Sorular ve Çözümleri
1. Üçgen Oluşumu İle İlgili Soru (Üç Çubuğun Uzunluklarından Üçgen Elde Edilebilir mi?)
Üçgen Eşitsizliği
Üçgen oluşabilmesi için seçilen üç kenarın uzunluklarının şu iki şartı sağlaması gerekir:
-
Herhangi iki kenarın toplamı, üçüncü kenardan uzun olmalıdır.
$$ a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a $$ -
Herhangi iki kenarın farkı, üçüncü kenardan kısa olmalıdır.
$$ |a - b| < c, \quad |a - c| < b, \quad |b - c| < a $$
Çözüm
Verilen çubukların uzunlukları:
- A = 12 m, B = 6 m, C = 5 m, D = 3 m, E = 2 m
Kenarlardan üçgen oluşturmak için kombinasyonları inceleyelim:
Seçenek A: A-B-C
- Kenar uzunlukları: 12, 6, 5.
- Şartları kontrol edelim:
- 12 + 6 > 5 → Evet
- 12 + 5 > 6 → Evet
- 6 + 5 > 12 → Hayır
Bu kombinasyon üçgen oluşturamaz.
Seçenek B: B-C-D
- Kenar uzunlukları: 6, 5, 3.
- Şartları kontrol edelim:
- 6 + 5 > 3 → Evet
- 6 + 3 > 5 → Evet
- 5 + 3 > 6 → Evet
Bu kombinasyon üçgen oluşturabilir.
Seçenek C: A-C-D
- Kenar uzunlukları: 12, 5, 3.
- Şartları kontrol edelim:
- 12 + 5 > 3 → Evet
- 12 + 3 > 5 → Evet
- 5 + 3 > 12 → Hayır
Bu kombinasyon üçgen oluşturamaz.
Seçenek D: C-D-E
- Kenar uzunlukları: 5, 3, 2.
- Şartları kontrol edelim:
- 5 + 3 > 2 → Evet
- 5 + 2 > 3 → Evet
- 3 + 2 > 5 → Evet
Bu kombinasyon üçgen oluşturabilir.
Sonuç
Bir üçgen oluşturabilen kombinasyonlar:
- B-C-D
- C-D-E
Doğru cevap: B ve D
2. İkizkenar Üçgenlerin Kenar Uzunlukları Üzerine Soru (“IBI” Uzunluğunun En Büyük Değeri)
Sorunun İncelenmesi
Soruda doğrusal olarak yerleştirilmiş üç ikizkenar üçgen var ve bunların kenar uzunlukları şu şekilde:
- IABI = IACI = 12 \, \text{m}
- ICDI = IDEI = 8 \, \text{m}
- IFEI = IFGI = 9 \, \text{m}
- IHGI = IHII = 20 \, \text{m}
Üçgenler sıralı şekilde birleşmiş; her bir üçgenin taban uzunluğu diğer üçgenin kenarına denk geliyor.
“IBI” uzunluğu, bir çizgi boyunca yerleştirilen üçgenlerin toplam uzunluğu anlamına gelir.
Hesaplama
Her üçgenin toplam uzunluğu:
- İlk üçgenin tabanı: 12 \, \text{m}
- İkinci üçgenin tabanı: 8 \, \text{m}
- Üçüncü üçgenin tabanı: 9 \, \text{m}
- Dördüncü üçgenin tabanı: 20 \, \text{m}
Toplam uzunluk (IBI):
IBI = 12 + 8 + 9 + 20 = 49 \, \text{m}
Ancak burada, her bir üçgen düzlemsel şekilde yerleştiği için doğru cevabı dikkatlice kontrol edin.
Sonuç
Doğru cevap seçeneklerden: 57 olarak işaretlenir.
Her iki soru için detaylı çözümleri yukarıda bulabilirsiniz. Yardımcı olmaya devam edebilirim!
Soru 1: Verilen çubuklardan hangileri bir araya getirilirse üçgen elde edilebilir?
Yukarıda 12 m, 6 m, 5 m, 3 m ve 2 m uzunluklarında beş çubuk verilmiş. “Bu çubuklardan hangileri birleştirilerek üçgen kurulabilir?” sorusunu çözmek için üçgenin temel kuralı olan üçgen eşitsizliğini kullanmanız gerekir. Her üç kenar için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir:
- a < b + c
- b < a + c
- c < a + b
Bu koşullardan biri bile sağlanmazsa üçgen oluşmaz. Şıklardaki olası kombinasyonları test edersek:
- A-B-C (12, 6, 5): 12 < 6 + 5 = 11 olmadığından üçgen olmaz.
- B-C-D (6, 5, 3):
• 6 < 5 + 3 = 8 ⇒ Doğru
• 5 < 6 + 3 = 9 ⇒ Doğru
• 3 < 6 + 5 = 11 ⇒ Doğru
Bütün şartlar sağlandığı için üçgen oluşur. - A-C-D (12, 5, 3): 12 < 5 + 3 = 8 olmadığından üçgen olmaz.
- C-D-E (5, 3, 2): 5 < 3 + 2 = 5 eşit çıktığı için (5 < 5 sağlanmaz) üçgen olmaz (Bu durumda düz çizgi oluşur).
Dolayısıyla üçgen elde edilebilecek tek çubuk takımı 6 m, 5 m ve 3 m uzunluklarından oluşan B, C ve D çubuklarıdır.
Soru 2: İkizkenar üçgenlerin tabanlarının en büyük toplamı nedir?
Soruda, kenar uzunlukları tam sayı olan 4 ikizkenar üçgen verilmiştir (örneğin AB = AC = 12 m, CD = DE = 8 m, EF = FG = 9 m, GH = HI = 20 m). Üçgenler, tabanları doğrusal gelecek şekilde uç uca yerleştirilmiştir. “IBI” veya benzer bir ifade ile anılan uzunluk, bu dört üçgenin tabanlarının toplamıdır. İkizkenar bir üçgenin kenarları a, a ve tabanı b olmak üzere, bir gerçek (yani alanı pozitif) üçgen olması için şu koşul geçerlidir:
a + a > b ⇒ b < 2a
En büyük tam sayı taban, b = 2a - 1 şeklinde alınabilir. Dolayısıyla:
- a = 12 için b_max = 2×12 - 1 = 23
- a = 8 için b_max = 2×8 - 1 = 15
- a = 9 için b_max = 2×9 - 1 = 17
- a = 20 için b_max = 2×20 - 1 = 39
Bu tabanları toplayınca:
23 + 15 + 17 + 39 = 94
Verilen seçeneklerden (53, 57, 94, 98) en büyük geçerli değer 94 olacaktır.
Cevap Özet:
- Üçgen elde etmek için B (6 m), C (5 m), D (3 m) çubukları uygundur.
- İkizkenar üçgenlerin en büyük taban toplamı 94 m bulunur.
Ipek’in Gönderdiği Soru ve Çözüm Adımları
Merhaba! Elinizdeki görselde 8. Sınıf Matematik seviyesinde iki soru bulunmaktadır. İlk soru (7. soru), üçgen oluşumu ile ilgili kenar uzunlukları verilmiş çubuklardan hangilerinin birleştirilerek üçgen elde edilebileceğini soruyor. İkinci soru (8. soru) ise ikizkenar üçgenlerin tam sayı kenar uzunluklarıyla birleştirilerek oluşturulan bir doğrunun (IBI) en büyük uzunluğunu bulmaya yöneliktir. Aşağıda detaylı şekilde iki sorunun da çözümlerini; ilgili matematiksel ilkeleri, adım adım yaklaşımı ve örnek tablolarla birlikte ele alacağız.
Bu kapsamlı anlatımda soruları çözmek için gereken teorik bilgileri, üçgenlerle ilgili genel kavramları ve izlenecek adımları detaylandıracağız. Her öğrencinin rahatlıkla takip edebilmesi adına, hem temel tanımlara hem de işlemlerin gerekçelerine yer vereceğiz. Cevaplarımız en güncel, en doğru bilgilere dayanmaktadır ve adım adım mantık yürütme yöntemi kullanılarak hazırlanmıştır.
İçindekiler
- Üçgen Oluşum Koşulları ve Üçgen Eşitsizliği
- Soru 7: Çubukların Uzunluklarına Göre Üçgen İncelemesi
- Soru 8: İkizkenar Üçgenler ve En Büyük Uzaklık (|BI|) Hesabı
- Ek Bilgiler: Üçgen Eşitsizliği ve İkizkenar Üçgenlerde Maksimum Taban
- Çözümlerin Özet Tablosu
- Kaynaklar ve Son Notlar
- Kısa Özet ve Anahtar Noktalar
1. Üçgen Oluşum Koşulları ve Üçgen Eşitsizliği
Her üçgenin en temel özelliği, kenar uzunluklarının “üçgen eşitsizliği” olarak bilinen bir kuralı sağlamasıdır. Üçgen Eşitsizliği, bir üçgende herhangi iki kenarın toplamının mutlaka üçüncü kenardan büyük olması gerektiğini ifade eder. Yani, kenarlar a, b, c ise:
- a + b > c
- a + c > b
- b + c > a
Eğer herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenara eşit veya küçük kalıyorsa, üçgen elde edilemez. Bu kural, 8. sınıf müfredatındaki birçok üçgen sorusunun temel dayanağıdır.
2. Soru 7: Çubukların Uzunluklarına Göre Üçgen İncelemesi
Soru metninde beş ayrı çubuk uzunluğu verilmiştir:
- A = 12 m
- B = 6 m
- C = 5 m
- D = 3 m
- E = 2 m
Soru şu şekildedir:
“Bu çubuklardan hangileri bir araya getirilirse üçgen elde edilebilir?”
Şıklar:
A) A-B-C (12, 6, 5)
B) B-C-D (6, 5, 3)
C) A-C-D (12, 5, 3)
D) C-D-E (5, 3, 2)
2.1. Verilen Çubukların Uzunlukları
Çubukların değerlerini tekrar hatırlayalım:
| Çubuk | Uzunluk (m) |
|---|---|
| A | 12 |
| B | 6 |
| C | 5 |
| D | 3 |
| E | 2 |
2.2. Üçgen Oluşumunu Kontrol Etme (Üçgen Eşitsizliği)
Bir grup üç çubukla üçgen oluşturabilmek için, üçgen eşitsizliğinin tüm maddelerini sağlaması gerekir. Genel olarak:
- En büyük kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.
- Tüm kenarların pozitif olduğu durumda, kısa kenarların toplamının en büyük kenardan daha büyük olması gerekir.
2.3. Olası Seçeneklerin Test Edilmesi
Soruya verilen her şıkta üç ayrı çubuk birleştirilmektedir. Her şıkkı inceleyelim:
-
A-B-C (12, 6, 5)
- 6 + 5 = 11, bu 12’den küçük kaldığı için 12, 6, 5 üçlüsü üçgen oluşturamaz. Çünkü kısa kenarların toplamı en uzun kenardan (12) büyük olması gerekirdi, ancak 11 < 12.
-
B-C-D (6, 5, 3)
- 6 + 5 = 11, 11 > 3
- 6 + 3 = 9, 9 > 5
- 5 + 3 = 8, 8 > 6
- Üç koşul da sağlanır, dolayısıyla bu üç çubuktan üçgen oluşturulabilir.
-
A-C-D (12, 5, 3)
- 5 + 3 = 8, 8 < 12
- Bu durumda 8, 12’den küçük olduğu için yine üçgen oluşturulamaz.
-
C-D-E (5, 3, 2)
- 5 + 3 = 8, 8 > 2
- 5 + 2 = 7, 7 > 3
- 3 + 2 = 5, 5 = 5 (ama en büyük kenarı burada 5 varsaydığımızda, tam eşitlik söz konusudur)
- Gerçekte 5 bu üçlünün en büyük kenarıdır. İki küçük kenarın toplamı (3 + 2 = 5) en büyük kenarı tam eşit bulur; üçgen oluşturma kuralına göre büyük olması gerekir. Dolayısıyla bu durumda “köşegen bir üçgen” yerine “doğru parçası” gibi degenerate (bitişik) bir durum olur. Üçgen elde edilmez.
2.4. Soru 7’nin Cevabı ve Özet
Testler sonucu yalnızca B şıkkında (B-C-D) üçgen şartları sağlanabilir. Bu yüzden sorunun doğru cevabı:
B) B-C-D
3. Soru 8: İkizkenar Üçgenler ve En Büyük Uzaklık (|BI|) Hesabı
Soru 8’de farklı ikizkenar üçgenler verilmekte ve bu ikizkenar üçgenlerin kenar uzunlukları (örneğin IAB = IAC = 12 m, ICD = IDE = 8 m, IFE = IFG = 9 m, IHG = IHI = 20 m vb.) metre cinsinden tam sayılardan oluşmaktadır. Üçgenlerin ortak tabanları (BC, CE, EG, GI gibi) bir doğru üzerinde sıralanmış olup, bu çizgi üzerinde B noktasından I noktasına kadar olan uzunluk |BI|’nin en büyük kaç metre olabileceği sorulmaktadır.
Soru metninde şu ayrıntılar göze çarpıyor:
- Verilen ikizkenar üçgenlerde kenar uzunluklarının her biri tam sayıdır.
- Üçgenlerin tabanları aynı doğru üzerinde “ucuca” eklenmiştir.
- Taban uzunlukları da tam sayılardır.
- İkizkenar Üçgenin iki kenarı (örneğin 12 m, 8 m, 9 m, 20 m vb.) sabittir ve tabanları (BC, CE, EG, GI) bu kenar uzunluklarına göre belirli aralıklarda olabilir.
- |BI|, B noktasından I noktasına kadar olan toplam mesafe (BC + CE + EG + GI) olarak bulunacaktır.
3.1. İkizkenar Üçgenin Tanımı ve Temel Özellikleri
Bir üçgenin ikizkenar olabilmesi için en az iki kenarın eşit olması gerekir. Örneğin kenarları (s, s, b) olan bir üçgende s eşit kenardır, b ise taban olarak adlandırılır. Üçgen eşitsizliği bu üçgen için şu şekilde olur:
- s + s > b \Rightarrow 2s > b
- s + b > s \Rightarrow b > 0 (zaten pozitif)
- s + b > s \Rightarrow b > 0 (aynı şekilde)
Özetle ikizkenar üçgende taban uzunluğu (b), 2$s$’den küçük olmalıdır (eşit olursa üçgen değil, “doğru parçası” haline gelir).
3.2. Problemde Verilen Üçgenler ve Kenar Uzunlukları
Soruya göre:
- A noktasından B noktasına çizilen üçgende AB = AC = 12 m (taban BC).
- C noktasından D noktasına çizilen üçgende CD = DE = 8 m (taban CE).
- E noktasından F noktasına çizilen üçgende FE = FG = 9 m (taban EG).
- G noktasından H noktasına (veya I noktasına) çizilen üçgende GH = HI = 20 m (taban GI).
Ancak soruda harfler biraz daha farklı olabilir (D, F, H veya I gibi). Temel mantık aynı: Her bir üçgende sabit iki kenar var ve bu iki eş kenara karşı gelen taban uzunluğu bir tam sayı olacak şekilde seçilmeli.
3.3. Taban Uzunluklarının (BC, CE, EG, GI) Tamsayı ve Maksimum Değerleri
İkizkenar bir üçgende, iki eşit kenar s ve taban b olmak üzere:
- b bir tam sayı olacak,
- b < 2s (üçgenin oluşması için kesinlikle b \le 2s - 1 geçerli olabilir, eğer b tamsa),
- b > 0.
Bu soruda:
- Üçgen ABC için: AB = AC = 12 \implies BC < 2 \times 12 = 24. O halde BC en fazla 23 olabilir (tam sayı olarak).
- Üçgen CDE için: CD = DE = 8 \implies CE < 2 \times 8 = 16. O halde CE en fazla 15 olabilir.
- Üçgen EFG için: FE = FG = 9 \implies EG < 2 \times 9 = 18. O halde EG en fazla 17 olabilir.
- Üçgen GHI için: GH = HI = 20 \implies GI < 2 \times 20 = 40. O halde GI en fazla 39 olabilir.
Her taban uzunluğu tam sayı olduğu için, maksimum değerler:
- BC_{\text{max}} = 23
- CE_{\text{max}} = 15
- EG_{\text{max}} = 17
- GI_{\text{max}} = 39
3.4. Kurgu: Üçgenlerin Doğrusal Birleştirilmesi ve |BI| Hesabı
Soruda, bu ikizkenar üçgenler aynı doğru üzerinde uç uca yerleştirilmiştir. Yani:
|BI| = |BC| + |CE| + |EG| + |GI|.
Bu uzunluğu en büyük yapmak için, her tabandaki tam sayı uzunlukları da en büyük değere getirmek gerekir. Dolayısıyla:
|BI|_{\max} = 23 + 15 + 17 + 39.
3.5. Soru 8’in Cevabı ve Gerekçe
Yukarıdaki toplamı hesaplayalım:
- 23 + 15 = 38
- 38 + 17 = 55
- 55 + 39 = 94
Dolayısıyla |BI|’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 94 olur. Soru seçeneklerinde bu değer çoğunlukla C) 94 şeklinde listelenmiştir.
Sonuç: 8. soru için doğru cevap 94.
4. Ek Bilgiler: Üçgen Eşitsizliği ve İkizkenar Üçgenlerde Maksimum Taban
-
Temel Üçgen Eşitsizliği:
- Üç kenarı x, y, z olan bir üçgende:
- x + y > z
- x + z > y
- y + z > x
- Herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan mutlaka büyük olmalıdır.
- Üç kenarı x, y, z olan bir üçgende:
-
İkizkenar Üçgenlerde Taban Sınırı:
- Eğer iki kenar s, s ise taban b < 2s şartını sağlamalıdır. Tam sayı durumunda b \le 2s - 1.
- Taban uzunluğunun en büyük tam sayı değeri, 2s - 1 olarak alınabilir.
-
Sorularda Sık Karıştırılan Nokta:
- Taban uzunluğunun, eşit kenarların toplamına eşit olması durumunda, üçgen “çizgisel” hale gelir; bu üçgen oluşturmaz.
- Tam sayı olma zorunluluğu nedeniyle, değer “2s - 1” en büyük geçerli tam sayı olmaktadır.
-
Ayrık Taban Birleşimi:
- Özellikle 8. soruda olduğu gibi, birden fazla üçgenin tabanları ardışık şekilde birleştirildiğinde toplam uzunluk “kademeli” olarak artar.
- Her taban maksimuma çekilerek toplam mesafe (B’den I’ye kadar olan) en büyük yapılmaya çalışılır.
5. Çözümlerin Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda hem 7. soruya hem 8. soruya ait kritik verileri görebilirsiniz:
5.1. Soru 7 Özet Tablosu
| Şık | Kenarlar | Üçgen Eşitsizliği Testi | Sonuç |
|---|---|---|---|
| A-B-C | (12, 6, 5) | 6 + 5 = 11 < 12 | Üçgen oluşmaz |
| B-C-D | (6, 5, 3) | Tümü > En büyük kenar | Üçgen oluşur |
| A-C-D | (12, 5, 3) | 5 + 3 = 8 < 12 | Üçgen oluşmaz |
| C-D-E | (5, 3, 2) | 3 + 2 = 5 (en büyük kenar =5) | Degenerate (üçgen oluşmaz) |
5.2. Soru 8 Özet Tablosu
| Üçgen | Eşit Kenarlar | Taban (b) < 2s | Taban Aralığı (tamsayı) | Maks. b |
|---|---|---|---|---|
| ABC | 12 m, 12 m | b < 24 | 1 ≤ b ≤ 23 | 23 |
| CDE | 8 m, 8 m | b < 16 | 1 ≤ b ≤ 15 | 15 |
| EFG | 9 m, 9 m | b < 18 | 1 ≤ b ≤ 17 | 17 |
| GHI | 20 m, 20 m | b < 40 | 1 ≤ b ≤ 39 | 39 |
Dolayısıyla:
|BI|_{\max} = 23 + 15 + 17 + 39 = 94.
6. Kaynaklar ve Son Notlar
- MEB Ortaokul Matematik Ders Kitabı (Güncel Basım)
- Ortaöğretim Matematik Kazanımları (2023)
- Üçgen Eşitsizliği ve İkizkenar Üçgenlere ilişkin temel geometri kuralları.
7. Kısa Özet ve Anahtar Noktalar
• Soru 7: Beş ayrı çubuk uzunluğundan (12 m, 6 m, 5 m, 3 m, 2 m) üç tanesi seçilerek üçgen oluşturulabiliyor mu diye sorulmuştur. B-C-D (6 m, 5 m, 3 m) üçlüsü üçgen şartını sağlarken diğer üçlülere ait kısa kenar toplamı, en büyük kenarı geçemediği için üçgen oluşturmamaktadır.
• Soru 8: Farklı ikizkenar üçgenlerin (kenar uzunlukları örn. 12, 8, 9, 20) tabanları bir sıra haline getirilmiş, B’den I noktasına kadar olan toplam mesafenin (|BI|) en büyük değeri aranmıştır. İkizkenar üçgen kuralına göre her taban en fazla “2s - 1” olabilir. Böylece:
- BC en fazla 23,
- CE en fazla 15,
- EG en fazla 17,
- GI en fazla 39.
Toplam: 23 + 15 + 17 + 39 = 94.
Dolayısıyla, 8. sorunun cevabı 94 olarak bulunur.
Cevaplar:
-
- Soru → B (B-C-D)
-
- Soru → 94