Analitik geometri çözümü

LİSE
1

17348118385816774458175802221573
173481183858167744581758022215734080×3072 520 KB

2

Analitik geometri sorusunu çözme

Temel Kavram

Analitik geometri, noktalar, doğrular, eğriler ve diğer geometrik şekillerin koordinat sistemi kullanılarak incelendiği matematik dalıdır. Bu tür bir problemi çözerken, bölgelere ve doğrulara ait denklemleri kullanarak verilen noktaların hangi alana düşeceğini bulmamız gerekmektedir. Bu problemde, koordinat düzleminde iki noktanın hangi bölgede olduğunu belirlememiz gerekecek.

Temel Cevap

1. Adım: Noktaların Koordinatları

Öncelikle verilen noktaların koordinatlarını belirleyelim:

  • A noktası (a + 2, -2)
  • B noktası (3a, -4)

2. Adım: Analitik Düzlemin Bölgeleri

Koordinat sistemi dört bölgeye ayrılır:

  1. Bölge: x > 0,\ y > 0
  2. Bölge: x < 0,\ y > 0
  3. Bölge: x < 0,\ y < 0
  4. Bölge: x > 0,\ y < 0

Noktaların x ve y koordinatları bu bölgelerle karşılaştırılacak.

3. Adım: Verilen Koşullar

Her iki noktanın da aynı bölgede olması gerekiyor. A’nın koordinatlarına bakalım:

  • A noktasının y koordinatı olan -2 her zaman negatiftir. Bu, A’nın 3. veya 4. bölgede olduğunu gösterir.
  • A’nın x koordinatının (a + 2) pozitif veya negatif olmasına bağlı olarak bölge belirlenecektir.

Benzer şekilde, B noktasının özelliklerini inceleyelim:

  • B noktasının y koordinatı olan -4 her zaman negatiftir, yani 3. veya 4. bölgede olması gerekir.
  • B’nin x koordinatı olan (3a) pozitif veya negatif olabilir.

4. Adım: Noktaların Aynı Bölgede Olması

A ve B’nin x koordinatları için şu koşullara bakmamız gerekir:

  • (a + 2) > 0 ve 3a > 0: Her iki nokta 4. bölgede.
  • (a + 2) < 0 ve 3a < 0: Her iki nokta 3. bölgede.

5. Adım: Tam Sayı a Değerlerini Bulma

  • a + 2 > 0 koşulunu a > -2 şeklinde yazabiliriz.
  • 3a > 0 koşulu ise a > 0 olur.

Bu, a'nın 4. bölgede olması için a > 0 olması gerektiğini gösterir.

  • a + 2 < 0 durumunda a < -2 elde ederiz.
  • 3a < 0 durumunda a < 0 elde ederiz.

Bu durumda a'nın 3. bölgede olması için a < -2 olmalıdır.

Final Cevap

Bu koşullara göre a tam sayı değerleri şunlardır:

    1. Bölge: a > 0, tam sayılar: (1, 2, 3, 4, \ldots)
    1. Bölge: a < -2, tam sayılar: (\ldots, -4, -3)

Sonuç olarak, a'nın alacağı tam sayı değer sayısı sonsuzdur. Ancak soru tam sayıları sınırlı bir aralıkta ise sağlıklı bir sonuç elde edemeyiz. Bu durumda problem koşulları daha açık belirtilmelidir.