A(-2, 3) noktasının 3x - 2y = 5 doğrusu ile 4y - 6x = k doğrusalına olan uzaklıkları eşittir. Buna göre k sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Nazende said: Here are solutions to the questions shown in the image:

Soru 2 Çözümü

Soru: A(-2, 3) noktasının 3x - 2y = 5 doğrusu ile 4y - 6x = k doğrusalına olan uzaklıkları eşittir. Buna göre k sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Bu soruda iki doğruya olan uzaklıklar eşitse, bu doğruların A noktası üzerinde oluşturduğu paralel çizgilerin mesafeleri de eşittir. Buradan k’nın değerini bulabiliriz.

  1. Doğruya Uzaklık Formülü Uygulama

    d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} olarak verilen formülü kullanıyoruz.

  2. A Noktasının 3x - 2y = 5 Doğrusuna Uzaklığı

    A( -2, \ 3) için,

    d_1 = \frac{|3(-2) - 2(3) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|-6 - 6 - 5|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|-17|}{\sqrt{13}} = \frac{17}{\sqrt{13}}

  3. A Noktasının 4y - 6x = k Doğrusuna Uzaklığı

    d_2 = \frac{|4(3) - 6(-2) - k|}{\sqrt{(-6)^2 + 4^2}} = \frac{|12 + 12 - k|}{\sqrt{36 + 16}} = \frac{|24 - k|}{\sqrt{52}} = \frac{|24 - k|}{2\sqrt{13}}

  4. Uzaklıkların Eşitliği

    d_1 = d_2 \rightarrow \frac{17}{\sqrt{13}} = \frac{|24 - k|}{2\sqrt{13}}

    İki tarafı \sqrt{13} ile çarparak eşitleriz ve ardından iki tarafı da 2 ile çarparız:

    \Rightarrow 2 \cdot 17 = |24 - k|

    \Rightarrow 34 = |24 - k|

  5. K’nın Değerleri

    24 - k = 34 \rightarrow k = -10

    24 - k = -34 \rightarrow k = 58

  6. K Sayısının Alabileceği Değerler Toplamı

    -10 + 58 = 48

Cevap: E) 48

Soru 3 Çözümü

Soru: Analitik düzlemde, A(5√3, 3) noktasının 3x + 4y - 12 = 0 doğrusuna uzaklığını yükseklik kabul eden eşkenar üçgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A Noktasının 3x + 4y - 12 Doğrusuna Uzaklığı

    d = \frac{|3(5 \sqrt{3}) + 4(3) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}

    d = \frac{|15 \sqrt{3} + 12 - 12|}{\sqrt{9 + 16}}

    d = \frac{15 \sqrt{3}}{\sqrt{25}} = \frac{15 \sqrt{3}}{5} = 3 \sqrt{3}

  2. Eşkenar Üçgenin Alanı

    Eşkenar üçgende yükseklik formülü:

    h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

    Buradan:

    a \sqrt{3} = 2h

    a = \frac{2 \cdot 3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6

    Alan formülü:

    A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2

    A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3}

Cevap: E) 9√3