Gvhfdgnvfcvhk

YKS TYT
1

görüntü
görüntü2471×2116 294 KB

@Sorumatik

2

Yukarıdaki grafiğe göre türev fonksiyonu (yani (f’(x))) şu şekilde iki parçada tanımlı görünmektedir:

  • (x<0) için yatay bir doğru üzerinde (y=2) olduğundan,
    [
    f’(x) = 2 \quad (x<0).
    ]
  • (x>0) için ise orijinden çıkan ve (45^\circ)’lik açı yapan doğru (y=x) şeklinde olduğundan,
    [
    f’(x) = x \quad (x>0).
    ]

Bu durumda (f(x)), sürekli olduğu için iki parçada şöyle bulunur:

  1. (x<0) bölgesi:
    [
    f(x) ;=; \int 2,dx ;=; 2x + C_1.
    ]
  2. (x>0) bölgesi:
    [
    f(x) ;=; \int x,dx ;=; \frac{x^2}{2} + C_2.
    ]

Süreklilik koşulu gereği (x=0) noktasında bu iki ifadenin değeri aynı olmalıdır:
[
\lim_{x\to 0^-} f(x)
;=;
\lim_{x\to 0^+} f(x)
;;\Longrightarrow;;
2\cdot 0 + C_1
;=;
\frac{0^2}{2} + C_2
;;\Longrightarrow;;
C_1 = C_2.
]
Bir tek sabit (C) ile göstermek için (C_1 = C_2 = C) diyelim.

Bu bilgiyle:
[
f(x) =
\begin{cases}
2x + C, & x<0 \
\frac{x^2}{2} + C, & x>0
\end{cases}
]

Verilen koşul: (f(-1) = 3).
(x=-1) (yani (x<0)) bölgesinde (f(x) = 2x + C) olduğundan:
[
f(-1) = 2(-1) + C = -2 + C ;=; 3
;;\Longrightarrow;;
C = 5.
]
Dolayısıyla tüm fonksiyon için sabit (C=5) bulunur. Böylece:

[
f(x) =
\begin{cases}
2x + 5, & x<0 \
\tfrac{x^2}{2} + 5, & x>0.
\end{cases}
]

Sorulan değer: (f(2)).
(2 > 0) olduğuna göre ikinci parçayı kullanırız:
[
f(2)
= \frac{(2)^2}{2} + 5
= \frac{4}{2} + 5
= 2 + 5
= 7.
]

Özet Tablo

Bölge Türev (f’(x)) Temel İntegral Sabit (f(x))
(x<0) 2 (2x + C) (C=5) (2x + 5)
(x>0) (x) (\tfrac{x^2}{2} + C) (C=5) (\tfrac{x^2}{2} + 5)
Koşul (\quad f(-1)=3) (\quad -2 + C=3) (\quad C=5) –
İstenen (\quad f(2)=?) (\quad \frac{4}{2}+5) – (\quad 7)

Sonuç olarak, (f(2) = 7).

@Sorumatik

3

Anlayamadım. Biraz daha farklı açıklayabilir misin?

4

Anlayamadım. Biraz daha farklı açıklayabilir misin?

Answer:

Aşağıdaki açıklamada, türev (f’(x)) grafiğini kullanarak f(x) fonksiyonuna nasıl ulaştığımızı ve f(2) değerini nasıl bulduğumuzu daha farklı ve basit terimlerle anlatacağım:

  1. Türev Grafiğine Bakış

    • Grafiğin sol tarafında (x<0), türev fonksiyonu sabit bir değerde (y=2) seyrediyor. Bu, “f’(x)=2” anlamına gelir.
    • Grafiğin sağ tarafında (x>0), türev fonksiyonu (45^\circ) eğimli bir doğru gibi görünüyor. (45^\circ)‘lik açı, fonksiyonun y=x şeklinde olduğunu anlatır. Yani “f’(x)=x”.

  2. f(x) Fonksiyonunu Bulma

    • Türev, fonksiyonun “eğimini” gösterdiğinden, f(x)’i bulmak için türevi entegre (toplayarak) etmemiz gerekir.
    • x<0 için: f’(x)=2 ⇒ f(x)=2x + C₁
    • x>0 için: f’(x)=x ⇒ f(x)=x²/2 + C₂

  3. Süreklilik Koşulu
    Fonksiyonun kesintisiz (sürekli) olması için x=0 civarında bir kopukluk olmamalı. Dolayısıyla:

    • x=0’a soldan yaklaştığımızda: f(0)=2·0 + C₁=C₁
    • x=0’a sağdan yaklaştığımızda: f(0)=0²/2 + C₂=C₂
      Süreklilik: C₁ = C₂. Bu sayede tek ortak sabit C dersek, her iki bölgede de sabit aynı olur.

  4. Verilen Bilgi: f(-1)=3

    • -1 < 0 olduğu için f(-1) değerini sol taraftaki denklemden hesaplarız:
      f(-1) = 2(-1) + C = -2 + C.
    • Bu değerin 3 olduğu söyleniyor: -2 + C =3 ⇒ C=5.

  5. Tam Fonksiyon
    Tüm x değerleri için (solda ve sağda) fonksiyon şu şekle gelir:

    • x<0: f(x) = 2x + 5
    • x>0: f(x) = (x² / 2) + 5

  6. f(2) Değerini Bulma

    • 2 > 0 olduğu için sağ taraftaki formülü kullanırız:
      f(2) = (2² / 2) + 5 = (4 / 2) + 5 = 2 + 5 = 7.

Özet Tablo

Adım Açıklama Sonuç
1. Türev Solda f’(x) = 2 (x<0) Eğimi sabit olan kısım
2. Türev Sağda f’(x) = x (x>0) 45° eğimli doğru
3. f(x) Solda f(x) = 2x + C₁ x<0 için geçerli
4. f(x) Sağda f(x) = x²/2 + C₂ x>0 için geçerli
5. Süreklilik C₁ = C₂ Tek sabit C
6. f(-1)=3 -2 + C = 3 C = 5
7. Genel f(x) (x<0) ⇒ 2x + 5
(x>0) ⇒ x²/2 + 5		 Sürekli fonksiyon
8. f(2)’yi bulma f(2) = (4 / 2) + 5 = 7 7

Kısaca özetlersek, türevden (eğim grafiğinden) yola çıkarak fonksiyonun her iki bölgedeki ifadesini buluyoruz, sabit değerini verilen f(-1) = 3 bilgisi yardımıyla buluyoruz. Sonra istenen değeri (f(2)) sağdaki formülden hesaplayarak 7 elde ediyoruz.

@B.139

1 Beğeni