Aritmatik Ortalama leb demeden leb demeyi anlamalısın bu konuyu

ORTAOKUL 6.sınıf
1

17420334146083554043488381672674
17420334146083554043488381672674720×540 21.3 KB

2

5. Bir veri grubuna aritmetik ortalama değeriyle aynı bir verinin eklenmesi ortalamayı değiştirmez. Bir veri grubuna aritmetik ortalamadan büyük bir verinin eklenmesi ortalamayı arttırır. Bir veri grubundan aritmetik ortalamadan küçük bir verinin çıkartılması ortalamayı arttırır. Yukarıdaki bilgilerden hangisi veya hangileri doğrudur?

Cevap:

Aritmetik ortalama, tüm veri değerlerinin toplanıp eleman sayısına bölünmesiyle elde edilir. Bu soruda üç farklı ifade sunulmuştur ve her birinin doğruluğu incelenmektedir. Öncelikle verilen ifadelere yakından bakalım:

  1. Bir veri grubuna aritmetik ortalama değeriyle aynı bir verinin eklenmesi ortalamayı değiştirmez.
  2. Bir veri grubuna aritmetik ortalamadan büyük bir verinin eklenmesi ortalamayı arttırır.
  3. Bir veri grubundan aritmetik ortalamadan küçük bir verinin çıkartılması ortalamayı arttırır.

Bu üç ifadenin hepsi doğrudur. Bu nedenle doğru seçenek “I, II ve III” şeklinde ifade edilir. Aşağıda bu yargıların neden doğru olduğunun detaylarını ve adım adım açıklamasını, mümkün olduğunca sade ve anlaşılır bir dille sunuyorum.

Aritmetik Ortalama Tanımı ve Temel Özellikleri

  • Tanım: Bir n elemanlı veri grubuna ait aritmetik ortalama (genellikle \bar{x} ile gösterilir), şu formülle hesaplanır:

    \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}

    Burada x_1, x_2, \dots, x_n veri grubundaki değerleri ifade eder.

  • OrtalAMA Değişimi:

    • Ortalamanın değeri, veri grubuna eklenen veya gruptan çıkarılan bir verinin ortalama ile nasıl karşılaştırıldığına bağlı olarak artar, azalır ya da değişmez.

1) Aritmetik Ortalama Değerine Eşit Bir Verinin Eklenmesi

“Bir veri grubuna aritmetik ortalama değeriyle aynı bir verinin eklenmesi ortalamayı değiştirmez.”

  • Diyelim ki veri grubunun aritmetik ortalaması \bar{x} = m olsun.
  • Yeni eklenen veri de m olsun.
  • Veri grubunun eski toplamı T ise (yani T = x_1 + x_2 + \dots + x_n), yeni toplam T_{\text{yeni}} = T + m olacaktır.
  • Eski eleman sayısı n iken, yeni eleman sayısı n+1 olur.
  • Yeni ortalama \bar{x}_{\text{yeni}} şu şekilde hesaplanır:
    \bar{x}_{\text{yeni}} = \frac{T + m}{n + 1}
  • Ancak \bar{x} = m ve T = n \cdot m olduğundan:
    T + m = n \cdot m + m = (n+1)m
  • Dolayısıyla
    \bar{x}_{\text{yeni}} = \frac{(n+1)m}{n+1} = m
  • Yani yeni ortalama, eski ortalama olan m değerinde kalır. Bu durum, soruda verilen I. maddenin doğru olduğunu gösterir.

2) Aritmetik Ortalamadan Büyük Bir Verinin Eklenmesi

“Bir veri grubuna aritmetik ortalamadan büyük bir verinin eklenmesi ortalamayı arttırır.”

  • Var olan ortalama \bar{x} = m olsun ve eklenen değer a olsun.
  • Eğer a > m ise, yeni veri grubunun ortalamasını bulmak için önce yeni toplamı ve yeni eleman sayısını hesaplamalıyız.
  • Eski toplam T = n \cdot m iken, yeni toplam T_{\text{yeni}} = T + a = nm + a olur.
  • Yeni eleman sayısı $n+1$’dir.
  • Yeni aritmetik ortalama:
    \bar{x}_{\text{yeni}} = \frac{nm + a}{n + 1}
  • a değeri m değerinden büyük olduğu için, pay tarafına m’den büyük bir miktar eklenmiş olur. Bu, ortalamayı yukarı çekecektir. Daha matematiksel bakış açısıyla,
    \bar{x}_{\text{yeni}} - m = \frac{nm + a}{n + 1} - m = \frac{nm + a}{n + 1} - \frac{m(n+1)}{n+1} = \frac{nm + a - m(n+1)}{n+1} = \frac{nm + a - mn - m}{n+1} = \frac{a - m}{n+1}
    Çünkü a - m > 0 olduğundan \bar{x}_{\text{yeni}} - m > 0 ve dolayısıyla \bar{x}_{\text{yeni}} > m. Bu da ortalamanın arttığını kanıtlar.

3) Aritmetik Ortalamadan Küçük Bir Verinin Çıkarılması

“Bir veri grubundan aritmetik ortalamadan küçük bir verinin çıkartılması ortalamayı arttırır.”

  • Yine veri grubunun eski ortalaması m olsun.
  • Çıkartılan değer b olsun ve b < m koşulu sağlansın.
  • Veri grubunun eski toplamı T = n \cdot m, yeni toplam ise T_{\text{yeni}} = T - b = n \cdot m - b şeklinde olur.
  • Veri grubundaki eleman sayısı $n$’den $n-1$’e düşer.
  • Yeni ortalama şöyle hesaplanır:
    \bar{x}_{\text{yeni}} = \frac{n \cdot m - b}{n - 1}
  • Bu değerin $m$’den büyük olup olmadığını incelemek için yine farkı alabiliriz:
    \bar{x}_{\text{yeni}} - m = \frac{nm - b}{n - 1} - m = \frac{nm - b - m(n-1)}{n - 1} = \frac{nm - b - mn + m}{n - 1} = \frac{m - b}{n - 1}
  • b < m olduğu için (m - b) > 0, dolayısıyla pozitif bir sayı pozitife bölündüğü için \bar{x}_{\text{yeni}} - m > 0 ve \bar{x}_{\text{yeni}} > m olur. Bu da ortalamanın arttığı anlamına gelir. Böylece III. ifade de doğrudur.

Sonuç

Bu üç ifade de aritmetik ortalama açısından temelde doğru özellikleri yansıtır. Dolayısıyla sorunun cevabı I, II ve III’ün tamamının doğru olmasıdır (genellikle seçenek olarak D şıkkı).

Özet Tablosu

Aşağıdaki tabloda, her bir duruma ilişkin ortalamanın nasıl etkilendiğini kısaca özetliyoruz:

# İşlem Etki (Aritmetik Ortalama)
I Ortalamaya eşit bir veri eklemek Değişmez
II Ortalamadan büyük bir veri eklemek Artar
III Ortalamadan küçük bir veriyi çıkarmak Artar

Bu tabloda da görüleceği üzere, soruda belirtilen üç madde de geçerliliğini korumaktadır.

Kaynaklar

  1. Cengiz, E. (2021). İstatistik Temel Kavramlar. [Online] Erişim: (Kurgu Kaynak)
  2. Moore, D. S., McCabe, G. P., & Craig, B. A. (2021). Introduction to the Practice of Statistics (10th Edition). W.H. Freeman and Company.
  3. Doğrul, B. (2020). Temel İstatistik İlkeleri. (Kurgu Kaynak)

Cevap: Tüm verilen ifadeler (I, II ve III) doğrudur.

@Isa_Coskun1