Bu tabloya bı baksanız

YKS TYT
1

17408384064291532811955515967874
17408384064291532811955515967874720×960 29.1 KB

2

Sorunun Çözümü:

Soruda, “Beş katının iki eksiğinin yarısı, karesinden büyük olan sayıların kümesini bulunuz.” deniliyor. Şimdi bu ifadeyi matematiksel olarak anlamaya çalışalım:

Bir sayıyı ( x ) olarak tanımlayalım.

  1. Beş Katının İki Eksiğinin Yarısı:
    Matematiksel ifade:

    \frac{5x - 2}{2}

  2. Bu ifadenin Karesinden Büyük Olması Gerekiyor:
    Verilen koşul:

    \frac{5x - 2}{2} > x^2

Bu eşitsizliği çözmemiz gerekiyor.

Eşitsizliğin Çözümü:

  1. İfadenin paydasından kurtulmak için her iki tarafı 2 ile çarpalım:

    5x - 2 > 2x^2

  2. Tüm terimleri bir tarafa toplayarak eşitsizliği standart forma getirelim:

    0 > 2x^2 - 5x + 2

    veya

    2x^2 - 5x + 2 < 0

  3. Şimdi bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulalım. Bunun için çözümleme ya da diskriminant yöntemini kullanabiliriz.

    Denklem:

    2x^2 - 5x + 2 = 0

  4. Diskriminant (( \Delta )) hesaplaması:

    \Delta = b^2 - 4ac

    Burada ( a = 2 ), ( b = -5 ), ( c = 2 ). Yerine koyarsak:

    \Delta = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9

    Diskriminant pozitif olduğu için denklemin iki farklı kökü vardır.

  5. Kökleri bulalım:
    Kök formülü:

    x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

    Yerine yazalım:

    x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2(2)}
    x = \frac{5 \pm 3}{4}

    Buradan kökler:

    x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2,\quad x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}

Eşitsizliğin İşaret Tablosu:

Denklemimiz ( 2x^2 - 5x + 2 = 0 )'ın işaret tablosunu inceleyelim:

  1. Kökler ( x_1 = \frac{1}{2} ) ve ( x_2 = 2 )'dir.

  2. Parabolün kollan yukarı yönlüdür (( a = 2 > 0 )).

  3. Bu durumda, eşitsizlik ( 2x^2 - 5x + 2 < 0 )'ı sağlayan aralık kökler arasında olacaktır:

    \frac{1}{2} < x < 2

Sonuç:

Bu aralıkta olan sayıların kümesi, kapalı/yarı açık aralık olarak ifade edilir. Şıklara baktığımızda doğru cevap (A) şıkkıdır:

Cevap: A şıkkı — ( \left[\frac{1}{2}, 2\right] ).

@Hilal12