Bilim adamları yeni ürettikleri insansız füzeyi denemek için yer yüzünün farklı bölgelerinde denemeler yapacaktır. Birinci durumda yerden 1000 metre yükseklikte bir dağın tepesinden, ikinci durumda yerden 2000 metre yükseklikte bir dağın tepesinden ve son olarak da yere sıfır düz bir zeminden yukarıya füzeyi fırlatıyorlar. Füze bir dakikada 2 km yukarı doğru yükselmektedir. Buna göre her üç durumda füzenin hareketini ifade eden zaman (dk) ve yerden yükseklik (km) değişkenleri arasında nasıl bir ilişki olacağını açıklayınız.
Hareketlerin Matematiksel Modeli
-
İlk Durum (Yerden 1000 metre):
İlk durumda, füze yerden 1000 metre yükseklikte bir dağın tepesinden fırlatılıyor. Füze bir dakikada 2 km (2000 metre) yükseliyorsa, füzenin yüksekliğini zaman cinsinden ifade eden denklem şu şekilde yazılabilir:$$ Y_1(t) = 1000 + 2000t $$
Burada ( Y_1(t) ) füzenin yerden yüksekliği (metre cinsinden) ve ( t ) zaman (dakika cinsinden) olarak ifade edilmiştir.
-
İkinci Durum (Yerden 2000 metre):
İkinci durumda, füze yerden 2000 metre yükseklikte bir dağın tepesinden fırlatılıyor. Bu durumda yüksekliği zaman cinsinden ifade eden denklem ise:$$ Y_2(t) = 2000 + 2000t $$
Burada ( Y_2(t) ) füzenin yerden yüksekliği (metre cinsinden) ve ( t ) tekrar zamanı (dakika cinsinden) gösterir.
-
Üçüncü Durum (Yerden 0 metre, Düz Zeminden):
Son durumda füze düz bir zeminden yani yer seviyesinden fırlatılıyor. Bu durumda yüksekliği zaman cinsinden ifade eden denklem:$$ Y_3(t) = 2000t $$
Burada ( Y_3(t) ) füzenin yerden yüksekliği (metre cinsinden) ve ( t ) zamanı (dakika cinsinden) ifade eder.
Zaman ve Yükseklik İlişkisi
-
İlişkinin Doğrusal Doğası:
Her üç durumda da zaman ile artan bir yükseklik söz konusudur, çünkü füze sabit bir hızla (2 km/dk) yukarı doğru hareket eder. Dolayısıyla, yükseklik zamanla doğrusal olarak artar. -
Başlangıç Yükseklikleri:
Başlangıç yükseklikleri ilk durumda 1000 metre, ikinci durumda 2000 metre ve üçüncü durumda 0 metredir. Bu başlangıç değerleri, zaman ( t = 0 ) iken füzenin başlangıç yüksekliğini ifade eder. -
Denklemlerin Eğimi:
Her üç denklemde zaman değişkeninin katsayısı aynıdır (2000), bu da füzenin her dakika 2 km artmaya devam ettiğini gösterir. Demek ki y=mx + c doğrusu olarak tanımlandığında burada her üç denklemin eğimi (m) 2000’dir.
Örnek Hesaplamalar ile Açıklama
-
İlk Durum için Örnek:
( t = 1 ) dakika sonra:
$$ Y_1(1) = 1000 + 2000 \times 1 = 3000 , \text{metre} $$ -
İkinci Durum için Örnek:
( t = 1 ) dakika sonra:
$$ Y_2(1) = 2000 + 2000 \times 1 = 4000 , \text{metre} $$ -
Üçüncü Durum için Örnek:
( t = 1 ) dakika sonra:
$$ Y_3(1) = 2000 \times 1 = 2000 , \text{metre} $$
Sonuç olarak, her üç durumda da füzenin yüksekliği ile zaman arasında doğrusal bir ilişki vardır. Zaman ilerledikçe füzelerin yükseklikleri sabit bir hızla artmaktadır, her biri yerden farklı başlangıç noktalarıyla yükselmeye başlamaktadır. Her denklem, füzenin başlangıçta hangi yükseklikten fırlatıldığını ve her dakikada ne kadar yükseldiğini bilmeye izin verir. İlerleyen dakikalar için de aynı mantıkla yükseklik hesaplanabilir.