Soru:
Aşağıda uzun kenarlarının uzunlukları eşit olan sarı, mavi ve beyaz renklerde üç karton verilmiştir. Bu kartonlar uzun kenarları boyunca yan yana getirildiğinde alanı (6x^2 , \text{cm}^2) olan bir kare oluşturmuştur. Mavi ve beyaz renkli kartonların birer yüzlerinin alanı eşittir. Sarı kartonun kısa kenar uzunluğu mavi kartonun kısa kenar uzunluğunun 2 katına eşit olduğuna göre, sarı kartonun santimetre cinsinden çevre uzunluğunu veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
A) (18x)
B) (20x)
C) (22x)
D) (24x)
Cevap:
İlk olarak, verilen bilgilere göre kare şeklin alanını oluşturan kartonların toplam alanı (6x^2) cm(^2) ve bu kare şeklin bir kenar uzunluğu (6x) cm olmalıdır, çünkü karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.
Mavi ve beyaz kartonların alanları eşit olduğuna göre, bu iki kartonun kısa kenar uzunluklarına “b” diyelim. O halde alanları (b \times L), burada (L) iki kartonun da ortak uzun kenar uzunluğudur.
Kartonlar yan yana geldiğinde oluşturdukları kare şeklin kenarının uzunluğunu eşit olarak paylaştıkları için, toplam kısa kenar uzunluklarının toplamı, karenin bir kenar uzunluğuna yani (6x)’e eşittir.
Sarı kartonun kısa kenar uzunluğuna (2b) diyelim çünkü mavi kartonun kısa kenar uzunluğunun iki katı olarak verilmiş.
Bu ilişkilendirilen alana göre aşağıdaki denklemi kurabiliriz:
[ 2b + b + b = 6x ]
[ 4b = 6x ]
Buradan (b = \frac{3x}{2}) bulunur.
Sarı kartonun kısa kenar uzunluğu (2b) olduğuna göre, bu uzunluğu yerine koyalım:
[ 2b = 2 \times \frac{3x}{2} = 3x ]
Sarı kartonun çevresi (2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar})) formülüyle hesaplanır:
[ \text{Çevre} = 2 \times (L + 3x) ]
Burada, (L) ortak uzun kenar uzunluğu yine (6x)’in tüm kartonlara eşit dağılmasından bulduğumuz uzunluktur ama soruda direk uzun kenar detayına gerek kalmadan, kısa kenar üzerinden uzunluğu denklem üzerine tanımlarız ve formül ile çözümü bulabiliriz.
Sarı kartonun uzun kenarı da bu durumda (6x)'tir ve kısa kenarının iki katı mavi kartonudur. Şimdi çevreyi bulalım:
[ \text{Çevre} = 2 \times (6x + 3x) ]
[ \text{Çevre} = 2 \times 9x ]
[ \text{Çevre} = 18x ]
Doğru cevap A) (18x).