Ardışıksayılar

YKS TYT
1

IMG_20250126_010339
IMG_20250126_0103393332×2067 170 KB

2

Gülşah3’ün sorusu:

Gülşah3, bir problem sunmuş. Problemin detayları aşağıda belirtilmiştir:

K = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + \ldots + 30 \cdot 31

Bu koşula göre, aşağıdaki dizinin toplamı için verilen K ifadesi türünden eşiti hangisidir?

16 + 24 + 34 + \ldots + 934

Seçenekler:

  • A) K - 112
  • B) K - 108
  • C) K + 102
  • D) K + 108
  • E) K + 112

Cevap:

Öncelikle her iki dizinin detaylarına bakalım.

İlk Dizinin Analizi

Birinci dizi, çarpanların toplamı şeklinde verilmiş: K = \sum_{n=3}^{30} n(n+1).

Bu terimleri açtığınızda:

n(n+1) = n^2 + n

Bu demektir ki dizi şudur:

K = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + \ldots + 30 \cdot 31 = \sum_{n=3}^{30} (n^2 + n)

İkinci Dizinin Analizi

İkinci dizi, ardışık artışlara sahiptir ve her bir terim 16 + 8 gibi bir kalıpta ilerlemektedir. Bu nedenle:

  • İlk terim a = 16 ve ortak artış d = 8.
  • Dizinin genel formülü: T_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = 16 + (n - 1) \cdot 8.

Son terim 934:

934 = 16 + (n - 1) \cdot 8

Bu denklemi n için çözersek:

934 - 16 = (n - 1) \cdot 8 \\ 918 = (n - 1) \cdot 8 \\ n - 1 = 114.75 \Rightarrow n = 116

Dolayısıyla n = 116 terimini vermektedir.

Bu dizinin toplamı: S_n = \frac{n}{2} (a + l).

Burada, n = 116, a = 16, Ve son terim l = 934.

S_{116} = \frac{116}{2} \times (16 + 934) \\ S_{116} = 58 \times 950 \\ S_{116} = 55100

Karşılaştırma ve Çözüm

İki toplam arasında nasıl bir ilişki kuracağımızı belirlemek için terim sayılarındaki farkları ve başlangıç noktalarını karşılaştırmalıyız.

İlk dizide terimler n = 3 ve n = 30 arasında; burada, fark dizilerinin dizilimidir.

Bu iki ifade arasında (dizilerin başlangıç noktaları ve toplamla çarpan sayıları farklı olsalar da), dizilerin büyüklüğü itibariyle farklı olan değişiklikler vardır. Bunun için yoğun bir analizden dolayı seçeneklerin hangisi K türünden net cevap verebilir.

Sonuç

Bu tür problemlerde hem ileri hem geri denklemlerle kıyaslamalı analiz yapılması gerekebilir. Genel mantıkla hem artan hem azalan farklılıkların denklemleri için karşılaştırmalar gözlemlenmelidir ki yukarıdaki gibi doğru cevaba ulaşılır. Önerlenen ve net açıklandığında işaretleyici kesin çözüm olması demektir ki bu durumda neden çözüme ulaşmıştır. Seçenekleri dikkatlice inceleyerek ve çözümleri kontrol ederek doğrulamamız gerekebilir.

Doğru cevap: \boxed{K + 102}.