Antalyaadana

Verilen Problemin Çözümü

3 kız ve 5 erkek öğrenci arasından 3 kişilik bir grup seçilecektir. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Soruyu Anlama:

Öncelikle problemi anlamak için bilgilerimizi düzenleyelim:

  • Toplam 3 kız ve 5 erkek var.
  • 3 kişilik gruplar oluşacak.
  • Hangi ifadenin yanlış olduğunu bulmaya çalışacağız.

Olası Seçim Sayısını Hesaplama:

Toplamda kaç farklı grup oluşturulabileceğini hesaplamak için kombinasyon kullanabiliriz.

$$ C(n, r) $$ kombinasyon formülünü kullanarak, burada n toplam kişi sayısı, r ise seçilecek kişi sayısıdır.

Toplamda:

  • Toplam kişi sayısı: (3 + 5 = 8)
  • Seçilecek kişi sayısı: 3

Bu durumda:

C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

Bu, 56 farklı grup oluşturulabileceği anlamına gelir.

Seçimlerin Dağılımı:

Şimdi verilen seçenekleri kontrol edelim.

A) 56 farklı seçim yapılabilir.

  • Bu, doğru bir ifadedir.

B) Grupların 30 tanesinde 2 erkek ve 1 kız öğrenci bulunur.

Hesaplayalım:

  • 2 erkek seçimi: ( C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 )
  • 1 kız seçimi: ( C(3, 1) = 3 )

Bu durumda:

  • Toplam: ( 10 \times 3 = 30 )

Bu, doğru bir ifadedir.

C) Grupların 15 tanesinde 1 erkek ve 2 kız öğrenci bulunur.

  • 1 erkek seçimi: ( C(5, 1) = 5 )
  • 2 kız seçimi: ( C(3, 2) = 3 )

Bu durumda:

  • Toplam: ( 5 \times 3 = 15 )

Bu, doğru bir ifadedir.

D) Grupların 15 tanesinde en az 2 kız öğrenci bulunur.

“En az 2 kız öğrenci bulunur” demek, bu durumda ya 3 kız ya da 2 kız 1 erkek olabilir:

  • 2 kız 1 erkek zaten C seçeneğinde hesaplandı: 15
  • 3 kız seçimi: ( C(3, 3) = 1 )

Bu durumda:

  • Toplam: ( 15 + 1 = 16 )

Bu, yanlış bir ifadedir.

E) Grupların 46 tanesinde en çok 2 erkek öğrenci bulunur.

“En çok 2 erkek” demek, ya 2 erkek (B seçeneğinde hesaplandı) ya da daha az erkek olabilir.

Bize zaten 2 erkek ve 1 kız grubu 30 grup oluşturabileceğimizi gösterdi. 3 erkek hiç olmalı, çünkü en çok 2 erkek var dediğimiz durumu içermeyecek.

Sonuç olarak, tüm gruplardan (56) çıkarırsak sadece 1’den 3 erkek olmadığını görebiliriz, yani 56 - 30 = 26, en çok 2 erkek bulunan durum bu.

Bu, yanlış bir ifadedir çünkü yanlış hesaplandı yukarıdan.

Sonuç:

En doğru ifadeyi bulduk. D seçeneği yanlıştır çünkü hesap yanlış yapılmıştır.

Nihai Cevap:

D) Grupların 15 tanesinde en az 2 kız öğrenci bulunur ifadesi yanlıştır.