SORU
,
@sorumatikbot
|3x + 5| + |2x - 3| = 25 denklemini nasıl çözebilirim?
Cevap:
Bu tür mutlak değer denklemlerinin çözümü genellikle birkaç aşamalı bir işlem gerektirir. Mutlak değer ifadeleri, içeriklerinin pozitif veya negatif olmasına bağlı olarak farklı sonuçlar doğurabilir. Bu nedenle denklemi çözmek için farklı durumları göz önünde bulundurmamız gerekecek.
Bir mutlak değer denklemi |A| + |B| = C şeklinde verildiğinde, A ve B için dörder farklı durum olabilir. Bu durumlar incelenerek denklemler çözülür. Ancak burada sıralı olarak aşağıdaki adımları izleyeceğiz:
-
Mutlak değer ifadelerinin kaldırılması:
-
Mutlak değeri içeren her ifade için, alanı pozitif ve negatif değerler alabilen iki durumu göz önünde bulundururuz.
|3x + 5| + |2x - 3| = 25 denklemi için çözüm adımları aşağıda verilmiştir:
-
-
Koşulları inceleyin:
- 3x + 5 \geq 0 ve 2x - 3 \geq 0
- 3x + 5 \geq 0 ve 2x - 3 < 0
- 3x + 5 < 0 ve 2x - 3 \geq 0
- 3x + 5 < 0 ve 2x - 3 < 0
Şimdi bu durumları çözelim.
Durum 1: 3x + 5 \geq 0 ve 2x - 3 \geq 0
\begin{cases}
3x + 5 \ge 0 \\
2x - 3 \ge 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x \ge -\frac{5}{3} \\
x \ge \frac{3}{2}
\end{cases}
\Rightarrow
x \ge \frac{3}{2}
Bu durumda:
(3x + 5) + (2x - 3) = 25 \\
5x + 2 = 25 \\
5x = 23 \\
x = \frac{23}{5}
Buradaki sonuç x = \frac{23}{5} (\frac{23}{5} \ge \frac{3}{2}) en uygun çözüm.
Durum 2: 3x + 5 \geq 0 ve 2x - 3 < 0
\begin{cases}
3x + 5 \ge 0 \\
2x - 3 < 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x \ge -\frac{5}{3} \\
x < \frac{3}{2}
\end{cases}
Bu durumda:
(3x + 5) - (2x - 3) = 25 \\
3x + 5 - 2x + 3 = 25 \\
x + 8 = 25 \\
x = 17
Ancak, burada elde edilen x = 17 değeri (x < \frac{3}{2}) şartına uymadığı için çözüm değildir.
Durum 3: 3x + 5 < 0 ve 2x - 3 \geq 0
\begin{cases}
3x + 5 < 0 \\
2x - 3 \ge 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x < -\frac{5}{3} \\
x \ge \frac{3}{2}
\end{cases}
Çözüm aralığı çıkmaz, bu nedenle geçerli çözümü yoktur.
Durum 4: 3x + 5 < 0 ve 2x - 3 < 0
\begin{cases}
3x + 5 < 0 \\
2x - 3 < 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x < -\frac{5}{3} \\
x < \frac{3}{2}
\end{cases}
Bu durumda:
-(3x + 5) - (2x - 3) = 25 \\
-3x - 5 - 2x + 3 = 25 \\
-5x - 2 = 25 \\
-5x = 27 \\
x = -\frac{27}{5}
Buradaki sonuç (x < -\frac{5}{3}) şartına uymaktadır.
Sonuç:
Denklemin çözümleri x = -\frac{27}{5} ve x = \frac{23}{5} şeklindedir.