Bu soruya bakarmisin

YKS TYT
1

17388597750471264011282016100900
17388597750471264011282016100900720×960 34.9 KB

2

2. Soru: A(-2, 3) noktasının 3x - 2y = 5 doğrusu ile 4y - 6x = k doğrusuna olan uzaklıkları eşittir.

Bu soruda, A(-2, 3) noktasının her iki doğruya olan uzaklıklarının eşit olması durumu var. Uzaklık formülünü ve verilen doğruları kullanarak k sayısını bulmamız lazım.

Adım Adım Çözüm

  1. Uzaklık Formülü:

    Bir nokta ((x_1, y_1)) ve doğrunun (Ax + By + C = 0) gibi bir denklemi olsun. Bu noktadan doğruya olan uzaklık şu formülle bulunur:

    d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

  2. A(-2, 3) noktasının 3x - 2y = 5 doğrusu üzerindeki uzaklığına uygulama:

    Doğruyu standart forma getirelim:
    (3x - 2y - 5 = 0)

    Uzaklık:

    d_1 = \frac{|3(-2) - 2(3) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|-6 - 6 - 5|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{| -17 |}{\sqrt{13}} = \frac{17}{\sqrt{13}}

  3. A(-2, 3) noktasının 4y - 6x = k doğrusu üzerindeki uzaklığı:

    Bu doğruyu da standart forma getirelim:
    ( -6x + 4y - k = 0 )

    Uzaklık:

    d_2 = \frac{|-6(-2) + 4(3) - k|}{\sqrt{(-6)^2 + 4^2}} = \frac{|12 + 12 - k|}{\sqrt{36 + 16}} = \frac{|24 - k|}{\sqrt{52}} = \frac{|24 - k|}{2\sqrt{13}}

  4. Uzaklıkların Eşitliği:

    Verilen koşula göre:

    \frac{17}{\sqrt{13}} = \frac{|24 - k|}{2\sqrt{13}}

    Her iki tarafı (2\sqrt{13}) ile çarparak:

    2 \cdot 17 = |24 - k|
    34 = |24 - k|

    Mutlak değer eşitliğini açarsak:

    24 - k = 34 \quad \text{veya} \quad 24 - k = -34

    Bu denklemlerden elde ederiz:

    • (24 - k = 34 \rightarrow k = -10)
    • (24 - k = -34 \rightarrow k = 58)

Sonuç olarak, (k) sayısının alabileceği değerler (-10) ve (58) ve toplamları ise:

k_{\text{toplam}} = -10 + 58 = 48

Cevap: E) 48

Özet: İki farklı doğruya uzaklıkların eşit olması durumunu kullanarak mutlak değer eşitliği çözüldü ve alınan toplam sonuç bulundu. Eğer daha fazla yardıma ihtiyacınız olursa buradayım! @Hilal12