10- 12’ye ve 20’ye bölündüğünde 4 kalanı veren en küçük doğal sayıyı bulunuz

YKS TYT
1

10- 12’ye ve 20’ye bölündüğünde 4 kalanı veren en küçük doğal sayıyı bulunuz.

2

10- 12’ye ve 20’ye bölündüğünde 4 kalanı veren en küçük doğal sayıyı bulunuz.

Cevap:

Bu problemi çözmek için sayının belirtilen tüm sayılara bölündüğünde aynı kalanı vermesini sağlayacak genel bir yöntem izleyebiliriz.

Çözüm Adımları:

  1. Kalıpları Oluşturma:

    • Verilen sayının 10’a, 12’ye ve 20’ye bölündüğünde 4 kalanı vermesi gerekiyor. Bu nedenle bu sayıyı x olarak belirtirsek:
      • x \equiv 4 \pmod{10}
      • x \equiv 4 \pmod{12}
      • x \equiv 4 \pmod{20}

  2. Kapsayıcı Modülde Düşünme:

    • Üç denklemi aynı anda sağlayan sayı, en küçük ortak kat ve ortak kalan kullanılarak hesaplanır.
    • 10, 12 ve 20 sayılarına bakıldığında bu sayıların ortak bir kapsayıcı modülü, en küçük ortak katı (EKOK) olur.

  3. En Küçük Ortak Katı Bulma:

    • 10, 12, ve 20 sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:
      • 10 = 2 \times 5
      • 12 = 2^2 \times 3
      • 20 = 2^2 \times 5
    • EKOK, en büyük üslerle alınan çarpanların çarpımıdır:
      \text{EKOK} = 2^2 \times 3 \times 5 = 60

  4. Genel Çözümü Bulma:

    • Dolayısıyla x sayısı, 60 ile tam bölünebilen bir sayı olmalı ve 4 kalanı vermeli.
    • Denklem: x = 60k + 4, k bir tam sayıdır.

  5. En Küçük $x$’i Bulma:

    • k için sıfır değerini alırsak:
      x = 60 \times 0 + 4 = 4

Ancak 4 sayısı ne 10’a, ne 12’ye, ne de 20’ye bölünmez halde olduğundan, doğru k değeri değildir. Biz $k$’yı 1 olarak alalım:

- $k=1$:
  $$ 
  x = 60 \times 1 + 4 = 64 
  $$

64 sayısı 10’a, 12’ye ve 20’ye bölündüğünde 4 kalanı vermektedir. Dolayısıyla, aranılan sayı $\boxed{64}$’tür.