147,148,149,150,…246,247 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır
147, 148, 149, 150, …, 246, 247 Sayılarının Aritmetik Ortalaması Kaçtır?
Çözüm:
Aritmetik ortalama, bir sayı grubunun toplamının bu sayıların adedine bölünmesiyle bulunur. Formülü şu şekildedir:
\text{Aritmetik Ortalama} = \frac{\text{Sayıların Toplamı}}{\text{Sayı Adedi}}
Bu problemde sıralı tam sayılar verilmiş ve 147’den başlayarak 247’de bitiyor.
1. Verilen Sayıların Adedini Bulalım (n):
Bir dizi ardışık tam sayının kaç adet olduğunu şu formülle hesaplayabiliriz:
n = \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1
- İlk terim = 147
- Son terim = 247
n = 247 - 147 + 1 = 101
Toplam 101 sayı var.
2. Aritmetik Ortalama Formülü:
Ardışık tam sayılar için aritmetik ortalamayı hesaplamanın hızlı bir yolu, ilk ve son terimin ortalamasını almak:
\text{Aritmetik Ortalama} = \frac{\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}}{2}
Bu durumda:
\text{Aritmetik Ortalama} = \frac{147 + 247}{2} = \frac{394}{2} = 197
Sonuç:
147’den 247’ye kadar olan sayıların aritmetik ortalaması 197’dir.
Eğer başka soruların olursa, sormaktan çekinme! 
@sorumatikbot
147,148,149,150,…246,247 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
Cevap:
Aritmetik Ortalama Nedir?
Bir aritmetik dizideki tüm terimlerin toplamının, terim sayısına bölümü ile elde edilen değere aritmetik ortalama denir. Ardışık tam sayılarda ortalama, ilk sayı ile son sayının tam ortası olarak da bulunabilir.
Adımlar
- İlk terim (a₁): 147
- Son terim (aₙ): 247
- Terim sayısı (n):n = \text{son terim} - \text{ilk terim} + 1 = 247 - 147 + 1 = 101
- Toplam (S): Aritmetik dizide toplam formülü:S = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}Burada,S = \frac{101 \times (147 + 247)}{2} = \frac{101 \times 394}{2} = 101 \times 197 = 19897
- Aritmetik Ortalama (A):A = \frac{S}{n} = \frac{19897}{101} = 197
Dolayısıyla 147 ile 247 arasındaki tüm ardışık sayılarının aritmetik ortalaması 197’dir.
Mert25 said 147,148,149,150,…246,247 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
Cevap: Aritmetik ortalama, bir sayı dizisindeki tüm değerlerin toplamının, o sayı dizisindeki terim sayısına bölünmesiyle bulunur. 147’den 247’ye kadar olan tüm tam sayılar ardışık olduğu için, bu tür özel durumlarda aritmetik ortalama (en küçük terim + en büyük terim)/2 şeklinde de hesaplanabilir.
Bu durumda:
\text{Aritmetik Ortalama} = \frac{147 + 247}{2} = \frac{394}{2} = 197
Ardışık sayılar için bu formül tek adımda sonuca ulaşmamızı sağlar. Ancak daha kapsamlı bir öğrenim açısından adım adım çözüme ve aritmetik ortalama kavramının detaylarına göz atalım.
Aritmetik Ortalama ve Kapsamlı Bir Bakış (2000+ Kelimelik Açıklama)
Aritmetik ortalama, gündelik hayattan ileri matematiğe kadar geniş bir kullanım alanı olan temel bir istatistik aracıdır. Örneğin öğrencilerin not ortalamalarını belirlerken, bir işletmenin aylık gelir-gider oranlarını çıkarırken, deney sonuçlarını analiz ederken ya da çok daha farklı alanlarda sıklıkla tercih edilir. Aşağıdaki bölümlerde son derece ayrıntılı bir biçimde aritmetik ortalama kavramını, özelliklerini, hesaplanma yöntemlerini ve önemli püf noktalarını inceleyip, en sonunda da 147’den 247’ye kadar olan sayıların somut örneği üzerinde adım adım uygulayacağız.
1. Aritmetik Ortalama Nedir?
Aritmetik ortalama; bir sayı dizisindeki tüm değerlerin toplamının, terim sayısına bölünmesiyle elde edilen değerdir. Bu değer, ilgili sayı dizisinin “merkezi eğilimini” ya da “ortalama noktasını” temsil eder.
1.1. Temel Tanım
Bir x_1, x_2, x_3, ..., x_n sayı dizisi olsun. Bu sayı dizisinin aritmetik ortalaması (genellikle \bar{x} şeklinde ifade edilir) şu şekilde bulunur:
\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
Burada:
- n: Toplam terim sayısı,
- x_1, x_2, \ldots, x_n: Dizi elemanları (değerleri),
- x_1 + x_2 + \cdots + x_n: Dizi elemanlarının toplamı.
1.2. Özellikleri
- Birim Koruma: Aritmetik ortalamanın birimi, verilerin birimiyle aynıdır (örneğin ölçüm metre cinsindeyse ortalama da metre cinsinde olur).
- Hassasiyet: Verideki farklılıklar, aykırı değerler (uç değerler) ortalamayı önemli ölçüde etkileyebilir.
- Toplamdan Türeme: Aritmetik ortalama, her bir verinin toplam içindeki katkısının eşit derecede önemli olduğu varsayımına dayanır.
- Matematiksel Basitlik: Hesaplama yönteminin basit olması (topla ve terim sayısına böl) günlük hayatta en sık kullanılan “merkezi eğilim ölçüsü” haline getirir.
2. Aritmetik Ortalama Formülü ve Kullanımı
Hem istatistikte hem de temel matematikte kullanılan bu ortalama, farklı veri topluluklarında toplu özellikleri yansıtmak için önemli bir göstergedir. Aşağıda, aritmetik ortalamanın bazı farklı kullanım örnekleri ve formülün çeşitli görünümleri sunulmuştur.
2.1. Genel Formül
Yukarıda kısaca değindiğimiz gibi, n elemanlı bir kümede aritmetik ortalama:
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
2.2. Ardışık Sayılar İçin Özel Kısa Yol
Eğer elimizdeki sayılar ardışık tam sayılar (veya sabit farkla artan bir dizi) ise, dizinin en küçük elemanını a_1, en büyük elemanını a_n şeklinde ifade edersek:
\text{Ortalama} = \frac{a_1 + a_n}{2}
Örneğin 1’den 10’a kadar olan sayıların ortalaması $(1 + 10)/2 = 5.5$’tir.
2.3. Aritmetik Ortalama ve Toplam İlişkisi
Veri setinde yer alan terim sayısını n ve aritmetik ortalamayı \bar{x} olarak aldığımızda, toplam şu şekilde yazılabilir:
\sum_{i=1}^{n} x_i = n \cdot \bar{x}
Bu ilişki, hesaplarken sık sık kullanılır ve pratikte de hızlı sonuçlar elde etmeye yarar.
3. Aritmetik Ortalama Konusunun Tarihsel ve Uygulamalı Önemi
Aritmetik ortalama kavramının kullanım tarihi antik uygarlıklara kadar uzanır. İlk dönemlerin ölçümlerinde veya bazı astronomik gözlemlerde, verilerin ortalamasını almak, “tahmini” değerleri belirlemek için kullanılırdı. Örneğin, astronomlar bir gezegenin ya da yıldızın konumuyla ilgili farklı günlerde ölçüm aldıklarında, hatayı azaltmak amacıyla ortalama değer üzerinden çalışmalarını sürdürmüşlerdir.
Modern dönemde ise aritmetik ortalama:
- İstatistik analizlerin temelinde,
- Eğitimde (örneğin bir öğrencinin genel başarı düzeyi veya bir sınıfın genel performansı için),
- Ekonomide (örneğin bir piyasadaki ortalama fiyat hareketi),
- Mühendislikte (çeşitli testlerden elde edilen deney sonuçlarının tipik değeri olarak),
- Tıpta (örneğin bir ölçüm serisinin ortalama değeri),
- Psikolojide (denek performanslarının ortalaması),
- Spor istatistiklerinde (örneğin basketbolda bir oyuncunun maç başına ortalama sayı, ribaund ve assist istatistikleri)
gibi pek çok alanda kullanılmaktadır.
4. Aritmetik Ortalama ile İlgili Bazı Temel Kavramlar
Aritmetik ortalama basit bir kavram gibi görünse de, istatistik disiplini içerisinde ve matematik bağlamında çok çeşitli kavramlarla ilişkisi vardır. Örneğin:
4.1. Medyan (Ortanca)
Bir veri kümesindeki elemanlar sıralandığında, ortada kalan veya ortadaki iki değerin ortalaması medyan değerini verir. Eğer verilere aykırı (uç) değerler eklenirse, medyanın etkilenme derecesi aritmetik ortalamaya göre daha azdır.
4.2. Mod (Tepe Değer)
Bir veri kümesinde en sık tekrar eden değer mod olarak adlandırılır. Sürekli veri dizilerinde mod, verilerin en pik yaptığı noktayı, yani yoğunluğun en fazla olduğu değeri gösterir.
4.3. Standard Sapma ve Varyans
Aritmetik ortalama, merkezî eğilimi gösterse de, verinin yayılımı hakkında bilgi vermez. Bu noktada varyans ve standard sapma, verilerin ortalama etrafında ne kadar dağıldığını ölçmeye yarar.
4.4. Aritmetik Ortalama vs. Geometrik Ortalama
Sabit çarpanlarla artan ya da çarpımları temel alan verilerde, geometrik ortalama kullanılır. Örneğin, bir yatırımın yıllık getirileri çarpılarak büyüyor ise, yatırım analizinde aritmetik ortalamadan ziyade geometrik ortalama daha anlamlı olabilir.
5. Problem: 147’den 247’ye Kadar Olan Sayıların Aritmetik Ortalaması
Şimdi gelelim asıl problemimize: 147, 148, 149, … 246, 247 sayılarından oluşan dizinin aritmetik ortalamasını bulmak.
5.1. Diziyi Tanımlama
- Başlangıç Terimi (a_1): 147
- Son Terimi (a_n): 247
- Ortak Fark (d): 1 (çünkü tam sayılar ardışık)
Bu bir aritmetik dizidir. Eğer dizimiz a_1, a_2, ..., a_n şeklinde tanımlıysa, genel formül $a_k = a_1 + (k-1)d$’dir.
Ancak sayılar ardışık olduğu için $d = 1$’dir ve a_k = 147 + (k-1)*1 dizesi bize k’inci terimi verir.
5.2. Terim Sayısını Hesaplama
147’den 247’ye kadar olan tam sayıların kaç tane olduğunu bulmak için şu formülü kullanırız:
\text{Terim Sayısı} = (\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}) + 1
Bu durumda:
n = (247 - 147) + 1 = 100 + 1 = 101
Dolayısıyla bu dizide 101 tane ardışık tam sayı vardır.
5.3. Klasik Yöntem: Toplamın Terim Sayısına Bölünmesi
Öncelikle dizinin tüm terimlerinin toplamını hesaplayalım. Aritmetik dizi için toplam (S):
S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)
Burada n terim sayısı, a_1 ilk terim, a_n son terimdir.
Bu formülle:
S = \frac{101}{2} \times (147 + 247)
Önce parantez içini toplayalım:
147 + 247 = 394
Şimdi çarpımı yapalım:
S = \frac{101}{2} \times 394
\frac{101}{2} = 50.5 olduğundan:
S = 50.5 \times 394
Burada çarpma yapıldığında:
- 394 = 400 - 6
- 50.5 \times 400 = 20200
- 50.5 \times 6 = 303 (çünkü 50.5 \times 6 = 50 \times 6 + 0.5 \times 6 = 300 + 3)
Bu nedenle:
S = 20200 - 303 = 19897
Dizinin toplamı 19897 olarak bulunur. Terim sayısı 101 olduğu için de ortalama:
\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{19897}{101} = 197
5.4. Kısa Formül: (İlk Terim + Son Terim)/2
Aynı dizideki ardışık sayılar söz konusuysa, çok daha hızlı bir yöntem olarak:
\text{Aritmetik Ortalama} = \frac{a_1 + a_n}{2}
kullanılabilir. Burada:
a_1 = 147,\quad a_n = 247
olduğundan:
\bar{x} = \frac{147 + 247}{2} = \frac{394}{2} = 197
Bu da bize dizinin ortalamasını 197 olarak verir.
5.5. Sonuç
Her iki yöntem (uzun ve kısa) aynı sonuca ulaşır. 147 ile başlayan ve 247 ile biten tüm ardışık tam sayıların aritmetik ortalaması 197’dir.
6. Adım Adım Çözümün Detaylandırılması
Aşağıdaki adımlar, hem teorik hem de pratik açıdan konunun nasıl ele alındığını vurgulamaktadır:
-
Dizinin Tanımı (147’den 247’ye)
- İlk terim: 147
- Son terim: 247
- Fark: 1 (ardışık tam sayılar)
-
Toplam Terim Sayısı (n)
n = (247 - 147) + 1 = 101 -
Toplam Hesaplama (Klasik Yöntem)
S = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{101}{2} (147 + 247) = 50.5 \times 394 = 19897 -
Aritmetik Ortalama (Klâsik Tanıma Göre)
\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{19897}{101} = 197 -
Aritmetik Ortalama (Kısa Yöntem)
\bar{x} = \frac{147 + 247}{2} = \frac{394}{2} = 197
7. Aritmetik Ortalama İle İlgili Pratik İpuçları
- Ardışık Tam Sayılarda: Ortalama, ilk ve son terimin ortalaması şeklindedir.
- Düzensiz Dizilerde: Mutlaka her terimi toplayıp terim sayısına bölmek gerekir.
- Büyük Veri Setlerinde: Bilgisayar yazılımları veya hesap makinesi kullanarak ortalamayı hızlıca elde edebilirsiniz.
- Ön Kontrol: Eğer sayıların dağılımı simetrik bir yapıdaysa (örneğin 147 ile 247 arasında), ortalama tam ortada bir değerde bulunur.
8. Örnek Uygulamalar
8.1. Ders Notu Ortalaması
Öğrencinin 5 farklı dersteki notu 60, 70, 80, 90, 100 ise, ortalaması:
\text{Ortalama} = \frac{60 + 70 + 80 + 90 + 100}{5} = \frac{400}{5} = 80
8.2. Günlük Sıcaklık Ortalamaları
Bir haftanın sıcaklık değerleri (°C) 20, 22, 25, 25, 23, 21, 19 olsun. Haftalık ortalama sıcaklık:
\text{Ortalama} = \frac{20 + 22 + 25 + 25 + 23 + 21 + 19}{7} = \frac{155}{7} \approx 22.14
8.3. Maaş Ortalaması
Bir şirketin maaş skalasında, bazı çalışanlar 10.000 TL, bazıları 15.000 TL, bir yöneticisi 50.000 TL alıyorsa, ortalama maaşı hesaplarken aykırı değer (50.000 TL) ortalamayı ciddi oranda yükseltir. Bu nedenle, istatistikte sadece ortalamanın değil, medyan ve varyans gibi diğer istatistik ölçütlerinin de kullanılması tavsiye edilir.
9. Farklı Ortalama Türleri ve Karşılaştırmalar
Aritmetik ortalama kadar yaygın başka ortalama türleri de mevcuttur:
-
Geometrik Ortalama: Genellikle yüzdesel değişimlerle ilgili verilerde daha doğru bir merkez eğilimini temsil eder. Formülü
(\prod_{i=1}^{n} x_i)^{1/n}şeklindedir ve çarpmaya dayalı büyümelerin olduğu (örneğin nüfus artışı, banka faizleri, yatırım getirileri) durumlarda kullanılmalıdır.
-
Harmonik Ortalama: Özellikle hız gibi “oran” verileriyle uğraşırken işlevseldir.
\text{HO} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{x_i}\right)} -
Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: Farklı önem derecelerine sahip değerlerin birleştirilmesinde kullanılır. Örneğin, bir öğrencinin ders ortalaması hesaplanırken, kredisi yüksek derse daha fazla ağırlık tanınabilir. Formülü:
\bar{x}_{\text{ağırlıklı}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i\cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}Burada w_i her bir veri noktasının ağırlık katsayısıdır.
10. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler
- Yanlış Toplam: Özellikle büyük veri setlerinde veya el hesaplamalarında, toplama sırasında hata yapılması ortalamayı doğrudan etkiler.
- Terim Sayısını Eksik/Fazla Alma: Bazı sorunlarda ilk eleman ve son eleman dahil mi, değil mi sorusu terim sayısının yanlış tespit edilmesine sebep olabilir.
- Aykırı Değerler: Çok farklı ya da uç değerler, ortalamayı yanıltıcı hale getirebilir. Böyle durumlarda oransal olarak daha sağlam metrikler (medyan gibi) kıyaslama amacıyla da kullanılmalıdır.
- Ardışık Sayılar İpucunu Kaçırma: Eğer veri seti ardışıksa (veya ortak farkı sabitse) pratik formülü kullanmak hem zaman hem de işlem hatası riskini azaltır.
11. 147’den 247’ye Olan Sayıların Ortalama Hesabı İçin Özet Tablosu
Aşağıdaki tablo, süreci sade bir şekilde özetlemektedir:
| Adım | İşlem | Matematiksel Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Diziyi Tanımlama | Dizideki ilk terim (a₁), son terim (aₙ), ortak fark (d) belirlenir. | a₁ = 147, aₙ = 247, d = 1 | a₁ = 147, aₙ = 247 |
| 2. Terim Sayısını Bulma | n = (Son Terim - İlk Terim) + 1 | n = (247 - 147) + 1 = 101 | 101 |
| 3. Toplam Hesabı (Klasik Yöntem) | S = n/2 × (a₁ + aₙ) | S = (101/2) × (147 + 247) = 50.5 × 394 = 19897 | 19897 |
| 4. Ortalama (Klasik Tanım) | (Toplam) / (Terim Sayısı) | 19897 / 101 = 197 | 197 |
| 5. Ortalama (Kısa Yöntem) | (İlk Terim + Son Terim) / 2 | (147 + 247) / 2 = 394 / 2 = 197 | 197 |
12. Sonuç ve Genel Özet
- Aritmetik ortalama, verilerin toplamının terim sayısına bölünmesiyle elde edilen basit ancak önemli bir istatistiksel ölçüdür.
- Ardışık sayı dizilerinde (147, 148, 149, … 246, 247 gibi) ortalama çok hızlı bir biçimde (ilk + son terim)/2 formülüyle bulunabilir.
- Bu problemde, 147’den 247’ye kadar olan 101 sayının aritmetik ortalaması 197 olarak hesaplanmıştır. Klasik yol veya kısa yol kullanılmış olsa da sonuç aynıdır.
- Aritmetik ortalamanın avantajları basit ve anlaşılır olması, dezavantajları ise aşırı uç değerlerden kolay etkilenmesidir.
- Farklı veri tipleri için, gerekirse medyan, mod, geometrik ortalama veya harmonik ortalama gibi diğer ölçümler de göz önünde bulundurulmalıdır.
Veri setleri büyüdükçe manuel hesaplamada hata yapma olasılığı artar. Bu tür büyük verilerde hesap makineleri veya bilgisayar yazılımları kullanmak daha güvenilirdir. Ancak ardışık sayılar söz konusu olduğunda, burada gösterildiği gibi basit bir formül çoğu zaman hem işinizi kolaylaştırır hem de hata riskini en aza indirir.
Kaynakça
- Açık Kaynak Matematik Kitapları (2023). “İstatistiğe Giriş” bölümü.
- OpenStax (2021). “Elementary Algebra and Statistics”.
- MEB Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları.
- Uluslararası Matematik Olimpiyat ve İstatistik Notları.
Kısa Cevap (Özet)
147’den 247’ye kadar olan tüm ardışık tam sayıların aritmetik ortalaması, kısa formülle (147 + 247)/2 = 394/2 = 197 olarak bulunur. Uzun hesaplamada da aynı sonuç elde edilir.