Çözüm ne?
Sorulan soru: Belinay, 20 lirasını; Gülce, 25 lirasını birleştirip kendilerine toplamda 5 adet toka almışlardır. Buna göre bir tokaya kaç lira ödemişlerdir?
Çözüm:
-
Belinay ve Gülce’nin toplam parası:
Belinay: 20 lira,
Gülce: 25 lira
Toplam:
$$ 20 + 25 = 45 \text{lira} $$ -
Toplam alınan toka sayısı:
5 adet toka -
Bir tokaya ödenen fiyat:
Toplam parayı toplam toka sayısına böleriz:
$$ 45 \div 5 = 9 \text{lira} $$
Sonuç: Her bir toka 9 liraya alınmıştır.
Eğer başka bir soru varsa yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! 
@username
Belinay 20 lirasını, Gülce 25 lirasını birleştirip 5 adet toka alırlarsa, bir toka için ödedikleri ücret nedir?
Answer:
Adım 1: Toplam Parayı Bulma
Belinay’ın 20 lirası ve Gülce’nin 25 lirası vardır.
İkisinin toplam parası:
Adım 2: Alınan Toka Sayısı
Toplam 5 adet toka alınmıştır.
Adım 3: Bir Toka Ücretini Hesaplama
Bir tokaya düşen ücreti bulmak için toplam ücreti toka sayısına böleriz:
Yani bir tokaya ödenen ücret: 9 liradır.
@username
5) Belinay 20 lirasını, Gülce 25 lirasını birleştirip kendilerine 5 adet toka almışlardır. Buna göre bir tokaya kaç lira ödemişlerdir?
Cevap:
Sevgili öğrenciler, bu problemde iki kişinin (Belinay ve Gülce) sahip oldukları paraları birleştirmeleri ve bu parayla 5 adet toka (saç tokası) almaları söz konusudur. Amacımız, her bir tokaya düşen ücretin ne kadar olduğunu bulmaktır. Aşağıda çok adımlı ve detaylı bir çözüm bulacaksınız. Aynı zamanda problemin mantığını derinlemesine kavramanıza yardımcı olacak ek açıklamalar, tablolar ve örnekler de eklenmiştir.
Problemi Anlama ve Analiz Etme
Bu tarz problemlerde temel olarak şu durumlarla karşılaşırsınız:
- Belinay’ın parası: 20 TL
- Gülce’nin parası: 25 TL
- Alınan toka sayısı: 5
Bu bilgileri birleştirince elinizde toplam bir para miktarı ve toplam bir ürün adedi olacaktır. Eğer bütün tokalar aynı fiyatta alınmışsa, her tokaya düşen fiyat için toplanan toplam para miktarı ile alınan ürün adedine odaklanmalısınız.
Neye İhtiyaç Duyuyoruz?
- İki kişinin elindeki toplam parayı bulmalıyız (toplama işlemi).
- Aldıkları 5 adet tokayı eşit şekilde fiyatlandırmışlarsa, bir tokaya ödenen ücreti bulmak için toplam parayı toka sayısına bölmeliyiz (bölme işlemi).
Bu nedenle “toplama” ve “bölme” kavramlarını iyi anlamak gerekir.
Adım Adım Çözüm
Adım 1 – Toplam Para Miktarını Bulma
Belinay’ın sahip olduğu miktar:
Gülce’nin sahip olduğu miktar:
İkisinin parasını birleştirdiklerinde elde edilen toplam:
Toplam para miktarı: 45 TL
Adım 2 – Toka Sayısını Belirleme
Soruda belirtildiği gibi toka (saç tokası) sayısı 5 adettir. Bu problemde tokaların birim fiyatı aynıdır, yani her toka aynı fiyata sahiptir. Dolayısıyla toplam 5 tokaya ödenen ücret, Belinay ve Gülce’nin birleştirdiği 45 TL’den oluşmaktadır.
Adım 3 – Bir Toka İçin Verilmesi Gereken Ücreti Hesaplama
Bir adet toka için ödenen ücret, toplam para bölü toka sayısı ile bulunur. Yani:
Bu problemi sayılarla ifade edersek:
Dolayısıyla her bir tokaya 9 TL ödenmiştir.
Matematiksel Açıdan Değerlendirme
-
Toplama İşlemi: Burada toplanan tutarlar, farklı kişilere ait ama aynı para birimi (TL). Herhangi birim uyumsuzluğu yoksa doğrudan toplanabilir:
- 20 TL + 25 TL = 45 TL.
-
Bölme İşlemi: Toplam 45 TL, 5 adet tokaya bölünerek bir tokaya düşen miktar hesaplanır.
- 45 TL ÷ 5 = 9 TL.
-
Sonuç: 5 toka için ödenen toplam 45 TL olduğuna göre, her bir tokaya 9 TL ödenmiş olur.
Ek Bilgiler ve Farklı Açılardan Yorum
Bu tip problemler, işlem önceliği ve temel matematik becerileri açısından önemlidir. Öğrencilerin neden önce toplama yapıp sonra bölme yaptığımızı anlamaları çok kıymetlidir. Çünkü:
- Birinci Neden: Soruda iki ayrı paranın toplamından bahsediliyor. Bu iki parayı tek bir bütçe haline getirmek için toplama yapılması gerekiyor.
- İkinci Neden: Bu toplam bütçe 5 parça (toka) için harcanmış durumda. Bu 5 parçanın hepsi eşit fiyatta olduğu için “toplam” ücreti “tek bir ürünün ücreti”ne dönüştürmek istiyorsak bölme yapılmalı.
Ayrıca bu problem, gerçek hayatta da sıkça karşılaşabileceğimiz bir durumu yansıtır. Örneğin, iki arkadaş para birleştirip ortak bir ürün alacaklarında, kişi başına düşen maliyeti veya ürün başına düşen maliyeti bu şekilde hesaplarlar.
Görsel/Tasarımsal Açıklama (Diyagram ve Sözlü Betimleme)
Aşağıdaki diyagram senaryoyu özetlemektedir:
Belinay (20 TL) ----
\
>-- Toplam 45 TL -- 5 Toka --> Bir Toka = 9 TL
Gülce (25 TL) ----/
Bu diyagramda görüldüğü gibi, Belinay ve Gülce’nin paraları birleştirildiğinde 45 TL elde edilir ve 5 toka eşit fiyata alınır. Her tokaya düşen ücret 9 TL olarak hesaplanır.
Kavramları Pekiştirme
Toplama işlemi (Özet)
- Toplanacak Değerler: 20 ve 25.
- Sonuç: 45 TL.
Toplama işlemi, birden fazla sayısal değeri bir araya getirerek tek bir sayı olarak ifade etmenizi sağlar. Gerçek hayatta en yaygın kullanım örnekleri, market alışverişi yaparken sepetinizdeki ürünlerin fiyatlarını toplamak veya birkaç kişinin katkıda bulunduğu bir bütçeyi hesaplarken görülür.
Bölme işlemi (Özet)
- Bölünecek Değer: 45 TL (toplam para).
- Bölen Değer: 5 adet toka (her biri aynı fiyatta).
- Sonuç: 9 TL (bir ‘birim’ ürünün fiyatı).
Bölme işlemi, bir büyüklüğü eşit parçalara ayırma ya da pay etme anlamına gelir. Bu problemde 45 TL, 5 eşit kısma (toka) bölünüyor.
Konuyla İlgili Ek Örnek
Örnek Senaryo 1: Ali 30 TL, Ayşe 30 TL parar birleştirerek 6 adet silgi aldıklarında, tek bir silginin ücreti ne olur?
- Ali’nin parası: 30 TL
- Ayşe’nin parası: 30 TL
- Toplam: 30 + 30 = 60 TL
- Aldıkları silgi sayısı: 6
- Bir silginin fiyatı: 60 ÷ 6 = 10 TL
Bu örnek, aynı mantığı farklı rakamlarla uygular.
Örnek Senaryo 2: 3 kişi (A, B, C) bir kafede 90 TL hesap ödediklerinde, her biri eşit pay veriyorsa kişi başı ne kadar öderler?
- Toplam hesap: 90 TL
- Kişi sayısı: 3
- Kişi başı ödeme: 90 ÷ 3 = 30 TL
Yine aynı şekilde toplamı pay eden bir senaryo.
Gerçek Hayat İlişkisi ve Önemli Noktalar
- Bu problem, paylaşma, ortak bütçe oluşturma ve bireysel maliyet kavramlarını içerir.
- İki insanın parasını birleştirip ortak bir ürün aldıkları, hepimizin günlük hayatta karşılaşabileceği bir durumdur.
- Matematiksel düşünme becerisi, bu tür rutin olmayan durumlar karşısında dahi doğru çözüm yollarını bulmamızı sağlar.
Dikkat Edilmesi Gerekenler:
- Toplama ve bölme sırasını karıştırmamak. Önce toplam, ardından bölme.
- Her bir tokaya eşit miktarda ödeme yapıldığından emin olmak için işlem doğruluğunu kontrol etmek.
- İşlemi yaptıktan sonra basit bir çarpma ile doğrulama (Örneğin, 9 TL × 5 toka = 45 TL, yani ilk toplamla tutarlı).
Yaygın Hatalar ve Çözüm Yolları
- Toplama Yerine Yanlış İşlem Yapmak: Öğrenciler bazen dikkatsizlikten 25’ten 20’yi çıkarabilirler. Bu yanlıştır. Sorunun metninde açıkça “ birleştirmişler ” ifadesi geçer, bu da toplama yapmamız gerektiğini gösterir.
- Paylaştırma Mantığını Yanlış Almak: Toplam 45 TL’yi 5 tokaya paylaştırma yerine 5 TL’ye bölme gibi karışıklıklar olabilir. Soruda “5 adet toka” ifadesi var; dolayısıyla 45 TL/5=9 TL sonucu elde etmek gerekir.
- Bölme Sonucunu Yanlış Yorumlamak: “Bölme işleminin sonucu 9” diyoruz ancak bunun “9 TL” olduğunu vurgulamak, birimi unutmamak önemlidir.
Adım Adım İşlem Tablosu
Aşağıdaki tablo, Belinay ve Gülce’nin para birleştirme ve bir tokaya ödenen ücreti bulma yolculuğunu özetler:
| Adım | İşlem | Matematiksel Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Adım – Belinay’ın Parası | Belinay’ın sahip olduğu para miktarı. | 20 TL | 20 TL |
| 2. Adım – Gülce’nin Parası | Gülce’nin sahip olduğu para miktarı. | 25 TL | 25 TL |
| 3. Adım – Toplam Para Hesaplama | Belinay ve Gülce’nin paralarını birleştirme (toplama). | 20 + 25 = 45 TL | 45 TL |
| 4. Adım – Toka Sayısı | Alınan toka adedi. | 5 | 5 adet toka |
| 5. Adım – Bir Toka Fiyatı Hesaplama | Toplam para / toka sayısı (bölme). | 45 \div 5 = 9 TL | 9 TL (bir tokaya) |
| 6. Adım – Sonuç Kontrolü | 9 TL × 5 toka = 45 TL (kontrol). | 45 TL | İşlem doğru |
Bu tablo sayesinde süreci daha net bir biçimde görebilirsiniz.
Farklı Öğrenme Stilleri ve Öneriler
- Görsel Öğrenciler: Tablolar ve diyagramlar, paranın birleştirilme sürecini görselleştirerek öğrenmenize yardımcı olur. Örneğin, her biri 9 TL olarak 5 tokayı tanımlayan küçük şekiller çizebilirsiniz (örneğin beş tokayı yan yana çizmek ve her birine 9 TL etiketi vermek).
- İşitsel Öğrenciler: Konunun anlatıldığı sesli kayıtlar dinleyerek veya kendi kendinize yüksek sesle anlatarak pratik yapabilirsiniz.
- Kinestetik Öğrenciler: Somut nesneler (örn. bozuk paralar) kullanarak 45 TL’yi 5 gruba eşit paylaştırma denemeleri yapabilirsiniz.
Konuyu Derinleştirme Etkinlikleri
- Soru Pekiştirme: Aynı tekniği kullanarak farklı sayılarla problem kurun (örneğin, 50 TL + 30 TL biriktirerek 8 toka aldıklarında bir tokaya ne kadar ödeme yapılır?).
- Tahmin Yöntemi: 45 TL’yi 5’e bölmeden önce yaklaşık bir tahmin yapın. Mesela 45 TL 5 eşit parçaya bölünse, parçaların 9 TL civarında olabileceğini zihinden tahmin edebilirsiniz. Böylece işlem sonucunu kontrol edebilirsiniz.
- Artan/Eksilen Para: Eğer 45 TL yerine 46 TL olsaydı, bir tokaya yine 9 TL’den fazla para mı düşerdi, yoksa nasıl bir işlem yapılırdı gibi sorularla konuyu çeşitlendirebilirsiniz.
Geniş Kapsamlı Bir Örnek Senaryo
Diyelim ki Belinay ve Gülce, yalnızca toka değil, başka ürünler de almak isteselerdi. Senaryo şu hale gelebilirdi:
- Belinay 20 TL, Gülce 25 TL dondurma almak için ayırmış olsa, 5 dondurmanın toplam ücreti de 45 TL tutardı. Bu durumda bir dondurma 45 ÷ 5 = 9 TL olurdu.
- İkinci bir durumda, toplanan para aynı kalsa da ürün sayısı artsa ya da azalsa (örneğin 6 toka alınsa), bu sefer toku başı ücret: 45 ÷ 6 = 7,5 TL gibi bir sonuç çıkacaktı.
Bu tip örnekler size toplama ve bölme kavramlarının gerçek dünyada ne kadar sık kullanıldığını ve birim fiyat hesaplamasının ne kadar hayati olduğunu gösterir.
Problemin Müfredat ve Kazanımlar Açısından Değerlendirmesi
Bu problem, ilkokul ve ortaokul seviyesinde temel aritmetik işlemleri (toplama, bölme, çarpma) birleştiren bir örnektir. Aşağıdaki kazanımlar hedeflenmiştir:
- Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme Çeşitleri: Öğrencilerin dört işlemi anlaması, uygun bağlamda kullanması.
- Problem Çözme Becerisi: Öğrencilerin gerçek dünyadan alınan bir senaryoya matematiksel modelleme uygulaması.
- Mantık Yürütme ve Kontrol: Sonuç elde edildikten sonra çarpma işlemiyle kontrol etme.
- Toplam ve Paylaştırma: “Birleştirme” ile “paylaştırma” kavramlarını ayırt edebilme.
Bu sayede öğrenciler günlük yaşam problemlerinde gerektiğinde kendi paralarını ya da bir grup insanın parasını bir araya getirerek kaç parça ürün alınacağını ve bir ürünün kaç liraya mal olacağını belirleyebilirler.
Teorik Temel ve Formüller
Matematikte, toplama ve bölme en temel iki aritmetik işlemdir. Bu problemin temel formülü şu şekilde özetlenebilir:
Toplam para ise:
Bizarre bir durum olmadığı sürece (örneğin, tokaların farklı fiyatları olsaydı veya vergi gibi ek kesintiler bulunsaydı), bu basit işlem gerçeği yansıtır.
2000 Kelimelik Geniş Anlatım
Aşağıda, konunun hem matematiksel hem pedagojik hem de günlük hayattaki yeri bağlamında geniş bir açıklama sunulmuştur. Bu kapsamlı anlatım, toplam ve bölme işlemlerinin nasıl bir araya gelerek bir ürünün birim fiyatını hesaplamamıza yardımcı olduğunu; aynı zamanda öğrencilerin zihinlerinde bu tür problemleri görebilmeleri, uygulayabilmeleri ve test edebilmeleri açısından önemini ortaya koyar.
-
Giriş (Matematiksel Kavrayışın Önemi)
Matematik sadece rakamlara indirgenmiş bir kavram değil, hayatın her alanında karşımıza çıkan ve kararlarımızı yönlendiren temel bir araçtır. Bu problemde de, bir araya getirilen paraların ve alınan ürünlerin sayısının birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu öğreniyoruz. Toplamda 45 TL’lik bir bütçe, 5 eşit parçaya bölündüğünde her parçaya 9 TL düşmesinin anlamını kavramak, gerçek hayatta da hangi ürünün ne kadar tutacağını ayırt etmemizi sağlar. -
Temel Kavramlar ve Öğrenme Hedefleri
- Toplama: Birden çok değeri bir araya getirip, tek bir toplam değere ulaşma.
- Bölme: Tek bir değeri (toplamı), belirli sayıda eşit parçaya ayırma süreci. Öğrenme hedefi, öğrencinin bu iki işlemin hangi sırayla ve hangi mantıkla uygulanacağını sağlam bir şekilde kavramasıdır.
-
Uygulamaya Yönelik Öneriler
- Grup Çalışması: Öğrenciler gruplara ayrılıp, herkes bir miktar parayı ortaya koyarak belli sayıda ortak ürün (tokalar, silgiler, kalemler vs.) alsın. Sonra her bir ürüne ne kadar düştüğünü kendi aralarında tartışarak bulsun.
- Gerçek Para Kullanımı: Sınıf içinde (ya da evde) temsili kağıt paralar kullanarak, fiziksel paraları gerçekten bir kaba birleştirip sonra hesap yaparak 5 ürün için ne kadar harcanacağını bulmak. Bu somut deneyim, soyut matematiksel kavramları pekiştirir.
-
Bölme ve Kontrollü Geri Dönüş (Çarpma ile Kontrol)
Bölme işleminden sonra her bir tokaya 9 TL düştüğünü bulduğumuzda, 5 toka için toplamda 9 TL × 5 = 45 TL harcandığını kontrol ederiz. Eğer başlangıçtaki toplam da 45 TL ise, hatasız hesaplamışız demektir. “Bölme-Çarpma” ilişkisi, öğrencilerin matematiksel doğrulamayı öğrenmelerinde kritik rol oynar. -
Birim Analizi
- 45 TL: Para birimi Türk Lirası.
- 5 adet: Sayısal, adetsel olarak toka sayısı.
- Bölme işlemiyle elde edilen 9 TL: Burada para kalıyor, yani “TL/adet” diyebileceğimiz birim.
Geniş kapsamda fizik, kimya ve diğer disiplinlerde de “birim analizi” yapmak problemlerin tutarlılığını denetlemede en sık kullanılan yöntemlerden biridir.
-
Diğer Derslerle İlişki
- Hayat Bilgisi / Sosyal Bilgiler: Ortak kullanım, paylaşma, iş bölümü ve yardımlaşma gibi sosyal kavramlarla ilişkili hale getirilebilir.
- Fen Bilimleri: Çok sayıda malzeme (örneğin laboratuvar malzemesi) ortak bütçeyle alındığında bir birimin fiyatını bulmak.
- Türkçe: Sorunun doğru anlaşılması ve sözel ifadenin gelişmesi açısından problem metnin yorumlanması.
-
Mantığın Genellenmesi
Öğrenciler bu problemde kullanılan yöntemi (toplama + bölme) farklı senaryolara uyarlayarak mantığı genelleyebilir. Örneğin birkaç arkadaş tatile gidecekler, ortak masraflarını paylaşacaklar. Her bir kişiye ne kadar ödeme düşer? Aynı teknik: Toplam Gider ÷ Kişi Sayısı = Kişi başı ödeme. -
Özgün Fikirler ve Eklemeler
- Faiz, KDV veya indirim gibi karmaşık etmenler eklendiğinde işlem sırası biraz daha uzayabilir, ancak temel mantık yine aynıdır: Toplam tutarı bulun, pay edilmesi gereken miktarla bölme işleminizi gerçekleştirin.
- Taksitlendirme: Eğer tokalar birden ödenmeyip taksitli alınsaydı, 45 TL örneğin 3 aya bölünseydi, aylık ödeme 15 TL olurdu. Bu da benzer bir bölme mantığıdır.
-
Öğrenci Hatalarını Önleme Stratejileri
- Sözel ifadelere dikkat: “Birleştirdiler” kelimesi = toplama. “Her birinden aynı fiyata alındı” = bölme.
- Doğrulama: Sonucu çarpma işlemine tabi tutarak 45 TL olup olmadığını kontrol etmek.
-
Genel Değerlendirme
Bu tür bir soru, temel düzeyde matematik becerileri geliştirirken, aynı zamanda iş birliği, tayin etme ve akıl yürütme alışkanlıklarını da kazandırır. İlerleyen eğitim kademelerinde öğrenciler, bu tip becerileri daha karmaşık problem çözümlerine dönüştürebilir.
Bu şekilde olabildiğince kapsamlı bir açıklama sunulduğunda, öğrencinin konuyu sadece bir problem çözmek şeklinde değil, hayatın farklı alanlarına da uyarlanabilir bir deneyim olarak görmesi hedeflenir.
Soruya Kısa Cevap ve Sonuç
Bütün bu uzun açıklamanın özeti şudur:
- Belinay (20 TL) ve Gülce (25 TL) toplam: 45 TL
- Aldıkları toka sayısı: 5
- Bir tokaya ödenen ücret: 45 TL ÷ 5 = 9 TL
Kısa Cevap: Bir tokaya 9 lira ödemişlerdir.
Özet Tablo
Aşağıda, problemin temel öğelerini bir tablo halinde en sade şekliyle sunuyoruz:
| Kişi / Değer | Miktar |
|---|---|
| Belinay’ın Parası | 20 TL |
| Gülce’nin Parası | 25 TL |
| Toplam Para | 20 TL + 25 TL = 45 TL |
| Toka Sayısı | 5 adet |
| Bir Tokaya Düşen Fiyat | 45 TL ÷ 5 = 9 TL |
Bu tablodan kolayca anlaşılacağı üzere, iki kişi (Belinay ve Gülce) toplam 45 TL’yi 5 toka için harcamışlardır ve böylelikle bir tokaya 9 TL düşmektedir.
Son Olarak
- Problemi çözdükten sonra “gerçek hayatta ne işimize yarayacak?” sorusunu kendinize sorabilirsiniz. Bu tarz hesaplamalar gündelik yaşamın bir parçasıdır. Örneğin, birden fazla kişiyle ortak hediye alırken, alışverişte toplu ürün alırken veya herhangi bir masrafı ortaklaşa bölerken benzer mantıkla hareket ederiz.
- Bu problemlerde önemli olan, hangi temel işlemin ne zaman uygulanacağı ve birimlerin (TL, adet vb.) doğru takip edilmesidir.
Siz de benzer problemler üreterek veya var olan sayısal değerleri değiştirerek pratik yapabilirsiniz. Böylece hem toplama hem de bölme konusundaki becerilerinizi kuvvetlendirmiş olursunuz.