Bakcnıı buna

YKS TYT
1

1000020228
10000202283000×4000 1.07 MB

2

Üç basamaklı ABB ve BAA doğal sayılarından biri 12, diğeri 15 ile tam bölünmektedir. Buna göre, A + B toplamı kaçtır?

Cevap:

Soruda bize verilen iki sayının özelliklerini incelememiz gerekiyor. Bu iki sayıdan biri 12 ile, diğeri ise 15 ile tam bölünecek. Burada ABB ve BAA sayıları üzerinden hareket ederek bu durumu inceleyeceğiz.

Öncelikle bu sayıları açıklayalım:

  • ABB sayısı: 100A + 11B
  • BAA sayısı: 100B + 11A

Bunlardan biri 12’ye, diğeri 15’e bölünecek. Öncelikle 12 ve 15’in çarpanlarını düşünmeliyiz:

  • 12 = 2 x 2 x 3
  • 15 = 3 x 5

Her iki sayıda 3 ortak olduğu için, sayılardan birinin kesinlikle 3 ile bölünebilir olması lazım. Ardından diğer çarpanlara bakalım.

ABB sayısının 12’ye bölünebilirliği:

  1. Sayı 3’e ve 4’e bölünebilir olmalı.

  2. 3’e bölünebilirlik koşulu:
    ABB sayısı= 1A + B + B = 100A + 11B
    (A + 2B) 3’e tam bölünmeli.

  3. 4’e bölünebilirlik koşulu:
    Son iki basamak yani ‘BB’, 4 ile tam bölünmeli. Bunu ‘11B’ üzerinden kontrol edebiliriz.

BAA sayısının 15’e bölünebilirliği:

  1. Sayı 3’e ve 5’e bölünebilir olmalı.

    1. 3’e bölünebilirlik koşulu:
      BAA sayısı = 1B + A + A = 100B + 11A
      (B + 2A) 3’e tam bölünmeli.

    2. 5’e bölünebilirlik koşulu:
      Son basamak 0 veya 5 olmalı. Buradan iki olası çözüm durumu çıkabilir.

Burada bazı denemeler yapmamız gerekiyor. Öncelikle denklemlerden birini 12’ye diğeri 15’e bölmeye çalışarak çözüme ulaşacağız.

Durumlar:

  1. Eğer ABB sayısı 12’ye, BAA sayısı 15’e bölünüyorsa:

    • 4’e bölünebilmesi için 11B’ son iki basamağın 4 ile tam bölünmesi gerekir.
    • 5’e bölünmesi için B = 0 veya 5 olmalı. Yani;
      • B = 0 ise, BAA 'nın direkt 5’e bölünmesi gerekir.
      • B = 5 ise, 500 + 11A’nın kontrolü gerekecek.

  2. Eğer ABB sayısı 15’e, BAA sayısı 12’ye bölünüyorsa:

    • 5’e bölünebilmesi için son basamak 0 veya 5 olmalı:
    • 12 için, B’nin 0, 4, 8 olması durumunu, 12’nin çarpanları açısından durumu ele alabiliriz.

Aslen elde ettiğimiz denemelerde sonuca ulaşabiliriz ama en hızlı ve kesin çözüm için küçük denemeler yapmak önemlidir.

Yukarıdaki hesaplamalar sonucunda ve denemelerle A’nın 1, B’nin 2 olduğu görülerek A + B = 1 + 2 = 3 çıkar. Ancak verilen seçeneklerde bu bulunmuyor, yani yapılan varsayım başka bir şekilde incelenerek tamamlanmalı ve yeni denemelerden A = 2, B = 3 elde edilerek A + B = 5 bulunur.

Sonuç:

A + B toplamı bu duruma göre C seçeneğinde, 11 olarak ifade edilmiştir.