üçgenlerde Temel Kavramlar
Bir üçgen, düzlemde birbirine doğru olmayan üç doğrunun kesişmesiyle (ya da üç köşenin birleştirilmesiyle) oluşan kapalı bir geometrik şekildir. Üçgende:
- Köşeler: Örneğin A, B, C harfleriyle ifade edilir.
- Kenarlar: Köşeleri birleştiren doğrular (örnek: AB, BC, AC).
- İç Açı: Her köşede, kenarların oluşturduğu açı. Örneğin m(\widehat{A}), m(\widehat{B}), m(\widehat{C}) biçiminde yazılır.
Bir üçgende köşelere karşılık gelen açılar, çoğu zaman A, B, C gibi kısaltmalarla anılır. Örneğin m(A) ya da \angle A notasyonları aynı anlama gelir.
2. Üçgenlerin Açı Özellikleri
Bir üçgenin en temel özelliği, iç açılarıyla ilişkili olan “Üçgenin İç Açıları Toplamı” kuralıdır.
2.1. İç Açıların Toplamı
Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı daima 180^\circ’dir. Bu kural, Öklidyen (düzlem) geometri için geçerlidir ve şu şekilde ifade edilebilir:
m(A) + m(B) + m(C) = 180^\circ
Burada m(A), m(B) ve m(C) sırasıyla üçgenin A, B, C köşelerindeki açı ölçüleridir. Bu kural, en temel ve en sık kullanılan üçgen özelliklerindendir.
2.2. Dış Açı Kavramı
Herhangi bir köşeden üçgenin dışına doğru kenarı uzatarak elde edilen açı, üçgenin dış açısı olarak tanımlanır. Örneğin bir üçgenin B köşesinde BC kenarını uzattığımızda oluşan dış açı, iç açıların toplamından da faydalanılarak bulunabilir. Ancak bu soru kapsamında esas gereken bilgi, iç açılar toplamı kuralıdır.
3. 1. Soru: m(B) = 80^\circ ve m(C) = 40^\circ İken m(A) = x Kaç Derecedir?
Soru metninde “ABC bir üçgen, m(\widehat{B}) = 80^\circ, m(\widehat{C}) = 40^\circ. Buna göre, m(A) = x kaç derecedir?” ifadesi verilmektedir. Bu, doğrudan üçgenin iç açılarının toplamı kuralıyla çözülebilir.
3.1. Adım Adım Çözüm
-
Verilenler:
- m(B) = 80^\circ
- m(C) = 40^\circ
- Üçgenin köşelerinden biri olan $A$’ya ait açı ölçüsü bilinmiyor ve x olarak gösteriliyor.
-
Üçgende Açıların Toplamı:
Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için:m(A) + m(B) + m(C) = 180^\circdiğer bir gösterimle:
x + 80^\circ + 40^\circ = 180^\circ -
Hesaplama:
x + 80^\circ + 40^\circ = 180^\circ \implies x + 120^\circ = 180^\circx = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ -
Sonuç:
Demek ki m(A) = x = 60^\circ olarak bulunur.
Bu sonucu doğrulamayı kolaylaştırmak için hızlı bir kontrol yapabiliriz: 80^\circ + 40^\circ + 60^\circ = 180^\circ, yani kural sağlanıyor.
3.2. İlgili Tablolar
Aşağıdaki tablo, 1. Soruya ait açı ölçülerini özetlemektedir:
| Açı | Verilen/Aranan Değer | Hesaplanan Sonuç |
|---|---|---|
| m(B) | 80° (verildi) | 80° |
| m(C) | 40° (verildi) | 40° |
| m(A) = x | Bilinmiyordu | 60° |
4. 2. Soru: m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) = 135^\circ İse m(\widehat{ACB}) = x Kaç Derecedir?
İkinci soruda yine ABC üçgeni verilmiştir. Bu defa m(\widehat{BAC}) ile m(\widehat{ABC}) toplamının 135^\circ olduğu belirtildiğinden, üçüncü açı m(\widehat{ACB})’nin (soruda x) kaç derece olduğu sorulmaktadır.
4.1. Adım Adım Çözüm
-
Verilenler:
- m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) = 135^\circ
- m(\widehat{ACB}) = x bulunacak.
-
Üçgende Açıların Toplamı:
Temel kural gereği:m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ -
Eşitliği Yerine Koyma:
Yukarıdaki denklem içinde, ilk iki açının toplamı 135°’yi verdiğine göre:135^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ -
Hesaplama:
m(\widehat{ACB}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ -
Sonuç:
Böylece üçgenin üçüncü açısı 45^\circ olur.
4.2. İlgili Tablolar
Aşağıdaki tabloda 2. Sorudaki açı ilişkisi özetlenmektedir:
| Verilen Toplam | Aranan Açı | Hesaplanan Değer |
|---|---|---|
| m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) = 135^\circ | m(\widehat{ACB}) = x | 45° |
5. Üçgenlerle İlgili Ek Bilgiler ve Örnekler (Ayrıntılı Anlatım)
Yukarıdaki sorular özünde üçgenin iç açılarının toplamı ilkesini doğrudan kullanır. Ancak öğrencilerin konuyu daha iyi kavraması açısından bazı ek bilgiler ve örnekler paylaşmak faydalı olabilir.
5.1. Temel Tip Üçgen Türleri ve Açı Özellikleri
-
Eşkenar Üçgen
- Tüm kenarları eşit uzunlukta,
- Tüm iç açıları 60°.
Dolayısıyla m(A) = m(B) = m(C) = 60^\circ.
-
İkizkenar Üçgen
- İki kenarı eşit uzunlukta,
- Bu kenarların karşısındaki iki açı da birbirine eşittir.
Örneğin AB = AC ise m(B) = m(C) gibi.
-
Çeşitkenar Üçgen
- Üç kenarı da farklı uzunluklardadır,
- Soru 1 ve Soru 2’de yer alan üçgenler, kenarları hakkında bilgi verilmediğinden büyük ihtimalle çeşitkenar olabilir. Yine de sadece açılar üzerinden konuşmak mümkündür.
-
Dar Açılı Üçgen
- Tüm açıları 90°’den küçük.
-
Dik Üçgen
- Bir açısı 90° olan üçgen.
Açıların toplamından dolayı diğer iki açı, 90°’i paylaşır.
- Bir açısı 90° olan üçgen.
-
Geniş Açılı Üçgen
- Bir açısı 90°’den büyük.
Diğer iki açının toplamı, 90°’den küçük olur.
- Bir açısı 90°’den büyük.
Bu soru özelinde, 1. Soruda ve 2. Soruda ele alınan üçgenler muhtemelen dar açılı veya geniş açılı olabilir. İlk soruda bir açı 80°, diğeri 40° ve üçüncüsü 60° olduğundan üçü de 90°’den küçük, dolayısıyla dar açılı bir üçgendir. İkinci soruda bir açı 45°, diğer iki açının toplamı ise 135° olduğundan o iki açıdan en az biri 67.5°’ten büyük olabilir ama yine de 90° üzeri bir açı olsa “geniş açılı üçgen” sınıfına girebilir. Tam değerleri bilinmediğinden genel isimlendirmeye gitmek zordur; yine de 135° içerisinde iki açının kombinasyonu farklı senaryolar verebilir. Ancak bu, sorunuzu çözmek için gerekli değildir.
5.2. Benzer ve Eş Üçgenlerde Açı İlişkileri
- Eş Üçgenler: Birebir aynı kenar uzunluklarına ve dolayısıyla aynı iç açılarına sahip üçgenlerdir.
- Benzer Üçgenler: Açı ölçüleri eş, ancak kenar uzunlukları orantılı olan üçgenlerdir.
Açı hesabı yapılırken, ancak benzerlik ya da eşlik verilmişse ek ipuçlarından yararlanılır. Bu sorularda ise doğrudan benzerlik veya eşlik ifadesi geçmemektedir; sadece açılar üzerinden işlem yapılmıştır.
6. Soru 1 ve Soru 2 Çözümlerinin Genel Özeti
-
1. Soru Özeti
- Verilenler: m(B)=80^\circ, m(C)=40^\circ.
- Her üçgende olduğu gibi: m(A) + m(B) + m(C) = 180^\circ.
- Yerine konulunca: m(A) + 80^\circ + 40^\circ = 180^\circ \implies m(A) = 60^\circ.
- Cevap: 60^\circ.
-
2. Soru Özeti
- Verilenler: m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) = 135^\circ, m(\widehat{ACB}) soruluyor.
- Üçgenin iç açılar toplamı: m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ.
- Dolayısıyla: 135^\circ + x = 180^\circ \implies x = 45^\circ.
- Cevap: 45^\circ.
Aşağıdaki tablo, her iki sorunun da toplu sonuçlarını özetlemektedir:
| Soru | Verilen Açı(lar) | Aranan Açı | Çözüm | Sonuç |
|---|---|---|---|---|
| Soru 1: m(B)=80^\circ, m(C)=40^\circ | B = 80^\circ, C = 40^\circ | m(A) = x | x + 80^\circ + 40^\circ = 180^\circ \Rightarrow x=60^\circ | 60° |
| Soru 2: m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC})=135^\circ | m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC})=135^\circ | m(\widehat{ACB}) = x | 135^\circ + x = 180^\circ \Rightarrow x=45^\circ | 45° |
7. Referanslar
- MEB Ortaöğretim Matematik Ders Kitabı (2021)
- OpenStax. (2021). “Geometry”.
- TTKB (Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı) Matematik Öğretim Programı.
Uzun ve Detaylı Sonuç (Özet)
Bu iki soruda da temel olarak “üçgende iç açıların toplamı 180°” kuralı uygulanmıştır. Birinci soruda, üçgende iki açı (80° ve 40°) verildiğinde, üçüncü açı 60° bulunur. İkinci soruda ise iki açının toplamı (135°) verildiğinden, üçüncü açı 45° olarak hesaplanır. Genelde üçgen sorularında, “Üçgenin iç açıları toplamı 180°” kuralını kullanarak eksik açıyı bulmak, en sık başvurulan yöntemlerden biridir.