Sorunun Çözümü: (\sqrt{x - 2} < 4)
Verilen eşitsizlik:
Bu tür bir eşitsizliği çözmek için şu adımları izleyebiliriz:
1. Kare Alma İşlemi
Verilen eşitsizlikte köklü bir ifadeyle karşı karşıyayız. Bu yüzden hem sol hem de sağ tarafın karesini alalım. Ancak kare alırken dikkat edilmesi gereken şu: Kare almak yalnızca pozitif sayılar için geçerlidir. Neyse ki köklü ifade ((\sqrt{x - 2})) zaten her zaman pozitif veya sıfırdır. Eşitsizlik şu hale gelir:
Bu işlemle köklü ifadeden kurtulmuş olduk.
2. Eşitsizliği Düzenleme
Elde edilen yeni eşitsizliği sadeleştirelim:
3. Köklü İfade için Tanım Şartı
Bir karekök ifadesinin tanımlı olabilmesi için kökün içinin sıfırdan büyük veya sıfır olması gerekir. Yani:
Bu, köklü ifade nedeniyle gelen bir ek koşuldur.
4. Çözüm Aralığı
Birleşik çözüm yapmak için iki durumu da dikkate alalım:
- (x \geq 2) (tanım gereği),
- (x < 18) (eşitsizlik çözümünden).
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde:
Bu aralık çözüm kümemizi verir: ([2, 18)).
5. Sonuç
Soruda verilen seçeneklerden bu aralık B şıkkına denk gelir.
Cevap: B) [2, 18)
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Karekökten kurtarma | (\sqrt{x - 2} < 4 \rightarrow x - 2 < 16) | (x < 18) |
| 2. Tanım şartı | (x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2) | (x \geq 2) |
| 3. Birleşim | (2 \leq x < 18) | ([2, 18)) |
| 4. Çözüm kümesi | Seçeneklerden doğru olan | B şıkkı |