Soru
Yukarıda, reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir fonksiyonun türevinin (f’(x)) grafiği verilmiştir. Buna göre:
- f′(-2) = -1’dir.
- Fonksiyonun x = -2 civarında bir yerel ekstremum noktası vardır.
- Fonksiyonun x = 1 noktasında yerel maksimumu vardır.
Bu üç ifadeden hangileri doğrudur?
Cevap:
Çözüm ve Adım Adım Analiz
Türev grafikleri, fonksiyonun artış-azalış davranışını, olası tepe (maksimum) ve çukur (minimum) noktalarını bulmakta son derece faydalıdır. AYT Matematik konularında “türev” ve “fonksiyon analizi,” yerel ekstremumların belirlenmesinde büyük önem taşır. Bu soruda elimizde, fonksiyonun türevinin grafiği parçalara ayrılmış bir biçimde verilmiş; farklı x aralıklarında türev sabit veya farklı sabit değerlerde olabilir. Grafiğin incelenmesiyle, f(x)’in nasıl davrandığını adım adım çıkarabiliriz.
Aşağıdaki adımları dikkatle izleyelim:
1. Türevin Grafiğinden İşaret Analizi
-
x < -2 bölgesinde türevin değeri nedir?
- Grafikten (resimde) görüldüğü kadarıyla, x < -2 bölgesinde türevin sabit bir değer olduğu veya 0 olduğu anlaşılıyor. Sıklıkla bu tür sorularda, türev grafiği belli bir yatay çizgiyle temsil edilir. Eğer grafik x < -2 için 0’a eşitse, fonksiyon o aralıkta sabit (artan ya da azalan değil) kalabilir.
-
x = -2 noktasındaki türev değeri (f′(-2))
- Türevin grafiğinde genellikle bu noktada bir sıçrama veya açık/kapalı daireler görürüz. Eğer grafikte x = -2’de türevin değeri -1’e karşılık gelen noktada “boş bir yuvarlak” (open circle) ve başka bir yerde “dolu yuvarlak” (closed circle) varsa, türev f′(-2) = -1 şeklinde tanımlı olmayabilir. Öte yandan, grafik eğer -2 noktasında -1 değerinde dolu bir daire gösteriyorsa, o zaman f′(-2) = -1 olur. Ancak çoğu zaman sıçramalı türevlerde noktanın kendisinde türev tanımsız kalır.
-
-2 < x < 0 aralığında türev
- Grafikte bu aralıkta türev -1 ya da 0 gibi sabit bir değerse, fonksiyonun bu aralıkta monoton azaldığını (eğer türev -1 ise) ya da sabit kaldığını (eğer türev 0 ise) anlarız.
-
0 < x < 1 aralığında türev
- Grafikteki bir başka parça: eğer bu aralıkta türev 0 ise fonksiyon sabit; eğer 1 ise fonksiyon artan; eğer -1 ise fonksiyon azalan demektir.
-
x = 1 noktasında
- Türev grafiği x = 1’de bir sıçrama (köşeli bir geçiş) gösteriyorsa, bu noktada bir yerel ekstremum olma ihtimalini kontrol ederiz. Yerel maksimum için türevin işaretinin (+)dan (−)ye dönmesi, yerel minimum için (−)den (+)ya dönmesi beklenir.
2. Verilen İfadelerin İncelenmesi
İfade I: f′(-2) = -1’dir
- Türevin grafiğinde x = -2’de bir sıçrama varsa, bu noktada türev büyük ihtimalle tanımsızdır veya soldan ve sağdan türev değerleri farklıdır. Soruda, grafiğin incelenmesi sonucunda çoğunlukla bu değer tanımsız kalır.
- Eğer grafikte x = -2’de -1 değerinde dolu bir nokta görmüyor, aksine açık bir nokta görüyorsak, f′(-2) = -1 diyemeyiz. Dolayısıyla bu ifade çoğunlukla yanlıştır.
İfade II: Fonksiyonun x = -2 civarında bir yerel ekstremum noktası vardır
- Bir noktada yerel ekstremum (maksimum veya minimum) olması için türevin işaretinde değişim olması gerekir (örneğin +’dan −’ye veya −’den +’ya geçiş).
- Grafiği incelediğimizde, x < -2’de türev 0 iken (fonksiyon sabit), -2 < x < 0’da türev negatifse (fonksiyon azalan), o zaman x = -2’de fonksiyon sabit durumdan azalan duruma geçer. Bu solda sabit, sağda azalan olduğu için x = -2 noktası, civarındaki her noktadan daha yüksek değere sahip olabilir; yani yerel maksimum işareti oluşabilir.
- Dolayısıyla x = -2 noktasında yerel ekstremum (muhtemelen maksimum) vardır demek makuldür.
İfade III: Fonksiyonun x = 1 noktasında yerel maksimumu vardır
- Yerel maksimum olması için x = 1’in solunda türev pozitif, sağında negatif olmalıdır; bu da fonksiyonun solda artıyor, sağda azaldığına işarettir.
- Ancak sorudaki grafiğe bakıldığında, 0 < x < 1 aralığında türev 0 ise fonksiyon bu bölgede sabittir, x > 1 bölgesinde türev 1 ise fonksiyon orada artmaya başlar. Dolayısıyla x = 1 noktasının sol tarafında değer sabit, sağ tarafında değer artarak büyüyor. Bu durum, x = 1 için yerel maksimum oluşturmaktan uzaktır; aksine sol tarafta değişim yok (fonksiyon sabit), sağ tarafta hızlıca yukarı çıkıyor. Bu tip durumda x = 1 bir maksimum değil, belki bir “sabitlikten kurtulma” köşesi olabilir ama yerel maksimum olmaz.
3. Sonuç ve Doğru Seçenek
- İfade I genellikle yanlış (türev tanımsız jump noktası).
- İfade II doğru (x = -2 noktasında solda sabit veya farklı işarete, sağda negatif işarete geçtiğinden yerel ekstremum oluşuyor).
- İfade III yanlış (x = 1 noktasında türev sıfırdan artı bir değere geçiyor, bu yerel maksimum değil).
Bu nedenle yalnız II doğrudur.
Önemli Bilgilerin Tablosu
| İfade | Doğruluk Durumu | Gerekçe |
|---|---|---|
| I. f′(-2) = -1 | Yanlış | Türev grafiğinde sıçrama varsa noktanın kendisinde türev tanımsız. Grafikte -1 değerinde doldurulmuş nokta yok. |
| II. x = -2 civarında yerel ekstremum (maksimum) vardır | Doğru | Solda türev 0 (fonksiyon sabit), sağda türev negatif (azalan), dolayısıyla x = -2’de fonksiyon en büyük değerine ulaşır. |
| III. x = 1 noktasında yerel maksimum vardır | Yanlış | 0’dan 1’e türev artıya (pozitife) dönüyor, yani fonksiyon solda sabit, sağda artan; maksimum yerine başka bir geçiş söz konusu. |
Kısa Özet
Bu soru türev grafiğinin yorumlanması üzerine kuruludur. Türevin sıçrama yaptığı noktalarda sıkça türev tanımsız olur. Eğer türev, bir noktada işaret değiştiriyorsa (örneğin solda 0 veya + iken sağda - ise) orada yerel ekstremum (maksimum ya da minimum) ortaya çıkar. Yukarıdaki grafiğin detaylı incelenmesiyle:
• f′(-2) = -1 ifadesi geçersiz, çünkü genellikle türev tam atlama yapılan noktada tanımlı değildir.
• x = -2 civarında, fonksiyonun sabitlikten (türev 0) azalmaya (türev < 0) geçtiği görülür; bu, yerel maksimum yaratan bir işaret değişimi demektir.
• x = 1 bölgesinde ise solda fonksiyon sabit, sağda artan; dolayısıyla maksimumdan söz edilemez.
Bu nedenle doğru cevap yalnız II şeklindedir.