Aşağıda tanımlanan fonksiyonlardan hangisi birebir ve örterlidir?
A) ( f: \mathbb{R} \to {3} ), ( f(x) = 3 )
B) ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ), ( f(x) = x^2 + 1 )
C) ( f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} ), ( f(x) = x + 1 )
D) ( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} ), ( f(x) = x - 2 )
E) ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ), ( f(x) = x^3 )
Çözüm:
Bir fonksiyonun birebir (enjeksiyon) olması için farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir. Bir fonksiyonun örten (surjektif) olması için de tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir görüntüsü olması gerekir.
A) ( f(x) = 3 ) fonksiyonu sadece bir değere eşit olduğu için birebir ve örten olamaz.
B) ( f(x) = x^2 + 1 ) fonksiyonu, negatif değerlere ulaşamaz (örten değil) ve ( x = -1 ) ve ( x = 1 ) gibi farklı değerlerin aynı çıktıyı (2) vermesi nedeniyle birebir değildir.
C) ( f(x) = x + 1 ) fonksiyonu, doğal sayılardan doğal sayılara birebir ama 0 sayısına ulaşamayacağı için örten değildir.
D) ( f(x) = x - 2 ) fonksiyonu, negatif tamsayılara ulaşamayacağı için örten değildir.
E) ( f(x) = x^3 ) fonksiyonu, tüm gerçek sayılarda birebirdir çünkü farklı ( x ) değerleri farklı ( x^3 ) sonuçlarına yol açar. Ayrıca her gerçek sayıya ulaşılabilir olduğundan örten de bir fonksiyondur.
Sonuç olarak, hem birebir hem örten olan fonksiyon ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ), ( f(x) = x^3 ) fonksiyonudur. Bu nedenle cevap E seçeneğidir.