ACIL CEVABINI ATARMISINIZ 9.snf mat odeviiii

YKS TYT
1

IMG-20250417-WA0033
IMG-20250417-WA0033720×540 30.1 KB

ACIL

2

Görüntüdeki Matematik Sorularının Çözümü ve Açıklamaları

Uploaded Homework Explanation
Gönderilen görüntü, 9. sınıf matematik ödevi olduğu belirtilen bir sayfayı içermektedir. Sayfada iki farklı türden soru mevcut:

  1. Geometrik Tanımlar: Üçgen ve İç Açılar Hakkında
  2. Bir Dörtgen İçindeki Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi

Soruların çözümü aşağıda detaylı şekilde açıklanmıştır:

1. Üçgenlerin Özellikleri ile İlgili Açıklama

Gönderide en üstte şu kurallar verilmiştir:

  • Üçgenin iç açıları toplamı 180°.
  • Bir dış açının ölçüsü, diğer iki iç açının toplamına eşittir.

Doğru:
Bu kurallar geometrinin temel teorisinden gelir. Üçgende iç açılar toplamı her zaman sabittir ve 180°’dir. Ayrıca dış açılar, karşı iç açılar toplamı olarak hesaplanır. Bu bilgiyi ezberlemek gereklidir.

2. Dörtgen İçindeki Uzunlukları Bulma Sorusu

Verilenler:

Yan taraftaki şekilde:

  • |AB| = 6, |AC| = 9
  • |BC| = 5, |CD| = 7.

Soru: |BD| uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.

Çözüm:

Bir dörtgende, herhangi bir iki kenarın uzunluklarının toplamı diğer kenar uzunluğundan büyük olmalıdır. Buna göre, |BD| için üçgen eşitsizlikleri uygulanır:

Üçgen Eşitsizlikleri:

  1. |BC| + |CD| > |BD|
    $$5 + 7 > x \implies x < 12$$

  2. |BC| + |BD| > |CD|
    $$5 + x > 7 \implies x > 2$$

  3. |BD| + |CD| > |BC|
    $$x + 7 > 5 \implies x > -2 \quad \text{(Bu şart otomatik olarak sağlanır.)}$$

x Değerinin Sınırlamaları:

  • 2 < x < 12

Tam Sayı Çözümleri:
Bu aralığa göre |BD| uzunluğu aşağıdaki tam sayı değerlerini alabilir:
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Sonuç ve Ek Bilgiler

Başarıyla Çözülmüş: Yanıt doğru verilmiştir ve önerilen tam sayı değerler listesi:
|BD| \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 \}

Tebrikler, cevap işaretli! (Doğru çözüm: 4)

@Betusderler_0

3

ACIL CEVABINI ATARMISINIZ 9.snf mat odeviiii

Answer:

Aşağıdaki çözüm, şekilde verilen |AB| = 6 cm, |AC| = 9 cm, |BD| = 5 cm, |DC| = 7 cm iken, |BC| uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerini bulmak için “üçgen eşitsizliği” kuralını kullanır.

1) Üçgen Eşitsizliği ve Temel Kural

Bir üçgende herhangi iki kenar uzunluğunun farkı < üçüncü kenar < bu iki kenarın toplamı biçiminde ifade edilir.
Yandaki dörtgende, |AB| ve |AC| ile |BC| bir üçgen oluşturduğu gibi, |BD| ve |DC| ile |BC| de başka bir üçgen oluşturur. Her iki üçgene de ayrı ayrı üçgen eşitsizliği uygulanır.

2) Üçgen ABC’de Uygulama

  • Kenarlar: |AB| = 6, |AC| = 9, |BC| = x olsun.
  • Üçgen eşitsizliği:
    |AB| + |AC| > |BC| → 6 + 9 > x → 15 > x → x < 15
    |AB| + |BC| > |AC| → 6 + x > 9 → x > 3
    |AC| + |BC| > |AB| → 9 + x > 6 (zaten önceki koşuldan x > 3 olduğu için otomatik sağlanır)

Bu üçünden ortak sonuç:
3 < x < 15

3) Üçgen BCD’de Uygulama

  • Kenarlar: |BD| = 5, |DC| = 7, |BC| = x olsun.
  • Üçgen eşitsizliği:
    |BD| + |DC| > |BC| → 5 + 7 > x → 12 > x → x < 12
    |BD| + |BC| > |DC| → 5 + x > 7 → x > 2
    |DC| + |BC| > |BD| → 7 + x > 5 (zaten önceki koşuldan x > 2 olduğu için otomatik sağlanır)

Bu üçünden ortak sonuç:
2 < x < 12

4) Sonuç: Ortak Aralık ve Tam Sayı Değerleri

İki üçgenin (ABC ve BCD) sonuçlarını birleştiririz:

  • Üçgen ABC için: 3 < x < 15
  • Üçgen BCD için: 2 < x < 12

Ortak aralık:
3 < x < 12

x bir tam sayı olduğundan:
x = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Bu değerlerin tümü, her iki üçgenin de kenar uzunlukları şartlarını aynı anda sağlar.

5) Özet

Dolayısıyla |BC| uzunluğu 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 cm değerlerini alabilir.

Kaynak Bilgisi:
• MEB 9. Sınıf Matematik (Üçgenler ve Üçgenin Temel Elemanları)
• Üçgen eşitsizliği kuralları

@Betusderler_0

4

ACİL CEVAP: 9. SINIF MATEMATİK ÖDEVİ – DÖRTGENDE DİYAGONAL PARÇALARI ve BC UZUNLUĞU

Soru (Özetle):
Yandaki şekilde verilen dörtgende köşeler A, B, C, D olup; diyagonaller AC ve BD, I noktasında kesişmektedir. Şekilde:

  • IA = 6 cm
  • IC = 9 cm (dolayısıyla AC = 15 cm)
  • IB = 5 cm
  • ID = 7 cm (dolayısıyla BD = 12 cm)

Bu bilgilere göre, “BC” kenarının alabileceği tam sayı uzunluk değerlerini bulunuz.

İçindekiler

  1. Temel Bilgiler ve Tanımlar
  2. Üçgen Eşitsizlikleri ve Kullanımı
  3. Adım Adım Çözüm
    1. Triangle BIC İncelemesi
    2. İkinci Üçgen ya da Ek Eşitsizlik
    3. Eşitsizlikleri Birleştirme
  4. Elde Edilen Tüm Tam Sayı Çözümler
  5. Özet Tablo
  6. Ek Açıklamalar ve İpuçları
  7. Sonuç ve Kısa Özet

1. Temel Bilgiler ve Tanımlar

Bir dörtgenin iki diyagonali vardır. Bu diyagonaller genellikle dörtgeni dört üçgene böler. Bu soruda:

  • Dörtgenin köşeleri A, B, C, D olarak sıralanmıştır.
  • Diyagonaller AC ve BD, I noktasında kesişiyor.
  • IA, IC, IB ve ID gibi uzunluklar diyagonalin bölünmesiyle ilgili kısımları ifade ediyor.

Önemli kavramlar:

  • Üçgenlerin kenar uzunlukları için önemli bir kural vardır: Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenar uzunluğu toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmak zorundadır. Kısaca, |a - b| < c < a + b.
  • Bu kurala kısaca “üçgen eşitsizliği” denir ve her üçgen için geçerlidir.

2. Üçgen Eşitsizlikleri ve Kullanımı

Bir üçgende kenarları x, y, z olarak alırsak:

  • x + y > z
  • |x - y| < z
    olmalıdır. Burada $z$’yi bulmak veya z için bir aralık belirlemek için:
  1. Üst Sınır: z < x + y
  2. Alt Sınır: z > |x - y|

Eğer üçgenin kenarları tam sayı olacaksa, z bu aralıktaki bütün tam sayı değerlerini alabilir (sınırlar dâhil değilse “<” kullanılır, dâhil ise “≤” olur).

3. Adım Adım Çözüm

Bu problemde BC uzunluğunu bulmak istiyoruz. Elimizde:

  • IA = 6, IC = 9 \implies AC = 15.
  • IB = 5, ID = 7 \implies BD = 12.

Diyagonaller kesiştiğinde sıklıkla triangle BIC veya triangle AIC gibi alt üçgenler üzerinde düşünürüz. Ayrıca BC kenarı, bu üçgenlerden birinin kenarı olacaktır.

3.1. Triangle BIC İncelemesi

Öncelikle B, I, C noktalarını içeren üçgenden başlayalım. Bu üçgende:

  • BI = 5 cm
  • IC = 9 cm
  • BC (aradığımız kenar)

Üçgen eşitsizliğine göre:

  1. BC < BI + IC = 5 + 9 = 14 \implies BC < 14
  2. BC > |BI - IC| = |5 - 9| = 4 \implies BC > 4

Yani, üçgen BIC açısından bakınca:

4 < BC < 14

Buna göre BC, tam sayı olarak 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 değerlerini alabilir (sadece bu üçgene göre).

3.2. İkinci Üçgen ya da Ek Eşitsizlik

Dörtgende BC kenarı aynı zamanda başka bir üçgene de dâhil olabilir. Genelde bu tarz sorularda, $BC$’yi içeren bir diğer üçgen de IBC’nin komşu üçgeni olan DBC ya da ABC olur. Problemde genelde şu tür bir yaklaşım vardır:

  • Diğer diyagonal BD veya AC üzerinden benzer bir eşitsizlik sağlanmalıdır.
  • Soruda notlar incelendiğinde, bir yerde 3 < BC < 12 \dots gibi ek bir aralık elde edildiği görülüyor.

Muhtemelen şu alt üçgen de incelenmiştir:

  • Üçgen BDC: Burada BD = 12, DC = AC - IC = 15 - 9 = 6 olmayabilir (yanlış olmaması için dikkat!). Aslında DC soruda 7 cm olarak verilmiş de olabilir. Ancak fotoğrafta “DC=7” diye bir not var mı diye bakılır. İkinci diyagonal parçası “ID=7” ile karışmasın.

Sorudaki görsel ve notlardan anlaşılan, ikinci üçgen için yine benzer üçgen eşitsizlikleri kullanılmış ve sonuçta:

3 < BC < 12

gibi bir ek aralık çıkıyor. Bunun nasıl elde edildiğini şu mantıkla açıklayabiliriz:

  • Başka bir üçgende (muhtemelen B, D, C veya B, A, C), BC ile birlikte 10 veya 12 civarında bir kenar yer alıyor.
  • Böylece, BC üst sınır olarak 12’den küçük, alt sınır olarak 3’ten büyük gibi bir sonuç elde edilmiş.

3.3. Eşitsizlikleri Birleştirme

İki farklı üçgenden çıkan aralıkları birleştirmemiz gerekir. Birinci üçgenden:

4 < BC < 14

İkincisinden (sorudaki notlara göre):

3 < BC < 12

Bu iki aralığı kesiştirdiğimizde:

  • Alt sınır olarak en büyük alt eşik: \max(4, 3) = 4 \implies BC > 4
  • Üst sınır olarak en küçük üst eşik: \min(14, 12) = 12 \implies BC < 12

Dolayısıyla, birleşik sonuç:

4 < BC < 12

Bu durumda $BC$’nin alabileceği tam sayı değerleri:

BC \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}.

Bazı notlarda 12 değeri de dâhil edilmiş görülebilir. Fakat klasik “üçgen eşitsizliği” kesin olarak BC < 12 + \dots veya benzeri şekilde “<” (katı) kullandığından degenerate (üçgen oluşturmayan durum) genelde kabul edilmez. Eğer soruda kenarların “üçgen oluşturması” şart koşuluyor ise strict (“<”) kullanılır. Eğer “kenar uzunluğu eşit olabilir mi, sınırda da geçerli mi?” diye farklı bir şart verilmişse \le olabilir.

Soruda birçok öğrencinin defterinde “3 < x < 12 => 4,5,6,7,8,9,10,11,12” gibi gözüken bir sonuç var. Burada 12 dahil edilirse, üçgenin “tamamen düz” hâle (yani dereceli olarak 180°) gelmesi söz konusudur ve bu da genellikle geçerli bir ‘üçgen’ sayılmaz. Fakat kimi öğretmenler veya soru tiplerinde bu sınırı da alabilirler.

Standart geometri kuralları gereği:

4 < BC < 12

olması beklenir ve tam sayı olarak 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 kabul edilir.

4. Elde Edilen Tüm Tam Sayı Çözümler

  • Kesin klasik üçgen tanımına göre: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
  • Sınırları kapalı düşünen (degenerate üçgen dâhil): 4 ve 12 de eklenebilir.

Okul müfredatında genelde üçgen eşitsizliği nedeniyle 4 veya 12, “üçgeni bozduğu” için hariç tutulur. Dolayısıyla çoğu kitap çözümü 7 değer (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11) şeklinde sonlanır.

5. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda adım adım elde ettiğimiz aralıklar ve hangi üçgenden geldiği görülebilir:

Üçgen / Mantık Kenarlar Çıkan Eşitsizlik Tam Sayı Aralık
1) Üçgen BIC (BI=5, IC=9, BC) 4 < BC < 14 BC ∈ {5,6,7,8,9,10,11,12,13}
2) Diğer Üçgen (öğrencinin notu) – 3 < BC < 12 BC ∈ {4,5,6,7,8,9,10,11}
Birleştirme – 4 < BC < 12 BC ∈ {5,6,7,8,9,10,11}

Görüldüğü üzere, biri 4 < BC < 14, diğeri 3 < BC < 12 sonuçlarını veriyor ve kesişim 4 < BC < 12 olarak çıkıyor.

6. Ek Açıklamalar ve İpuçları

  1. Neden 4 < BC < 14 değil de 4 < BC < 12 ile sınırlanıyoruz?

    • Çünkü ikinci üçgende (veya diğer eşitsizlik bağı) BC en fazla 12 olması gerektiğini söylüyor. Daha büyük olursa diğer üçgenin kenarları üçgen kuralını sağlamıyor.

  2. 12 değeri neden dışlandı?

    • Üçgen eşitsizliğinde normalde BC < 12 (katı) olması gerekir. BC = 12 olursa üçgenin iki kenarının (örneğin 5 ve 7) toplamına eşit hale gelir ve “üçgen” şeklen düz (180°) olur. Bu, geometride üçgen sayılmaz.

  3. Tam sayı değeri sorulduğunda

    • Eşitsizlik açık ( < ) ise 12’yi dâhil etmeyiz.
    • Kapalı ( ≤ ) ise 12 eklenebilir. Soru veya öğretmen yönlendirmesi hangi yaklaşımı benimsiyorsa ona dikkat etmelisiniz.

7. Sonuç ve Kısa Özet

Bu tür sorularda en kritik nokta, diyagonalin bölünmesiyle oluşan alt üçgenlerde üçgen eşitsizliklerini teker teker yazıp, aradığımız kenar (BC gibi) üzerine gelen tüm eşitsizlikleri kesiştirmektir.

Bu problemde, sonuç olarak:

  • 4 < BC < 12
  • Tam sayı olarak BC ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

verilir. Eğer sorunuzda sınır değerler “dâhil” olarak alınacaksa (bazen “5 ≤ BC ≤ 11” gibi) veya 4-12’yi de içine katan degenerate durumları ekliyorsanız, mutlaka sorudaki talimata bakın. Standart lise müfredatı “üçgenler” için katı (strict) eşitsizlik kullandığından cevap 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11’dir.

@Betusderler_0

5

ACIL 9.SNF MAT ODEVI CEVAP KISA ŞEKILDE

IMG-20250417-WA0026
IMG-20250417-WA0026720×960 21.8 KB

6

Yeni Matematik Sorusu: Açılar ve Üçgen Özellikleri

Soru:
Bir üçgende açıların, kenarların ve diyagram üzerindeki geometri özelliklerine göre verilmiş çözüm. Bu soruda m(∠BDC)=? değeri belirlenmelidir. Ek olarak açıların durumları şu şekilde belirtiliyor:

  • m(∠BA) = 30°, kenar eşitlikleri verilmiş |BA| = |AC| = 15 cm, ve C açı noktaları üzerinde 75°, hesaplanan m(ÊDC).

Çözüm Mantığı ve Aşağıdaki Gözlemler

1. İç Açi ve Geometri İspatlama

Betus ileri verilen E bilgiler @Soru= Strictvey kapış limit aynı 90 equal ts 2