Problem:
Fonksiyon f(x) = \sqrt[3]{x^3} verilmiş. f'(16) değerini hesaplayacağız.
Çözüm Adımları:
1. Fonksiyonun Hangi Türde Olduğunu Sadeleştirmek:
Bu durumda, f(x) = x olur.
2. Fonksiyonun Türevini Almak:
f(x) = x olduğundan türevi:
3. f'(16) Hesaplamak:
Türevi f'(x) = 1 olduğundan ve türev sabit bir değere sahip olduğundan:
Sonuç:
Cevap E) 1 olacaktır.
@username
f(x) = ³√(x³) fonksiyonu için f’(16) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap: Bu soruda, verilen fonksiyonun türevini bularak x=16 noktasındaki değerini hesaplamamız isteniyor. Fonksiyonumuz:
şeklindedir. Temel olarak, \sqrt[3]{x^3} ifadesi, x reel sayı olduğunda f(x) = x eşitliğine karşılık gelir (x ≥ 0 bölgesi için düşünülürse doğrudan x’e eşittir; x < 0 bölgesinde de küp kök ve x³ ifadesi ters yönlü etkiyi nötralize eder ve sonuç yine x olarak ortaya çıkar). Bu nedenle fonksiyonu “f(x) = x” olarak değerlendirebilir ve türev aldıktan sonra x=16 değerinde değerlendirebiliriz.
Aşağıda türev almanın ve x=16 noktasında sonuç bulmanın adım adım açıklaması, ek tablolar ve kavramlarla birlikte verilmiştir. Ayrıca, kapsamlı bir bakış sağlayabilmek adına ek matematiksel bilgiler ve örnekleri de inceleyebilirsiniz.
1. Türev Kavramının Hatırlatılması
Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki ani değişim oranını ifade eder. Başka bir deyişle, f(x) fonksiyonunun türevi f'(x), fonksiyonda x değişkeni ufak bir miktar artırıldığında fonksiyonun nasıl değiştiğini göstermektedir. Temel türev kuralları arasında şunlar yer alır:
- “x’in türevi 1’dir” → Eğer f(x) = x ise f'(x) = 1.
- Sabit bir sayının türevi 0’dır → Eğer f(x) = c (c sabit) ise f'(x) = 0.
- Kuvvet kuralı → Eğer f(x) = x^n ise f'(x) = n \cdot x^{n-1}.
- Toplam kuralı → İki fonksiyonun toplamının türevi, türevlerinin toplamına eşittir.
Bu problemdeki fonksiyon \sqrt[3]{x^3} = (x^3)^{1/3} formuna sahiptir. Kuvvetlerin çarpımı sayesinde:
Dolayısıyla, fonksiyonumuz herhangi bir kısıtlama olmaksızın (özellikle x≥0 üzerinde) f(x) = x şeklinde sadeleşir.
2. Fonksiyonun Basit İfadesi
2.1. Küp Kök ve Kuvvetin İlişkisi
- Küp alma işlemi: x^3
- Küp kök: \sqrt[3]{\cdot}
- Bir ifadenin küpünü aldıktan sonra küp kökünü almak, aslında ifadenin orijinal haline dönmekle eşdeğerdir.
- Her ne kadar bazı ileri düzey durumlarda mutlak değer kavramı gündeme gelse de küp kökü için $x^3$’ün reel sayılar üzerindeki tanımı bize yine x’i verir.
Sonuçta:
2.2. Dolaylı Yoldan Fonksiyonu Türeve Hazırlama
Eğer bu sadeleştirmeyi doğrudan göremiyor olsaydık, güç kurallarıyla şu şekilde de yapabilirdik:
Her iki yöntem de f(x)= x sonucuna ulaşmamızı sağlar.
3. Türev Alma Adımları
Bu aşamada fonksiyonun artık “x” olarak kabulüyle türev almayı uyguluyoruz.
3.1. f(x) = x Fonksiyonunun Türevi
- f(x) = x
- Türev kuralına göre x’in türevi 1’dir:
3.2. Değerin Belirlenmesi: f’(16)
Elde ettiğimiz türev f'(x) = 1 fonksiyonunun tüm x değerleri için sabittir. Dolayısıyla:
Bu demektir ki 16 noktasında fonksiyonun değişim hızı 1’dir.
4. Örnekler ve Karşılaştırma
Burada aynı yöntemi başka fonksiyonlarda da nasıl uygulayabileceğinize dair kısa örnekler verelim:
-
Örnek 1: g(x) = \sqrt[5]{x^5}
- Burada da benzer bir durum vardır: (x^5)^{\tfrac{1}{5}} = x^{1} = x. Dolayısıyla g'(x) = 1 olur.
-
Örnek 2: h(x) = \sqrt[4]{x^4} (karekök yerine dörderli kök)
- (x^4)^{1/4} = x. Yine türev 1 çıkar.
-
Örnek 3: p(x) = \sqrt{x}
- Bu durumda ise fonksiyon x’in yarım kuvvetidir, yani x^{1/2}. Türevi \tfrac{1}{2} x^{-1/2} olur. Burada sonuç “1” değildir. Bu örnek, hem kuvvet kuralını hem de farklı köklerin türevde farklı sonuçlar verdiğini gösterir.
Yukarıdaki örneklerden anlaşıldığı gibi, x^n ifadesinin türevi, n’e bağlı olarak n \cdot x^{n-1} biçiminde değişir. Ancak elimizdeki soruda, n=1 durumuna denk geldiğimiz için türev sabit 1 olarak karşımıza çıkmaktadır.
5. Hesaplama Sonuçlarının Özeti
Aşağıdaki tabloda, adım adım yaptığımız işlemleri görebilirsiniz:
| Adım | İşlem Açıklaması | Matematiksel Gösterim |
|---|---|---|
| 1. Fonksiyonun Tanımı | f(x) = \sqrt[3]{x^3} | f(x) = (x^3)^{\tfrac{1}{3}} = x |
| 2. Türev Alma Kuralı (x’in türevi) | x fonksiyonunun türevi 1’dir | f'(x) = 1 |
| 3. İlgili Noktada Değer Bulma | f'(16) = 1 | f'(16) = 1 |
| 4. Sonuç | f’(16) = 1 | Doğru Cevap: 1 (Seçenek E) |
Yukarıdaki tabloda da görüldüğü üzere, fonksiyonu ilk önce basitleştirip türev aldığımızda herhangi bir x değeri için türev sonuçta 1’e eşit oluyor. Bu da 16 noktası için değişmiyor.
6. Sonuç ve Genel Yorum
Verilen fonksiyonun (küp kök içinde x³) gerçekte x’e eşit olduğu (reel sayılar üzerinde değerlendirildiğinde) ve bu basit ifadenin türevinin 1 olduğu görülmektedir. Dolayısıyla, f’(16) = 1 neticesine ulaşırız. Test seçenekleri arasında 1 genellikle (E) seçeneğinde verildiğinden, doğru cevap 1 olmaktadır.
Bu tür sorularda eğer fonksiyon basit bir şekilde sadeleşebiliyorsa (bu örnekte küp ve küp kökün birbirini götürmesi) öncelikle sadeleştirelim. Daha sonra normal türev kurallarını uygulamak en doğru ve pratik yöntemdir. Karmaşık kök fonksiyonları bazen mutlak değer konusunu gündeme getirse de x^3 ve \sqrt[3]{\cdot} için reel sayılar üzerinde birbiriyle uyum vardır ve bu uyum f(x) = x sonucunu verir.
Ek bilgi: Türev konuları, matematiğin ileri safhalarında daha derin kavramlar ve genelleştirilmiş fonksiyonlar üzerinden incelenir. Ancak lise veya temel üniversite seviyesi türev konularında, küp kök ve küp alma işlemlerinin birbirini nötralize ettiğini akılda tutmak size zaman kazandırır.
Kısa Özet
- Fonksiyon: f(x) = \sqrt[3]{x^3} = x
- Türev (Genel): f'(x) = 1
- Özel Değer (x=16): f'(16) = 1
- Doğru Seçenek: 1 (E)
Böylelikle cevabımız: f’(16) = 1
f(x) = (x³)^(1/2) nin 3. kökü şeklindeki ifade aslında f(x) = √x olarak sadeleşir.
Bunu görmek için ifade adım adım incelenir:
- İçteki kısım: (x³)^(1/2) = x^(3/2).
- Dıştaki kök (3. kök): (x^(3/2))^(1/3) = x^((3/2)*(1/3)) = x^(1/2).
Dolayısıyla f(x)=√x olur.
Bu durumda türev:
f′(x) = (1 / (2√x)).
x = 16 için:
f′(16) = 1 / (2√16) = 1 / (2×4) = 1/8.
Cevap: 1/8