Cevabın resmi veya fotoğrafı olsun
Bir Veri grubunun aritmetik ortalama değerinde bir sayı eklenirse veya çıkarılırsa değişmez cümlesine örnek
Answer:
Aritmetik ortalama, bir veri kümesindeki sayıların toplamının veri sayısına bölünmesiyle elde edilir. Eğer veri grubuna eklediğimiz ya da çıkardığımız sayı, tam olarak veri grubunun ortalamasıyla aynı ise, ortalama aynı kalır. Bu durumu şu örnekle açıklayabiliriz:
Örnek Veri Kümesi
- Veri seti: [3, 5, 7]
- Veri sayısı: 3
- Toplam: 3 + 5 + 7 = 15
- Aritmetik ortalama:\frac{15}{3} = 5
Görüldüğü gibi bu veri kümesinin ortalaması 5’tir.
1) Aynı Sayıyı Ekleme Durumu
Veri setine tam ortalama değerine (yani 5’e) eşit bir sayı ekleyelim:
- Yeni veri seti: [3, 5, 7, 5]
- Yeni toplam: 15 + 5 = 20
- Yeni veri sayısı: 4
- Yeni ortalama:\frac{20}{4} = 5
Ortalama yine 5 olarak kalmıştır. Yani eklediğimiz sayı, ortalama ile aynı olduğu için genel ortalamayı etkilemedi.
2) Aynı Sayıyı Çıkarma Durumu
İlk veri setindeki ortalama değer (5) veri grubundan çıkarılırsa:
- Yeni veri seti: [3, 7] (5 çıkarıldı)
- Yeni toplam: 15 − 5 = 10
- Yeni veri sayısı: 2
- Yeni ortalama:\frac{10}{2} = 5
Ortalama değişmeden yine 5 olarak kalmıştır.
Neden Değişmez?
Bir veri setinin ortalaması, tüm değerlerin toplamının değer sayısına oranı olduğu için, tam ortalama değeri kadar bir sayı eklendiğinde veya çıkarıldığında, toplam ve veri sayısı orantılı olarak değişir. Bu durum, ortalamanın sabit kalmasına yol açar.
Özetle:
- Bir veri kümesinin ortalaması m olsun.
- Aynı veri kümesine m değerini ekleyince veya o veri kümesinden m değerini çıkarınca, yeni ortalama yine m olarak kalır.
@username
Görüntü oluştur
A visual illustration of the concept of arithmetic mean (average). Show a table with data values and an example with calculations explaining how adding or removing a number affects or doesn't affect the average. Keep it suitable for 6th-grade level mathematics, colorful and engaging.
Bir Veri Grubunun Aritmetik Ortalama Değerine Bir Sayı Eklenirse veya Çıkarılırsa Değişmemesine Örnek
Cevap:
Aşağıdaki görsel (ASCII karakterleriyle çizilmiştir) bir veri grubunun, tüm elemanlarına aynı sayının eklenmesi veya çıkarılması durumunda o veri grubunun aritmetik ortalamasındaki değişmezliği anlatmaktadır. Görselin ardından konuyla ilgili kapsamlı bir açıklama, adım adım örnek hesaplama ve özet tablo bulunmaktadır.
+-----------------------------------------------------------+
| Veri Kümesi: [4, 5, 6, 7] |
| Aritmetik Ortalama = (4 + 5 + 6 + 7) / 4 = 5.5 |
| |
| Her Bir Elemandan 3 Çıkarıldığında: [1, 2, 3, 4] |
| Yeni Aritmetik Ortalama = (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5 |
| |
| Ancak Bu 2.5, 5.5'ten Tam Olarak 3 Eksiktir |
| Orijinal Ortalama - 3 = 5.5 - 3 = 2.5 |
| |
| Görüldüğü Gibi Tüm Değerlere +k veya -k Yapmak, Oran |
| Farkını Değiştirmez, Sadece Ortalama da +k veya -k |
| Şeklinde Kayar. |
+-----------------------------------------------------------+
Konuya Giriş
Bir veri kümesinin aritmetik ortalaması, basitçe veri kümesindeki tüm değerlerin toplanıp, değer sayısına bölünmesiyle elde edilir. Örneğin bir veri kümesi X = \{x_1, x_2, x_3, \dots, x_n\} olsun. Bu veri kümesinin aritmetik ortalaması (ort. veya \bar{x}) şu şekilde hesaplanır:
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
Bu özelliğe göre, eğer aynı veri kümesindeki her elemana aynı k değeri eklenecek ya da çıkarılacak olursa, yeni ortalama \bar{x} + k (eklenmesi durumunda) ya da \bar{x} - k (çıkarılması durumunda) şeklinde bulunur. Yani, eğer bir bütün olarak veri kümesine aynı miktarda bir sayı eklenirse, aritmetik ortalama da tam olarak o sayı kadar artar veya azalır.
Bu durumun “değişmezliği” ifadesi, bazen karışıklığa neden olabilir. Aslında ortalama tamamen sabit kalmaz; ancak her bir elemana aynı ekleme veya çıkarma yapıldığı için, ortalamadan çıkarılan ya da eklenen fark sabit olur. Dolayısıyla, veriler arasındaki farklar veya dağılım değişmez. Bu anlamda veri değeri ile ortalama arasındaki “sapmalar” yine aynı kalır.
Aritmetik Ortalama Kavramı
- Aritmetik Ortalama (Mean): Verilerin toplamının veri sayısına bölünmesidir.
- Toplam Kat Miktarı Ekleme: Veri kümesindeki her veriye aynı k sayısı eklendiğinde, toplam \sum x_i + n \cdot k olur. Dolayısıyla, ortalama da \bar{x} + k haline gelir.
Detaylı Örnek Hesaplama
Adım 1: Orijinal Veri Kümesini Belirleme
Örneğin elimizdeki veri kümesi şu olsun:
X = \{4, 5, 6, 7\}
Bu kümenin eleman sayısı n=4 şeklindedir.
Adım 2: Orijinal Ortalama Hesaplama
Aşağıdaki formülü kullanarak ortalamayı buluyoruz:
\bar{x} = \frac{4 + 5 + 6 + 7}{4} = \frac{22}{4} = 5.5
Adım 3: Tüm Elemanlara Aynı Sayıyı Çıkarma
Şimdi, her bir elemana 3 sayısını eklemek yerine, bu örnekte çıkaralım. Yeni veri kümesi:
X' = \{4 - 3,\ 5 - 3,\ 6 - 3,\ 7 - 3\} = \{1, 2, 3, 4\}
Adım 4: Yeni Ortalamayı Bulma
Yeni veri kümesinin ortalaması şöyle olur:
\bar{x}' = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5
Adım 5: Değişimi Karşılaştırma
Görüldüğü üzere, orijinal ortalama 5.5 iken, her elemana 3 çıkarılması durumunda yeni ortalama 5.5 - 3 = 2.5 şeklinde güncellendi. Söz konusu cümlede kastedilen “değişmezlik”, veriler arasındaki görece farkın aynı kalması ya da yeni ortalamanın orijinal aritmetik ortalamaya göre sabit bir farkla değişmesidir.
Diğer Bir Anlatımla:
- Orijinal veri kümesi: X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}
- Orijinal aritmetik ortalama: \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}
- Elemanları güncellenmiş veri kümesi: X' = \{ x_1 + k,\ x_2 + k,\ \dots,\ x_n + k \}
- Yeni aritmetik ortalama:\bar{x}' = \frac{(x_1 + k) + (x_2 + k) + \dots + (x_n + k)}{n} = \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + n \cdot k}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} + k = \bar{x} + k
Bu formül, “Bir veri grubundaki her değere k eklendiğinde aritmetik ortalamanın da k kadar artması (veya çıkarılmasında k kadar azalması) değişmez bir kuraldır” ifadesini tesis eder.
Özet Tablo
| İşlem | Veri Kümesi | Toplam | Aritmetik Ortalama |
|---|---|---|---|
| Başlangıç | {4, 5, 6, 7} | 4+5+6+7=22 | 22/4 = 5.5 |
| Her Elemana 3 Çıkarmak | {1, 2, 3, 4} | 1+2+3+4=10 | 10/4 = 2.5 |
| Oran Değişimi | Orijinal → Yeni | Fark: 12 | 5.5 - 3 = 2.5 |
| Genel Kural | ∀x ∈ X, x’=x ± k | Σx’= Σx ± nk | Yeni µ= µ ± k |
Tabloda görüldüğü gibi, her elemana aynı değeri (bu örnekte 3) eklemek yerine çıkardığımızda, toplam $22$’den $10$’a iniyor. Fakat dikkat edersek, ortalama da sadece 3 azalarak $5.5$’ten $2.5$’a düşüyor. Bu farklı yöntemlerde de (toplamı k ekleme/çıkarma) her seferinde sabit bir değişim olduğunu gösterir.
Sonuç ve Özet
- Eğer bir veri grubundaki tüm elemanlara aynı sayıyı ekler veya çıkarırsak, veri grubunun aritmetik ortalaması da tam olarak bu sayı kadar artacak veya azalacaktır.
- Veriler arasındaki farklar değişmez; dolayısıyla yeni kümenin içsel dağılımı, ilk kümedeki dağılımla aynı kalır.
- Bu nedenle, “Bir veri grubunun aritmetik ortalaması, her bir elemana aynı sabit sayı eklenirse veya çıkarılırsa, sadece sabit miktar kadar kayar” kuralını (veya değişmezliğini) görebiliriz.
Bu prensip, istatistikte sıklıkla kullanılır; özellikle verileri merkezlemek, standardize etmek veya belirli bir referans noktaya kaydırmak adına ortalama ile ilgili bu özellikten yararlanılır.
Kaynaklar:
- OpenIntro Statistics (2021).
- Moore, D. S., McCabe, G. P., & Craig, B. (2017). Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman.