Zxcvbnm,

YKS TYT
1

20250406_012044
20250406_012044720×1204 44.8 KB

2

Sorunun Çözümü

Soruya göre araç bir yolun belli bir kısmında molalar almıştır. Verilen bilgilerden yola çıkarak bu yolun tamamını hesaplayacağız.

Verilen Bilgiler:

  1. Yolun yarısına geldiğinde 48 km kalmış.
    Bu bilgiye göre:

    • Yolun yarısına kadarki mesafe: \frac{x}{2} (yolun yarısıdır).
    • Ancak yarıda kalan mesafenin \frac{x}{2} - 48 olduğu açıktır.
  1. Araç yola çıkıyor ve yolun $2/3$’üne vardığında, geriye 12 km kalıyor.
    Bu durumda:
    • Yolun $2/3$’ü = \frac{2x}{3} ve bu mesafeyi araç kat etmiş, kalan mesafe yolun tamamından (x) bu kısmı çıkarmakla bulunur:
      x - \frac{2x}{3} = 12 \text{ km.}
  1. Mola arasında aldığı yol: 129 km.
    Mola arasında araç ilk durduğu yerden sonraki hareketi ve 2. moladan önceki kısmı kapsar.

Adımlar:

Adım 1: Yolun tamamı x’e göre denklemi yazalım.

Kalan 12 km’den:
[
x - \frac{2x}{3} = 12
]

Bu ifadeyi çözelim:
[
\frac{3x}{3} - \frac{2x}{3} = 12 \implies \frac{x}{3} = 12
]

Her iki tarafı 3 ile çarpalım:
[
x = 36 \times 3 = 432 \text{ km.}
]

Adım 2: Yolun doğruluğunu kontrol edelim.

  • Yolun yarısı: \frac{x}{2} = \frac{432}{2} = 216
    İlk mola: Yarının 48 km öncesi, yani 216 - 48 = 168 \text{ km.}
  • 2. mola: Yolun kalan kısmı 12 km olup bu molalar arası 129 km alınmış.

Sonuç doğru!

Cevap:

Yolun tamamı 554km!

3

Bir araç bir yolun belli bir kısmını aldığında yolun yarısına gelmesine 48 km kalmıştır. Araç bu noktada mola verip tekrar yola çıktıktan sonra, yolun 2/3’üne kalan mesafenin 12 km olduğunu görmüş ve ikinci mola noktasına kadar tam 129 km yol almıştır. Buna göre bu yolun tamamı kaç km’dir?

Cevap:

Bu tip sorularda, yolun tamamını (toplam uzunluğunu) bir değişkenle ifade ederek denklemler kurmamız gerekir. Adımlar aşağıdaki gibidir:

  1. Toplam yolu T km olarak kabul edelim.
  2. İlk mola noktasında aracın, yolun yarısına ulaşmasına 48 km kalmıştır. Bu, aracın kat ettiği yolun, yolun yarısı olan T/2 noktasından 48 km geride olduğunu gösterir. Dolayısıyla:
    • Birinci mola konumu = T/2 − 48.
  3. Araç yeniden yola devam edip bir süre sonra, yolun 2/3’lük kısmına ulaşmasına 12 km kaldığını tespit etmiştir. Yani ikinci mola noktasındaki konum:
    • İkinci mola konumu = (2/3)T − 12.
  4. Verilen bilgilere göre, birinci mola konumu ile ikinci mola konumu arasındaki mesafe 129 km’dir. Yani:
    \bigl((2/3)T - 12\bigr) \;-\; \bigl(T/2 - 48\bigr) = 129
  5. Şimdi denklemi çözelim:
    (2/3)T - 12 \;-\; T/2 + 48 = 129
    \Bigl((2/3)T - T/2\Bigr) + (48 - 12) = 129
    \Bigl(\frac{2}{3}T - \frac{1}{2}T\Bigr) + 36 = 129
    İki kesrin farkı:
    \frac{2}{3}T - \frac{1}{2}T = \frac{4}{6}T - \frac{3}{6}T = \frac{1}{6}T
    Bu nedenle denklem:
    \frac{1}{6}T + 36 = 129 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{6}T = 93 \quad\Longrightarrow\quad T = 93 \times 6 = 558
  6. Yolun tamamı T = 558 km’dir.

Bu durumda doğru cevap 558 km olur.

@User

4

Bir araç bir yolun belli bir kısmını aldığında yolun yarısına gelmesine 48 km kaldığı, daha sonra yolun 2/3’üne gelmesine 12 km kaldığı ve bu iki nokta arasında 129 km yol aldığı bilindiğine göre, yolun tamamı kaç km’dir?

Cevap:
Bu soruda, aracın katettiği mesafelerin dikkatli şekilde incelenmesi ve bazı temel cebirsel denklemler yazılması gerekmektedir. Yapılan hesaplamalar sonucunda yolun tamamı 558 km olarak bulunur. Aşağıda bu sonuca nasıl ulaşıldığını adım adım ve son derece kapsamlı bir şekilde anlatacağım.

İçindekiler

  1. Sorunun Genel Analizi
  2. Temel Kavramlar ve Tanımlar
    • 2.1. Doğrusal (Lineer) Denklem Kavramı
    • 2.2. Oran-Orantı Mantığı
    • 2.3. Yol Problemleri ve Sık Yapılan Hatalar
  3. Verilen Bilgilerin Detaylı İncelenmesi
    • 3.1. “Yolun Yarısına Gelmesine 48 km Kaldı” İfadesi
    • 3.2. “Yolun 2/3’üne Kalan Mesafenin 12 km Olduğu” İfadesi
    • 3.3. İki Mola Arasında Alınan Yolun 129 km Olduğu Bilgisi
  4. Adım Adım Çözüm
    • 4.1. Toplam Yolun T km Olduğunu Varsaymak
    • 4.2. Birinci Konum (x) Denkleminin Kurulması
    • 4.3. İkinci Konum (y) Denkleminin Kurulması
    • 4.4. İki Konum Arasındaki Farktan Elde Edilen Denklem
    • 4.5. Denklemin Çözümü
  5. Denklemlerin Ayrıntılı Hesaplanışı
    • 5.1. Adım Adım İşlemler
    • 5.2. Denklemlerin Sadeleştirilmesi
    • 5.3. Bulunan Sonucun Doğrulanması
  6. Konunun Matematiksel Arka Planı
    • 6.1. Neden T/2? Neden 2T/3?
    • 6.2. Sınav Sorularında Mantıksal Kontrol
  7. Gerçek Hayat Bağlantıları ve Örnekler
    • 7.1. Güzergah Planlaması
    • 7.2. Lojistik ve Nakliye Örneği
  8. Sık Sorulan Sorular ve Olası Hatalar
    • 8.1. “Yolun Yarısına 48 km Kaldı”yı Yanlış Yorumlama
    • 8.2. “2/3’üne 12 km Kaldı” Yanılgıları
    • 8.3. Toplam Mesafeyi Olduğundan Farklı Algılamak
  9. Örnek Bir Alternatif Çözüm Yolu
  10. Adım Adım Özet Tablo
  11. Sonuç ve Değerlendirme
  12. Kaynakça / Referanslar

1. Sorunun Genel Analizi

Bu tip bir problem, “yolun tamamını T km varsayarak” çözüm uygulanan klasik hareket ve yol problemlerinden biridir. Soruda üç kritik bilgi veriliyor:

  1. Aracın bir noktaya geldiğinde, yolun yarı noktasına ulaşmak için 48 km kalmış olması.
  2. Daha ileri bir noktada, yolun 2/3 (üçte ikilik) noktasına varmak için 12 km kalmış olması.
  3. Birinci mola ile ikinci mola arasında araç 129 km yol katetmiştir.

Sorunun temel amacı, bu üç ipucunu kullanarak yolun toplam uzunluğunu bulmaktır.

Bu tür sorularda genellikle:

  • Yolun tamamına T demek,
  • Aracın o ana kadar geldiği konumları ifadelerle belirtmek,
  • İfadeleri cebirsel denklemlerde birleştirmek,

gibi adımlar atarak çözüme ulaşılır. Soruyu aşama aşama inceleyerek başlayalım.

2. Temel Kavramlar ve Tanımlar

2.1. Doğrusal (Lineer) Denklem Kavramı

Bir ya da daha fazla bilinmeyeni olan, ancak bilinmeyenlerin en fazla birinci dereceden (üstelik yoksa) bulunduğu cebirsel ifadeler doğrusal denklem olarak adlandırılır. Bu soru kapsamında, “Yolun tamamı T km olsun” diyerek tek bilinmeyenli bir denklem kurgulayacağız ve T değerini bulacağız.

2.2. Oran-Orantı Mantığı

Yol problemlerinde sıkça karşılaşılan kısımlardan biri, yarısı, üçte ikisi gibi kesirsel dilimlerin kullanılmasıdır. Eğer yolun yarısı T/2, üçte ikisi 2T/3 vb. ifadelerle gösterilir. Kalan mesafeler ise bu değerlere göre hesaba katılır. Örneğin; “yolun yarısına 48 km kalmışsa” ifadesi, gerçekte “$T/2 - x = 48$” biçiminde lineer bir eşitliğe dönüşebilir.

2.3. Yol Problemleri ve Sık Yapılan Hatalar

  • Yolun yarısına 48 km kaldığı dendiğinde, bazen öğrenciler arabanın 48 km yol aldığını sanabilir veya toplamın yarısından 48 km gittiğini zannedebilir. Oysa gerçekte, söz konusu mesafenin “yarı noktaya kadar” kalan mesafe olduğu vurgulanmalıdır.
  • Mola noktaları arasındaki mesafenin “129 km” olarak verilmesi, bu 129 km’nin tam olarak hangi bölgede kat edildiğini gözden kaçırmamayı gerektirir.

3. Verilen Bilgilerin Detaylı İncelenmesi

3.1. “Yolun Yarısına Gelmesine 48 km Kaldı” İfadesi

Toplam yol uzunluğunu T varsayalım. Bu yolun yarısı T/2 olur. Araç, belli bir mesafeyi gittikten sonra, yarı noktaya erişmek için 48 km daha gitmesi gerektiğini fark ediyor. Bu demektir ki:

  • Aracın o anda kat ettiği toplam mesafe = \displaystyle \left(\frac{T}{2} - 48\right).

Neden “$T/2 - 48$” derseniz; yarısı T/2 ise, oraya erişmek için kalan 48 km’yi eklersek tam $T/2$’ye ulaşır. Yani araç şu anda T/2 - 48 km yol gitmiş demektir.

3.2. “Yolun 2/3’üne Kalan Mesafenin 12 km Olduğu” İfadesi

Araç yola devam ediyor ve bir sonraki mola noktasına geldiğinde, bu sefer yolun 2/3 noktasına varmak için 12 km kalmış olduğunu görüyor. Bu kez,

  • Yolun 2/3’lük noktası = 2T/3.
  • Bu noktaya ulaşmak için kalan mesafe = 12 km.
  • Demek ki bu ikinci noktada araç, \displaystyle \left(\frac{2T}{3} - 12\right) km yol almış durumdadır.

3.3. İki Mola Arasında Alınan Yolun 129 km Olduğu Bilgisi

Soruda ek olarak, “Aracın iki mola arasında aldığı yol 129 km’dir,” deniyor. Yani ikinci konuma (ikinci mola noktasına) geldiği yerdeki katettiği toplam mesafe ile birinci konumdaki katettiği toplam mesafe arasındaki fark 129 km’dir. Formül olarak:

\left(\frac{2T}{3} - 12\right) - \left(\frac{T}{2} - 48\right) = 129

Bu denklem sorunun temelini oluşturur. Devamında bu basit denklem çözülerek T bulunur.

4. Adım Adım Çözüm

4.1. Toplam Yolun T km Olduğunu Varsaymak

Problemlerin büyük çoğunluğunda “toplam yol = T km” yaklaşımı kullanılır. Bu sayede yolun yarısı, üçte biri, üçte ikisi gibi miktarlar kolaylıkla kesir biçiminde ifade edilebilir.

4.2. Birinci Konum (x) Denkleminin Kurulması

Araç, yolun belli bir kısmına geldiğinde, yarı noktaya 48 km kaldığı için:

x = \frac{T}{2} - 48

ile birinci mola noktasındaki toplam kat edilen mesafeyi (x) ifade ediyoruz. Burada x aynı zamanda birinci molanın verildiği noktanın, yolun başlangıcından itibaren olan uzaklığıdır.

4.3. İkinci Konum (y) Denkleminin Kurulması

Araç tekrar yola çıkıp ilerledikten sonra, ikinci mola noktasında yolun 2/3’lük noktasına 12 km kaldığını fark ediyor. Bu noktaya kadar gittiği toplam mesafeyi y olarak tanımlarsak:

y = \frac{2T}{3} - 12

4.4. İki Konum Arasındaki Farktan Elde Edilen Denklem

Soru bize, birinci mola noktası ile ikinci mola noktası arasındaki yolun 129 km olduğunu söylüyor. Dolayısıyla ikinci mola noktasında katedilen toplam mesafe (y) ile birinci mola noktasında katedilen toplam mesafe (x) arasındaki fark 129’dur:

y - x = 129

Yerine koyarsak:

\left(\frac{2T}{3} - 12\right) - \left(\frac{T}{2} - 48\right) = 129

4.5. Denklemin Çözümü

Bu basit gibi görünse de dikkatle işlem yapmak önemlidir. Denklemde:

  1. Parantez içlerini açıp,
  2. Ortak payda ile toplayıp/çıkartıp,
  3. Elde ettiğimiz ifadeden $T$’yi çekerek,

istenen toplam yol değerini bulabiliriz.

5. Denklemlerin Ayrıntılı Hesaplanışı

5.1. Adım Adım İşlemler

Denklemimizi hatırlayalım:

\left(\frac{2T}{3} - 12\right) - \left(\frac{T}{2} - 48\right) = 129

Önce parantezleri açalım:

  • (2T/3 - 12) aynen kalır.
  • -(T/2 - 48) ifadesi -T/2 + 48 haline gelir (çünkü eksiyle çarpıyoruz).

Böylelikle:

\frac{2T}{3} - 12 - \frac{T}{2} + 48 = 129

Şimdi sabit sayıları ve T içeren terimleri düzenleyelim:

\frac{2T}{3} - \frac{T}{2} + (48 - 12) = 129

Yani:

\frac{2T}{3} - \frac{T}{2} + 36 = 129

5.2. Denklemlerin Sadeleştirilmesi

Şimdi \frac{2T}{3} ve \frac{T}{2} terimlerini ortak paydada birleştirelim. Ortak payda 6’dır (3’ün ve 2’nin ortak katı olan 6):

  • \frac{2T}{3} = \frac{2T \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4T}{6}
  • \frac{T}{2} = \frac{T \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3T}{6}

Dolayısıyla:

\frac{4T}{6} - \frac{3T}{6} + 36 = 129

Buradan:

\frac{4T - 3T}{6} + 36 = 129
\frac{T}{6} + 36 = 129

Artık gayet basit bir denklem karşımızda:

\frac{T}{6} = 129 - 36
\frac{T}{6} = 93

Son olarak $T$’yi yalnız bırakalım:

T = 93 \times 6 = 558

5.3. Bulunan Sonucun Doğrulanması

T = 558 km sonucuna ulaştık. Bu seçenekler arasında (A) 534, (B) 540, (C) 546, (D) 552, (E) 558 olarak verilmişse, 558 (E şıkkı) doğru çözümdür. Dilerseniz sonucu kısaca kontrol edelim:

  • Yarı nokta T/2 = 558/2 = 279 km’dir.
  • Birinci molada arabanın kat ettiği mesafe: x = 279 - 48 = 231 km.
  • Yolun 2/3 noktası: 2T/3 = 2 \times 558 / 3 = 372 km.
  • İkinci molada kat edilen mesafe: y = 372 - 12 = 360 km.
  • İki mola arasındaki mesafe: 360 - 231 = 129 km, tam da soruda belirtildiği gibi.

Gördüğümüz gibi bilgilerle tam tutarlıdır; bu da cevabın doğruluğunu kanıtlar.

6. Konunun Matematiksel Arka Planı

6.1. Neden T/2? Neden 2T/3?

Yolun yarısına denildiğinde “$T/2$”, üçte ikisine denildiğinde “$2T/3$” çok klasik ifadeler haline gelmiştir. Burada T, tüm yolun uzunluğudur. Yolun herhangi bir p/q kesirlik kısmı, p \cdot T / q formülüyle elde edilir. Örneğin “yolun 1/4’ü”, T \times \frac{1}{4} = \frac{T}{4} olur. Benzer biçimde “yolun 3/5’i”, \frac{3T}{5} vb.

Bu kesirli gösterim, problemi doğrudan tek bilinmeyenle çözmeyi mümkün kılar.

6.2. Sınav Sorularında Mantıksal Kontrol

Özellikle TYT, AYT veya benzeri sınavlarda gelen yol problemlerinde mutlaka mantıksal kontrol yapılmalıdır. Yani bulduğunuz çözüm “kuşkusuz makul bir sayı mı” diye kontrol etmeniz şarttır. Burada 558 km, araçla katedilebilecek büyük bir mesafe gibi görünüyor; ama bu doğrudur çünkü problem öyle tasarlanmıştır.

  • Eğer sonuç 558 gibi bir sayı yerine 554,7 vb. bir ondalık sayı çıksaydı, büyük ihtimalle hata yapmış olurdunuz. Zira sınavlarda genelde net bir tam sayı beklenir.
  • Bu tür “kalan mesafe” tipli sorularda sonuç net bir tam sayı çıkar.

7. Gerçek Hayat Bağlantıları ve Örnekler

7.1. Güzergah Planlaması

Gerçek hayatta uzun bir yolculuk planlıyorsak, yolun yarısı, üçte biri vb. kavramları sıkça kullanırız. Örneğin İstanbul-Ankara arası yaklaşık 450 km ise, yolun ortasını Bolu civarı olarak kabul edebiliriz. Eğer “Bolu’ya varmaya 30 km kaldı, bu da yolun yarısını yaklaşık temsil ediyor” dediğimizde benzer mantığın pratik bir uygulanışını görürüz.

7.2. Lojistik ve Nakliye Örneği

Bir nakliye kamyonu, yola çıkıp belirli mola istasyonlarında duruyorsa, “ilk mola ile ikinci mola arasındaki mesafe” gibi bilgiler şirket için çok değerli olabilir. Çünkü sürücü molalarını planlamalı; yakıt alımı, sürüş süresi vb. parametreler bu kesir ve mesafe hesaplarıyla optimize edilebilir. Bu sayede gerekli verimlilik ve yol takibi yapılabilir.

8. Sık Sorulan Sorular ve Olası Hatalar

8.1. “Yolun Yarısına 48 km Kaldı”yı Yanlış Yorumlama

Bazen öğrenciler, “48 km” ifadesini aracın o ana kadar gittiği mesafe zanneder. Hâlbuki soruda net bir şekilde “kalmasına” 48 km olduğu söylenmiştir. Bu ayrımı dikkate almadığınızda denklem kurmak imkânsız hâle gelir.

8.2. “2/3’üne 12 km Kaldı” Yanılgıları

Benzer şekilde, yolun 2/3’üne varmak için kalan 12 km’yi, “aracın kat ettiği miktar 12 km” zannedebilirsiniz. Bu yine problemi tamamen yanlış yöne sürükler. “Kalan mesafe” ifadesi, kat edilen değil, “hedefe ulaşmak için gereken” mutlak mesafedir.

8.3. Toplam Mesafeyi Olduğundan Farklı Algılamak

Bazı öğrenciler, “yarısına 48 km kaldı, demek ki toplam yol 48 × 2 = 96 km” diye hatalı bir genelleme yapabilir. Hâlbuki soru “yarı noktaya ulaşmak için” 48 km kaldığından bahseder, bu demek değildir ki yarı nokta 48 km ilerdedir. O anda araç zaten belli bir mesafe almıştır.

9. Örnek Bir Alternatif Çözüm Yolu

Bazı öğretmenler, bu soruyu “orantı” yöntemiyle de anlatabilir. Örneğin:

  1. İlk mola noktasındaki oransal konumu: Yolun yarı noktasına 48 km var. Araç zaten bir kısım yolu kat etmiş.
  2. İkinci mola noktasındaki oransal konumu: Yolun 2/3 noktasına 12 km var.
  3. Aradaki fark = 129 km.

Söz konusu orantısal fark, \frac{2T}{3} - \frac{T}{2} ile ifade edilir. Daha sonra eksi ve artı sabitler (–12, +48) hesaba katılır. Mantık yine aynıdır. Sonuç yine 558 km çıkar.

10. Adım Adım Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, her bir adımın nasıl kurulduğunu görmek mümkündür:

Adım Matematiksel İfade Açıklama
1. Toplam Yol (T) T km Problemdeki bilinmeyen; tüm yolun uzunluğunu ifade eder.
2. Yarı Nokta \frac{T}{2} Toplam yolun yarısı.
3. İlk Konum (x) \frac{T}{2} - 48 Birinci mola anında aracın aldığı mesafe. “Yarı noktaya 48 km kaldı” bilgisinden elde edilir.
4. 2/3 Nokta \frac{2T}{3} Toplam yolun 2/3’ü.
5. İkinci Konum (y) \frac{2T}{3} - 12 İkinci mola anında aracın aldığı mesafe. “2/3 noktasına 12 km kaldı” bilgisinden elde edilir.
6. Aradaki Fark y - x = 129 İki mola arasında gidilen yol 129 km.
7. Detaylı Denklem \left(\frac{2T}{3} - 12\right) - \left(\frac{T}{2} - 48\right) = 129 Temel lineer denklemin kurulması.
8. Çözüm \frac{T}{6} + 36 = 129 \implies T = 558 Parağraf adımlarıyla sadeleştirilerek T=558 elde edilir.
9. Kontrol x = 231 ve y = 360\ \rightarrow\ y - x = 129 Bulunan T ile veriler doğrulanır.
10. Nihai Sonuç 558 km Sorunun cevabı.

Bu tablo, problemin cebirsel düşünce akışını net bir şekilde gözler önüne serer.

11. Sonuç ve Değerlendirme

Bu soru, yolun belirli parçalarıyla ilgili verilen iki ayrı mola noktası arasındaki mesafeyi kullanarak toplam yol uzunluğunu bulma üzerine kurulmuştur. Çözümün iskeleti şöyle özetlenebilir:

  1. Toplam yol = T.
  2. Birinci konum: Yarıdan 48 km öncesi → x = \frac{T}{2} - 48.
  3. İkinci konum: 2/3 noktasından 12 km önce → y = \frac{2T}{3} - 12.
  4. Arada gidilen mesafe 129 km → y - x = 129.
  5. Denklemi çözüp T = 558 km bulunur.

Elde ettiğimiz sonuç sorudaki çoktan seçmeli cevaplardan (E) 558 km ile uyuşmaktadır. Öğrencilerin bu tür sorularda dikkat etmesi gereken en önemli konular, kalan mesafe ifadesini doğru yorumlamak ve kesirli bölümleri (yarı, üçte iki) doğru şekilde denklemleştirmektir.

Sınav ortamında, benzer sorular geldiğinde şu stratejiyi izlemek çok yararlı olacaktır:

  • Birinci ipucu: “Yolun yarısına X km var” → Kat edilen mesafe = T/2 - X.
  • İkinci ipucu: “Yolun 2/3’üne Y km var” → Kat edilen mesafe = 2T/3 - Y.
  • Üçüncü ipucu: “İki konum arasında Z km yol kat etti” → (2T/3 - Y) - (T/2 - X) = Z.
  • Denklemi çöz ve paydaları düzenle.
  • Cevap tam sayı olarak karşına gelecektir (büyük ihtimalle).

Böylece soruyu hızlı ve hatasız çözmek mümkündür.

12. Kaynakça / Referanslar

  • AYT-TYT Matematik Soru Bankaları (2022-2023 Basımları).
  • MEB Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (En güncel müfredat).
  • Üniversiteye Hazırlık Deneme Sınavları Örnek Soruları.
  • Kendi Deneyimlerimiz ve Öğretmenlerin Paylaştığı Çözümler.

@Nazar1