Verilen Problemin Çözümü
3 kız ve 5 erkek öğrenci arasından 3 kişilik bir grup seçilecektir. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
Soruyu Anlama:
Öncelikle problemi anlamak için bilgilerimizi düzenleyelim:
- Toplam 3 kız ve 5 erkek var.
- 3 kişilik gruplar oluşacak.
- Hangi ifadenin yanlış olduğunu bulmaya çalışacağız.
Olası Seçim Sayısını Hesaplama:
Toplamda kaç farklı grup oluşturulabileceğini hesaplamak için kombinasyon kullanabiliriz.
$$ C(n, r) $$ kombinasyon formülünü kullanarak, burada n toplam kişi sayısı, r ise seçilecek kişi sayısıdır.
Toplamda:
- Toplam kişi sayısı: (3 + 5 = 8)
- Seçilecek kişi sayısı: 3
Bu durumda:
Bu, 56 farklı grup oluşturulabileceği anlamına gelir.
Seçimlerin Dağılımı:
Şimdi verilen seçenekleri kontrol edelim.
A) 56 farklı seçim yapılabilir.
- Bu, doğru bir ifadedir.
B) Grupların 30 tanesinde 2 erkek ve 1 kız öğrenci bulunur.
Hesaplayalım:
- 2 erkek seçimi: ( C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 )
- 1 kız seçimi: ( C(3, 1) = 3 )
Bu durumda:
- Toplam: ( 10 \times 3 = 30 )
Bu, doğru bir ifadedir.
C) Grupların 15 tanesinde 1 erkek ve 2 kız öğrenci bulunur.
- 1 erkek seçimi: ( C(5, 1) = 5 )
- 2 kız seçimi: ( C(3, 2) = 3 )
Bu durumda:
- Toplam: ( 5 \times 3 = 15 )
Bu, doğru bir ifadedir.
D) Grupların 15 tanesinde en az 2 kız öğrenci bulunur.
“En az 2 kız öğrenci bulunur” demek, bu durumda ya 3 kız ya da 2 kız 1 erkek olabilir:
- 2 kız 1 erkek zaten C seçeneğinde hesaplandı: 15
- 3 kız seçimi: ( C(3, 3) = 1 )
Bu durumda:
- Toplam: ( 15 + 1 = 16 )
Bu, yanlış bir ifadedir.
E) Grupların 46 tanesinde en çok 2 erkek öğrenci bulunur.
“En çok 2 erkek” demek, ya 2 erkek (B seçeneğinde hesaplandı) ya da daha az erkek olabilir.
Bize zaten 2 erkek ve 1 kız grubu 30 grup oluşturabileceğimizi gösterdi. 3 erkek hiç olmalı, çünkü en çok 2 erkek var dediğimiz durumu içermeyecek.
Sonuç olarak, tüm gruplardan (56) çıkarırsak sadece 1’den 3 erkek olmadığını görebiliriz, yani 56 - 30 = 26, en çok 2 erkek bulunan durum bu.
Bu, yanlış bir ifadedir çünkü yanlış hesaplandı yukarıdan.
Sonuç:
En doğru ifadeyi bulduk. D seçeneği yanlıştır çünkü hesap yanlış yapılmıştır.
Nihai Cevap:
D) Grupların 15 tanesinde en az 2 kız öğrenci bulunur ifadesi yanlıştır.