Sorunun Çözümü:
Verilen problemde aşağıdaki fonksiyonlarla ilgili sorular sorulmaktadır:
Fonksiyonlar:
- ( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g(x) = x + 10 )
- ( h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = x - 10 )
- ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x )
a) g ve h fonksiyonlarının grafiklerini çizin.
1. Fonksiyonların Grafikleri
-
f(x) = x:
Bu, y = x doğrusudur ve orijinden geçen 45 derece açı ile eğik bir doğrudur. -
g(x) = x + 10:
Bu doğrusal fonksiyonun eğimi 1’dir ve y-eksenini 10 noktasında keser. Bu fonksiyon, f(x) = x fonksiyonunun y-ekseninde 10 birim yukarı ötelenmiş halidir. -
h(x) = x - 10:
Bu doğrusal fonksiyonun eğimi yine 1’dir ve y-eksenini -10 noktasında keser. Bu fonksiyon, f(x) = x fonksiyonunun y-ekseninde 10 birim aşağı ötelenmiş halidir.
2. Fonksiyonların Eğimi
b) f, g ve h fonksiyonlarının grafiklerinden yararlanarak eğimlerini bulunuz ve karşılaştırınız.
- f(x) = x için eğim: 1
- g(x) = x + 10 için eğim: 1
- h(x) = x - 10 için eğim: 1
Eğimler aynıdır ve bu da aynı oranda artış gösterdikleri anlamına gelir.
3. Maksimum ve Minimum Noktalar
c) g ve h fonksiyonlarının maksimum ve minimum noktalarını, sıfırlarını, grafiklerin y-eksenini kestikleri noktaları bulun.
- Doğrusal fonksiyonlar oldukları için maksimum ve minimum noktaları yoktur.
- g(x) = x + 10 ve h(x) = x - 10 için y-eksenini kestikleri nokta bulmak için x=0 değeri yerine yazılır:
- g(0) = 0 + 10 = 10 (y-eksenini 10 noktasında keser)
- h(0) = 0 - 10 = -10 (y-eksenini -10 noktasında keser)
- Sıfır noktalarını bulmak için fonksiyonları sıfıra eşitleriz:
- x + 10 = 0 \Rightarrow x = -10
- x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10
4. Artan ve Azalan Aralıklar
d) g ve h fonksiyonlarının artan veya azalan olduğu aralıkları belirleyiniz.
- g(x) = x + 10: Her yerde artandır, çünkü eğimi pozitiftir (1).
- h(x) = x - 10: Her yerde artandır, çünkü eğimi pozitiftir (1).
5. Fonksiyonların 1-1 Olup Olmadığını Belirleme
e) g, h ve f fonksiyonlarının 1-1 olup olmadıklarını belirleyiniz.
Bir fonksiyonun 1-1 olması için her x değeri farklı bir y değeri üretmelidir (yani farklı y değerleri için farklı x değerleri gerekir). Doğrusal fonksiyonlar (ve eğimi sıfır olmayan), genel olarak birinci dereceden sade fonksiyonlar oldukları için 1-1’dirler:
- f(x) = x: 1-1 fonksiyon, çünkü farklı x değerleri farklı y değerleri üretir.
- g(x) = x + 10: 1-1 fonksiyon, çünkü bu da farklı x değerleri için farklı y değerleri üretir.
- h(x) = x - 10: 1-1 fonksiyon, çünkü farklı x değerleri için farklı y değerleri üretir.
Bu analiz, matematiksel gereken temel taşları açıklamış oldu ve soruların cevaplarını detaylandırarak çerçevelemiştir.