Adışık dört çift sayının aritmetik ortalaması 33 ise bu sayıların en küçüğü kaçtır?
A)32 B) 30 C)28 D) 26
Adışık dört çift sayının aritmetik ortalaması 33 ise bu sayıların en küçüğü kaçtır?
Yanıt: Bu soruda bizden ardışık (adışık) dört çift sayıyı belirlememiz ve bu sayıların aritmetik ortalamasının 33 olduğu durumda en küçük sayıyı bulmamız istenmektedir. Ardışık çift sayılar, birbiri artı ikişer farkla ilerler, yani sayıların formu şu şekildedir:
- En küçük sayı: x
- İkinci sayı: x+2
- Üçüncü sayı: x+4
- Dördüncü sayı: x+6
Aritmetik ortalama ise tüm bu sayıların toplamının dörde bölünmesiyle elde edilir. Sorudaki aritmetik ortalama 33 olarak verildiği için, aşağıdaki temel denklemi kurabiliriz:
\frac{x+(x+2)+(x+4)+(x+6)}{4} = 33
Bu denklem, ardışık dört çift sayıyı matematiksel olarak ifade etmemize izin verir. Şimdi soruyu adım adım çözelim ve en küçük sayıyı bulalım.
Adım Adım Çözüm
1. Ardışık Çift Sayıları Tanımlama
Ardışık dört çift sayı dediğimizde, sayılar arasındaki farkın 2 olduğunu biliyoruz. Eğer bu dört sayının en küçüğü x ise sırayla şu şekilde yazılabilirler:
- Birinci sayı: x
- İkinci sayı: x+2
- Üçüncü sayı: x+4
- Dördüncü sayı: x+6
2. Aritmetik Ortalama Formülü
Dört sayının aritmetik ortalaması (AO), bu sayıların toplamının 4’e bölünmesiyle bulunur. Yani:
\text{AO} = \frac{x + (x+2) + (x+4) + (x+6)}{4}
3. Verilen Bilginin Denkleme Uygulanması
Sorumuzda, aritmetik ortalamanın 33 olduğu bilgisi yer almaktadır. Bu nedenle:
\frac{x+(x+2)+(x+4)+(x+6)}{4} = 33
4. Denklemi Sadeleştirme
Parantez içindeki toplayalım:
x + (x+2) + (x+4) + (x+6) = x + x + 2 + x + 4 + x + 6
Bu toplam:
4x + (2 + 4 + 6) = 4x + 12
Denklemi aritmetik ortalama eşitliğine göre yeniden yazalım:
\frac{4x + 12}{4} = 33
5. Denklemi Çözme
Bu eşitlikte payı sadeleştirelim. Sol tarafta:
\frac{4x + 12}{4} = x + 3
Dolayısıyla denklem:
x + 3 = 33
Buradan hemen x değeri elde edilebilir:
x = 33 - 3 = 30
6. Denklemin Anlamı ve Sonuç
x değeri, bizim ilk (en küçük) çift sayımızdır. Bu durumda dört adet ardışık çift sayımız:
- En küçük sayı (x): 30
- İkinci sayı (x+2): 32
- Üçüncü sayı (x+4): 34
- Dördüncü sayı (x+6): 36
Bu dört sayının aritmetik ortalamasının gerçekten 33’e eşit olduğunu doğrulayabiliriz:
\frac{30 + 32 + 34 + 36}{4} = \frac{132}{4} = 33
Dolayısıyla sorunun cevabı, 30 olur. Verilen çoktan seçmeli seçenekler incelendiğinde (A) 32, B) 30, C) 28, D) 26 şeklinde sıralanmıştır ve doğru yanıt B) 30 görünmektedir.
Aritmetik Ortalama ve Ardışık Sayılar Hakkında Detaylı Bilgiler
Aritmetik ortalama, bir veri grubundaki tüm verilerin toplamının veri sayısına bölünmesi ile bulunur. Özellikle ardışık sayılarla çalışırken (ister ardışık tam sayılar, isterse ardışık çift ya da tek sayılar olsun), ortalamanın formül kullanılarak hızla bulunması mümkündür.
Ardışık çift sayılarda ortak fark 2’dir. Genel formül olarak ilk sayının x olduğunu varsayarsak, n adet ardışık çift sayı şu şekilde sıralanabilir:
- x,
- x+2,
- x+4,
- …
- x + 2(n-1)
Her birini topladığınızda veya aritmetik ortalamasını aldığınızda, özellikle eğer x bir çift sayı ise sonuç kolayca hesaplanır. Aritmetik ortalama hesaplarında en kritik nokta, sayıları doğru ifade edebilmektir. Kalıplar hafızada iyi yerleştirildiğinde, benzer soruları çok daha hızlı çözebilirsiniz.
Bu tür sorularda genellikle, ortalama değeri ve sayı adedi verildiğinde, en küçük sayıdan yola çıkarak bir denklem kurulur veya ortalamanın tam ortada olduğu bilgisi kullanılarak mental matematik yöntemiyle de sonuca ulaşılabilir. Ancak test sorularında hata yapmamak için en garanti yöntem, her zaman yazılı denklem çözümüdür.
Örnek Doğrulama Tablosu
Aşağıdaki tabloda çözüm adımlarını ve elde edilen değerleri özet halinde görebilirsiniz:
| Adım / Değişken | Değer |
|---|---|
| Ardışık Çift Sayılar | x, x+2, x+4, x+6 |
| Aritmetik Ortalama (AO) | 33 |
| Toplam Denklemi | (4x + 12)/4 = 33 |
| Sadeleştirme | 4x + 12 = 132 |
| Çözümde Elde Edilen x | 30 |
| Sayılar | 30, 32, 34, 36 |
| Kontrol İşlemi | (30 + 32 + 34 + 36)/4 = 33 |
| En Küçük Sayı | 30 |
Yukarıdaki tablo, hem verilen bilgileri hem de çözüm yolunu bütün adımlarıyla göstermektedir. Bu yaklaşım, sırasıyla her değerin nasıl hesaplandığını ve sonucun nasıl kontrol edildiğini netleştirmektedir.
Sonuç
Bu soruda, ardışık dört çift sayının aritmetik ortalaması 33 olduğu için dört sayının en küçüğü 30 bulunur. Böylece doğru yanıt, çoktan seçmeli seçeneklerden B) 30 olur.