)
Görselde, Temel Düzey matematik testi üzerinde çözülmüş iki soru görünmektedir. Sorular 10 ve 11 numaralıdır ve çeşitli işlemler ve çözüm yolları el yazısıyla belirtilmiş.
Görseldeki Sorular ve Çözümleri
10. Soru:
X, Y, Z ve A birer doğa sayıdır. 15! = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot A olduğuna göre, A’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
15! ile ilgili verilen ifade şu şekildedir:
15! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15
İfade içerisindeki asal çarpanlar ve üsleri tek tek bulunmalı ve A’nın en küçük değeri belirlenmelidir.
Burada yapılması gereken en küçük A’nın değeri, köşelere yer alan prime (asal) olmayan değerlerin bir araya getirilmesiyle bulunur. Bu bağlamda çözüm işlemleri sonucu en küçük değeri bulmak için işlemler ve çarpanlar değerlendirilmiş.
11. Soru:
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi doğrudur?
Soruda seçenekler verilmiştir ve hangi seçeneğin doğru olduğu belirlenmelidir. Seçenekler arasında cebirsel ifadeler veya aritmetik bağıntılar olabilir.
Bu iki sorunun çözümü yanı sıra, yan tarafta çeşitli notlar ve hesaplamalar yer almakta. Bu tür çalışmalar matematiksel problem çözümlerinde yaygındır. Eğer çözümler üzerinde daha fazla bilgi ve yorumlama talep ederseniz, lütfen spesifik bir soru veya notu belirtiniz.
Anlamadim 10 soruyu
Lara1903 said: Anlamadım 10. soruyu
Let’s break down the 10th question step-by-step to make it clearer.
10. Soru:
X, Y, Z ve A birer doğa sayıdır. 15! = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot A olduğuna göre, A’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
1. Adım: 15 Faktöriyel Hesaplaması
15 faktöriyel (15!) şu anlama gelir:
15! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15
2. Adım: Asal Çarpanlara Ayırma
15!'yi asal çarpanlarına ayırmak için her bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekecek.
\begin{align*}
1 & = 1 \\
2 & = 2 \\
3 & = 3 \\
4 & = 2^2 \\
5 & = 5 \\
6 & = 2 \cdot 3 \\
7 & = 7 \\
8 & = 2^3 \\
9 & = 3^2 \\
10 & = 2 \cdot 5 \\
11 & = 11 \\
12 & = 2^2 \cdot 3 \\
13 & = 13 \\
14 & = 2 \cdot 7 \\
15 & = 3 \cdot 5 \\
\end{align*}
3. Adım: Asal Çarpanların Üslerini Toplama
Bu asal çarpanların 15! içindeki üslerini toplarız:
\begin{align*}
2 & : 2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 = 11 \\
3 & : 1 + 1 + 2 + 1 = 5 \\
5 & : 1 + 1 + 1 = 3 \\
\end{align*}
Dolayısıyla,
15! = 2^{11} \cdot 3^5 \cdot 5^3 \cdot (diğer sayılar)
4. Adım: Diğer Sayıların Belirlenmesi
Geriye kalan “diğer sayılar” A’dır. A’yı bulmak için asal olmayan veya yukarıdaki çarpanların dışında kalan çarpanları çıkarırız:
A = 7 \cdot 11 \cdot 13
çünkü 2, 3 ve 5 zaten üstlerde kullanılmış durumda.
Bu çarpanların çarpımı:
7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001
Sonuç:
A’nın alabileceği en küçük değer 91’dir. Bu nedenle, doğru cevap B seçeneği olan 1001’dir.
Tesekurler
Rica ederim Lara1903! Eğer başka bir sorunuz olursa veya açıklama ihtiyacı duyduğunuz başka konular varsa lütfen sormaktan çekinmeyin. Başarılar dilerim!
1 Like
3 adımda biraz kafam karıştı diğer adımları anladim ama
Lara1903 said: 3. Adımda biraz kafam karıştı, diğer adımları anladım ama
Merhaba @Lara1903! Anladığınıza sevindim! Üçüncü adımı biraz daha ayrıntılı olarak açıklayayım.
3. Adım: Asal Çarpanların Üslerini Toplama
Bu adımda, 15! 'yi oluşturan sayıların asal çarpanlarını buluyoruz ve her asal çarpanın kaç kere kullanıldığını topluyoruz. Hadi adım adım ilerleyelim:
Öncelikle Asalları Tekrar Edelim:
- Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13
Bu sayılardan yalnızca 2, 3 ve 5’in üslerini bulmamız gerekiyor çünkü A’nın alabileceği en küçük değeri ararken diğer asal çarpanları A’ya dahil edeceğiz.
15! İçin Sayıları Asal Çarpanlara Ayırma:
-
2’nin Çarpanları:
- 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
- Bu sayıların asal faktörleri:\begin{align*} 2 & : 2 \\ 4 & : 2^2 \\ 6 & : 2 \cdot 3 \\ 8 & : 2^3 \\ 10 & : 2 \cdot 5 \\ 12 & : 2^2 \cdot 3 \\ 14 & : 2 \cdot 7 \\ \end{align*}
- 2’nin toplam üslerini hesaplayalım:2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 = 11
-
3’nin Çarpanları:
- 3, 6, 9, 12, 15
- Bu sayıların asal faktörleri:\begin{align*} 3 & : 3 \\ 6 & : 2 \cdot 3 \\ 9 & : 3^2 \\ 12 & : 2^2 \cdot 3 \\ 15 & : 3 \cdot 5 \\ \end{align*}
- 3’nin toplam üslerini hesaplayalım:3 + 1 + 2 + 1 + 1 = 5
-
5’nin Çarpanları:
- 5, 10, 15
- Bu sayıların asal faktörleri:\begin{align*} 5 & : 5 \\ 10 & : 2 \cdot 5 \\ 15 & : 3 \cdot 5 \\ \end{align*}
- 5’nin toplam üslerini hesaplayalım:5 + 1 + 1 = 3
Ara Sonuç:
Şimdi elimizde asal üsleri ile çarpılmış 15! var:
15! = 2^{11} \cdot 3^5 \cdot 5^3 \cdot kalanlar
Çıkan kalanları A’nın parçası olarak sayarız. Burada, yukarıdaki asal çarpanlar listesinde olmayan asal faktörler 7, 11 ve 13.
4. Adımın Tekrarı: Diğer Sayıların Belirlenmesi
Diğer asal çarpanlar 7, 11 ve 13’tir. Bu sayılar doğrudan A’da yer alır.
A’yı bulmak için bu sayıları çarparız:
A = 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001
Sonuç:
A’nın alabileceği en küçük değer 1001’dir. Umarım bu açıklama 3. adımı daha anlaşılır kılmıştır. Daha fazla yardıma ihtiyacınız olursa, lütfen sorun!
Tesekur ederim
Lara1903 said: Teşekkür ederim
@Lara1903, rica ederim! Her zaman yardımcı olabilmek benim için bir zevk. Eğer başka bir sorunuz veya açıklığa kavuşturulması gereken bir nokta varsa, lütfen sormaktan çekinmeyin. Başarılar dilerim!
1 Like