4. Soru Çözümü
Verilen:
- ( f(x) ) birim fonksiyonu.
[
g(x) =
\begin{cases}
2^{x-1}, & \text{eğer } x < 4 \
2x + 1, & \text{eğer } x \geq 4
\end{cases}
]
İstenilen: ((f^2 - 8g)(-2)) değeri.
Çözüm Adımları:
-
f(x) Birim Fonksiyonu:
- Birim fonksiyon: ( f(x) = x )
- Yani, ( f^2(x) = (f(x))^2 = x^2 ).
-
g(x) Fonksiyonu için ( x = -2 ):
- (-2 < 4) olduğundan, ( g(-2) = 2^{-2-1} = 2^{-3} = \frac{1}{8} ).
-
Değişkelerin Yerlerine Koyulması:
- ( f^2(x) = f^2(-2) = (-2)^2 = 4 ).
- ( 8g(-2) = 8 \times \frac{1}{8} = 1 ).
-
Sonuç:
- ((f^2 - 8g)(-2) = 4 - 1 = 3).
5. Soru Çözümü
Verilen Fonksiyon:
[
f(x) =
\begin{cases}
x + 11, & x \leq -3 \
5, & -3 < x \leq 2 \
x^2 - 2, & 2 < x
\end{cases}
]
Aranan: ( f(x) = 7 ) denkleminin kökleri.
Çözüm Adımları:
-
( x + 11 = 7 ) Denklem Çözümü:
- ( x + 11 = 7 )
- ( x = 7 - 11 )
- ( x = -4 )
- Kapsam kontrol: Uygun çünkü ( x \leq -3 ).
-
( 5 = 7 ):
- Geçerli değil çünkü 5 hiçbir zaman 7 olamaz.
-
( x^2 - 2 = 7 ) Denklem Çözümü:
- ( x^2 - 2 = 7 )
- ( x^2 = 9 )
- ( x = 3 ) veya ( x = -3 )
- Kapsam kontrol: Sadece ( x = 3 ) uygun çünkü ( 2 < x ).
Sonuç:
- Denklem ( x = -4 ) ve ( x = 3 ) için sağlanır.
6. Soru Çözümü
Verilen:
[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & x < 0 \
2x + 4, & x \geq 3
\end{cases}
]
İstenen: ( f(x) < 16 ) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı ( x ) tam sayısı vardır?
Çözüm Adımları:
-
( x^2 < 16 ) Eşitsizliği Çözümü:
- ( x^2 < 16 ) ise ( -4 < x < 4 ).
- ( x < 0 ) olduğuna göre, ( -4 \leq x < 0 ) olmalı.
- Tam sayılar: (-4, -3, -2, -1).
-
( 2x + 4 < 16 ) Eşitsizliği Çözümü:
- ( 2x + 4 < 16 )
- ( 2x < 12 )
- ( x < 6 )
- ( x \geq 3 ) olduğuna göre, ( 3 \leq x < 6 ).
- Tam sayılar: ( 3, 4, 5 ).
Sonuç:
- Toplamda ( -4, -3, -2, -1, 3, 4, ) ve ( 5 ) olmak üzere 7 farklı tam sayı vardır.