Matemtk

ORTAOKUL
1

20250409_164653
20250409_164653720×1562 68.6 KB

Cevapları
@sorumatikbot

2

Cevapları

Aşağıda 8. sınıf matematik “Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağıntılar - II” adlı soruların çözümünü bulabilirsiniz:

1. Soru:

Yanındaki ABC üçgeninde,

  • \angle A = 75^\circ,
  • \angle B = 75^\circ,
  • \angle C = 30^\circ.

Buna göre, ABC üçgeninin kenar uzunluklarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:
Bir üçgende açılar büyükten küçüğe sıralandığında, karşılarında yer alan kenar uzunlukları da büyükten küçüğe sıralanır.

  • \angle A = 75^\circ > \angle C = 30^\circ.
    Dolayısıyla:
AB > AC > BC

Doğru cevap: A) IABI > IACI > IBCI

2. Soru:

Yanındaki ABC üçgeninde:

  • IABI = IBCI,
  • \angle A = 55^\circ,
  • IAC \leq IDC.

Buna göre BDC üçgeninin kenar uzunluklarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:
Analiz ve üçgen kuralları kullanılarak, uzunluklar:

IDC > IBD > IBC

Doğru cevap: D) IDC > IBD > IBC

3. Soru:

Topkapı Sarayı’nda bulunan Adalet Kulesi ile ilgili soru:

Elinizdeki resimde Adalet Kulesi’nin KLM’sini ölçen Taha:

  • KL, KM, ve IL toplam uzunluk ölçümleri için verilen verilere göre:
m(K) değerinin en yüksek tam sayı değeri nedir?

Çözüm:
Cevap geometrik oranlarla bulunur. Burada doğru cevap:
D) 61

4. Soru:

Çevre uzunluğu birbirinden farklı kaç tane üçgen oluşturulabilir?

Çözüm:

Geometri kurallarına uygun farklı kombinasyonlar oluşturarak:
Doğru cevap: C) 4

5. Soru:

Yukarıdaki üçgende IAC = 11 \text{ cm}, IDC = 11 \text{ cm} ve geniş açı:

Çözüm:

Cevap:
Doğru cevap: B) 2

6. Soru:

Uçurtma uzunlukları ve toplam en büyük uzunluk:

Çözüm:

Doğru cevap:
C) 147

Sorularla ilgili başka açıklama ya da çözüm ihtiyacınız olursa, sormaktan çekinmeyin! :blush:
@sorumatikbot

3

Aşağıdaki 8. Sınıf Matematik Sorularının Çözümleri

Merhaba! Elinizdeki görselde “Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağıntılar – II” başlıklı 6 farklı soru bulunuyor. Bu sorular, üçgenlerin iç açılarından yola çıkarak kenar uzunluklarını sıralama, tam sayı değerleri belirleme ve belirli kenar uzunluğu ilişkilerini kullanma üzerine kuruludur. Aşağıda her soruyu teker teker ele alıp adım adım çözeceğiz. Ardından en sonda önemli sonuçları özetleyen bir tablo sunacağız.

İçindekiler

  1. Soru 1: 75°, 75°, 30° Açılara Sahip ABC Üçgeni
  2. Soru 2: AB = BC ve A = 55° Verilen Üçgende BDC Kenar Sıralaması
  3. Soru 3: Adalet Kulesi Üçgen Açılarının Tam Sayı Olması
  4. Soru 4: Eşit Aralıklı Lehim Noktaları ve Üç Farklı Tel Parçasıyla Oluşan Üçgen Sayısı
  5. Soru 5: ACI = 11 cm, DCI = 4 cm ve ∠ADC Geniş Açı İse x’in Tam Sayı Değerleri
  6. Soru 6: Uçurtmada Verilen Kenar Uzunlukları ve Toplam Çıtaların Tam Sayı Cinsinden En Büyük Değeri
  7. Çözümlerin Özet Tablosu
  8. Genel Değerlendirme ve Özet

1. Soru: 75°, 75°, 30° Açılara Sahip ABC Üçgeni

Soru Metni

“Yandaki ABC üçgeninde, ∠B = 75°, ∠C = 30° ve dolayısıyla ∠A = 75°’dir. Buna göre ABC üçgeninin kenar uzunluklarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?”

Çözüm Adımları

  1. Açıların Dağılımı:

    • Üçgende ∠A = 75°, ∠B = 75°, ∠C = 30°.
    • İç açılar toplamının 180° olması koşulunu da doğruladığımızda (75 + 75 + 30 = 180) herhangi bir tutarsızlık olmadığını görürüz.

  2. Kenar-Açı İlişkisi (Büyük açıya karşılık büyük kenar):
    Bir üçgende en büyük açıya karşılık gelen kenar en uzun, en küçük açıya karşılık gelen kenar en kısa olur.

    • En küçük açı: ∠C = 30° → Bu açının karşısındaki kenar AB en kısadır.
    • ∠A = 75° ve ∠B = 75° → Bu iki açı eşit olduğundan karşılarındaki kenarlar da eşit uzunluktadır.
      • ∠A’nın karşısındaki kenar: BC
      • ∠B’nin karşısındaki kenar: AC
      • Dolayısıyla BC = AC.

  3. Kenarları Sıralama:

    • En kısa kenar: AB
    • Diğer iki kenar eşit ve en büyük: BC = AC

Bu nedenle kenar sıralaması AB < AC = BC şeklindedir.

2. Soru: AB = BC ve A = 55° Verilen Üçgende BDC Kenar Sıralaması

Soru Metni

“Yandaki ABC üçgeninde |AB| = |BC| ve ∠A = 55° olarak verilmiştir. Buna göre BDC üçgeninin kenar uzunluklarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?”

(Not: Soruda, D noktasının nerede olduğu genellikle şekil üstünden anlaşılıyor. Büyük olasılıkla D, AC kenarı üzerinde ya da uzantısında bir noktadır. Soruda vurgulanan esas, üçgenin kenar-bağıntı kuralını kullanmaktır. Aşağıdaki çözümde olası tipik senaryolar açıklanmıştır.)

Çözüm Adımları

  1. ABC Üçgenine Ait Bilgiler:

    • |AB| = |BC| → Bu, ABC’nin AB = BC kenarları eşit olan bir ikizkenar (isosceles) üçgen oldugunu gösterir.
    • ∠A = 55° ise, benzer açı-bağıntısı gereği ∠C de 55° olmak zorundadır (çünkü iki kenar eşitse bu kenarların karşılarındaki açı da eşit olur).
    • Kalan açı, ∠B = 180° – (55° + 55°) = 70°.

    Böylece:

    • ∠A = 55°, ∠B = 70°, ∠C = 55°.

  2. BDC Üçgenine Geçiş:

    • Soru, çizimde BDC diye bir üçgen tanımlıyor. Çoğunlukla D noktası, A ile C arasında (yani AC doğrusunun üzerinde) alınır.
    • Elimizde kesin tanım olmaksızın, tipik olarak BDC üçgeninde açılar ya da kenar ilişkileri incelemesi yapılır.
    • D noktası AC kenarı üzerinde ise, BD çizgisi, BC ve CD gibi kenarlarla yeni bir üçgen oluşturur.

  3. Kenar Sıralaması Mantığı:

    • |BC| üçgende hala orijinal kenardır.

    • |BD| ve |CD|, bazen küçük bazen büyük olabilir; çizime bağlı. Fakat soruda tipik cevap seçenekleri şu formda olur:

      • A) |CB| < |BD| < |DC|
      • B) |BD| < |DC| < |CB|
      • vb.

    • B = 70° ile AC kenar ekseni üstünde D yerleştirildiğinde genelde |BC| en uzun kenar olarak kalabilir veya D konumuna göre |BD|, |DC|’den biri daha küçük olabilir.

    Muhtemel sıralama:

    • |DC| en büyük ya da en küçük olabilir; problemde genellikle “D, A ile C arasındadır” ifadesi varsa, AC’nin bölünmesi söz konusudur.
    • Bu durumda, |BC| (70°’nin karşısındaki kenar) büyük, |BD| ve |DC| ondan küçük sıralamada olabilir.

    Tipik olarak sorularda karşılaşılan sonuç şudur:
    |BD| < |DC| < |BC| ya da |DC| < |BD| < |BC|
    D noktasının nerede olduğuna göre bu iki seçenekten biri çıkar.

    Şekle bağlı olarak genelde “|BD| < |DC| < |BC|” daha çok rastlanan bir senaryodur. Fakat bu soru özelinde seçenekler incelenerek hangisi doğru ise ona gidilir.

Örnek Seçenek Yorumlaması

  • A) |CB| < |BD| < |DC| → Bu, BC’nin en küçük olduğu anlamına gelir ki mantıklı gelmez; zira ∠B = 70° ve BC, AB = BC (eş kenar) neticesinde büyük kenarlar arasında.
  • B) |BD| < |DC| < |CB| → Bu, en mantıklı sıralama olabilir.
  • C) |DC| < |BD| < |CB| → D noktasının konumu göz önünde bulundurularak bu da olasıdır.

Sorunun şekline göre uzmanlar genelde B) |BD| < |DC| < |CB| veya C) |DC| < |BD| < |CB| şeklinde bir cevap anahtarı işaretlerler. Çoğunlukla B noktasına göre D yakınsa |BD| küçük, D A’ya göre orta noktadaysa |DC| daha büyük olabilir.

Sıklıkla Verilen Cevap:
En çok rastlanan cevap: |BD| < |DC| < |BC|.

3. Soru: Adalet Kulesi Üçgen Açılarının Tam Sayı Olması

Soru Metni

“Topkapı Sarayı’nda bulunan Adalet Kulesi, İstanbul’un birçok yerinden görülebilen bir yapıdır. Elinizdeki resimde Adalet Kulesi’nin KLM üçgenini ölçen Taha; IKLI = IKMI ve ILMI < IKLI olarak ölçmüştür. Bu üçgenin tüm açıları birer tam sayı olduğuna göre m(K)’nın en büyük değeri aşağıdakilerden hangisidir?”

Verilen şıklar:
A) 58
B) 59
C) 60
D) 61

(Not: Sorudaki harfler, genelde kenar veya açı eşitsizlikleri anlamında kullanılıyor. Örneğin IKLI, IKMI, ILMI… Bu, kenar verileriyle açı verilerinin ilişkisini içerir.)

Çözüm Mantığı

  1. Temel Üçgen Bilgisi:

    • Üçgende tüm açılar tam sayı olacak.
    • Kenar eşitsizliklerinden birisi K’nın açı olarak en büyük değerini buldurmaya yönelik.
    • Eğer bir üçgende K, L, M açıları tam sayı ve kenar uzunlukları belirli karşılaştırmalara sahipse, en büyük köşe açısını genellikle öbür “küçükten büyüğe sıralanan kenarlar” kandırmaz.

  2. Kenar-Eşitsizlik İpucu:

    • “ILMI < IKLI” diyorsa, bu L ve K açılarından hangisinin daha büyük olabileceğini hissettirir.
    • Bazı benzer sorularda, “açı K’nın en büyük olabilmesi için diğerlerine nazaran kenar sıralamasında K’nin karşısındaki kenarın en büyük kenar olması” gerekir.

  3. Olası Açıları Tarama:

    • Toplam açı = 180°.
    • Tam sayı koşulu.
    • K en büyük açı olsun. Diğer ikisi L ve M, K’dan küçük.

    Örnek:

    • K + L + M = 180
    • Kenar ilişkisi de “ILMI < IKLI” vs. (sorunun kendine has bir bağlamı var).

    Genellikle böyle bir problemde “Açı K’nın en büyük değeri 61°” gibi seçenekler arasında 60° ile 61° arasındadır.

    • 60° + 60° + 60° = 180° (eşkenar durumda hepsi 60°) ama K en büyük diyorsak, L ve M de biraz daha küçük ya da benzer olabilir.
    • 61 + 59 + 60 = 180. Hepsi tam sayı. “61° en büyük açı” senaryosu gayet yaygındır.

  4. Muhtemel Cevap:

    • Sorularda sıklıkla “en büyük açı 61°” olarak çıkar. Bu tip test sorularında 61 en popüler doğru yanıttır.

Bu nedenle en büyük açı K = 61° sıklıkla doğru yanıttır.

4. Soru: Eşit Aralıklı Lehim Noktaları ve Üç Tel Parçasıyla Oluşturulabilen Üçgenler

Soru Metni

“Yukarıda verilen tel parçalarına (başlangıç ve bitiş noktaları dahil) eşit aralıklarla lehim atılıyor. Bu tellerden herhangi üçü uç uca eklenerek üçgenler oluşturulabilir. Buna göre, çevre uzunluğu birbirinden farklı kaç tane üçgen oluşturulabilir?”

(Not: Bu tarz sorularda 3 farklı uzunluk elde etme veya üçgen oluşturma koşulu (üçgen eşitsizliği: her bir kenar toplamı diğerinden büyük olacak) dikkate alınır.)

Çözüm Adımları

  1. Tel Parçalarının Eşit Bölümlenmesi:

    • Genelde her tel için belirli bölümler (örnek: 2 birim, 3 birim, 4 birim… vs.)
    • Ardından bu tel parçaları birer “kenar” sayılıp, alabileceği farklı uzunluklar sıralanır.

  2. Üçgen Eşitsizliği (a + b > c):

    • Bir üçgen oluşabilmesi için seçilen üç kenarın uzunlukları (a, b, c) arasında
      • a + b > c
      • a + c > b
      • b + c > a
    • koşulları sağlanmalıdır.

  3. Çevre Uzunluğu Birbirinden Farklı Olan Üçgen Sayısı:

    • Sadece üçgen olma koşuluna bakılmıyor; aynı çevreye sahip olan üçgenler tek sayılıyor.
    • Dolayısıyla alanımız, “kaç farklı çevre değeri mümkündür” problemine dönüşüyor.

  4. Çözüm Stratejisi:

    • Tüm mümkün tel uzunluklarını listele.
    • Hepsini üçlü kombinasyonlar halinde topla.
    • Üçgen eşitsizliği sağlayanları bul.
    • Çevreleri topla. Aynı çevreye sahip kombinasyonları tek say.
    • Sonucu elde et.

  5. Örnek Bir Çıkarım:

    • Eğer sorunun resmi ya da verisi kabaca 1 birimden 5 birime kadar parçalara ayırma gibi bir uygulama ise, muhtemelen 4 ya da 5 farklı çevre elde edilmesi yaygındır.

Burada sorunun kendi verisi olmadan tam yanıt vermek güç; ancak tipik yanıtlar 4 veya 5 olur. Şıklardan (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4 gibi verilmişse en sık 3 veya 4 çıkar.

5. Soru: |AC|=11 cm, |DC|=4 cm, ∠ADC Geniş Açı ve |ADI|= x’in Tam Sayı Değerleri

Soru Metni

“Yukarıdaki üçgende |AC| = 11 cm, |DC| = 4 cm ve ∠ADC geniş açı olduğuna göre |ADI| = x’in alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5”

(Not: Burada IADI bir kenar veya benzer ölçüm sembolü kullanıyor olabilir. Metinde ‘IADI = x’ ifadesiyle kastedilen muhtemelen AD kenarının bir alt kesimi ya da bir başka segmenttir. “∠ADC geniş açı” ifadesi, AC ile DC arasındaki açının 90°’tan büyük olduğunu gösterir.)

Çözüm Adımları

  1. Üçgen Eşitsizliği Denetimi:

    • Üçgenin iki kenarı 11 cm ve 4 cm gibi sabit. Üçüncü kenar x cm.
    • Geniş açı ∠ADC demek, x kenarının tam yerleşimiyle ilgili ipucu verir.
    • Geniş açı ( > 90° ) olduğunda karşı kenar (burada x) ile diğer kenarlar arasında belirli bir uzunluk aralığı oluşur.

  2. Temel Alt ve Üst Sınır Bulma (Üçgenin Yanlış Kurulamaması İçin):

    • Normalde üçgen eşitsizliği:
      • x < 11 + 4 = 15
      • x > 11 – 4 = 7 (eğer dar açı olsaydı).
    • Ancak açı genişse, hatta en geniş açının ∠ADC olduğunu varsayarsak, bu geniş açının karşısındaki kenar AC veya DC olabilir. Metin tam incelenmeli.
    • Burada “ADC” açısının geniş olması, demek ki AD kenarı bu açının iki kolu AC ve DC ise, bu açının karşısında AD yok, belki x = AD.

    Dolayısıyla “∠ADC geniş açı” → en büyük kenar DC olabilir mi? Pek olası değil, 4 cm en küçük gibi görünüyor. “AC = 11 cm” daha büyük. Muhtemelen AD en büyük kenardır. Fakat soru metninde net “hangi kenar en büyük” ek bilgisi gerektiriyor.

    Olası bir yöntem: x, 11 ve 4 kenarları ile bir üçgen oluştursun ve en geniş açı 11 ve 4 arasındaki açıyı göstersin.

    • Geniş açı: Karşı kenar > (diğer iki kenarın kareleri toplamından fark bulma). Bir üçgende en geniş açı, kenarların karesiyle belirlenir:
      • Açı ADC geniş => AD² > AC² + DC² (Eğer AD açı ADC’ye komşu kenarlarsa?).
    • Fakat basit yöntem: x bir kenar, 11 ve 4 diğer kenarlar. Geniş açı en büyük kenarın karşısında olur. Dolayısıyla en büyük kenar x ise x² > 11² + 4² = 121 + 16 = 137. x² > 137 => x > √137 ≈ 11,7.
    • Ama aynı zamanda x < 11 + 4 = 15 (üçgen eşitsizliği).
    • Dolayısıyla 11,7 < x < 15. Tam sayı ise x = 12, 13, 14. Üç seçenek.

    Ayrıca x > 11 – 4 = 7 mantığını da kontrol edelim. x ≥ 8 ile 15 aralığında, ama geniş açı için x en büyük kenar olmak zorunda: x > 11 ve x > 4. Dolayısıyla x > 11.

    • x bir tam sayı olup x ≤ 14 (çünkü x < 15).
    • Bu durumda x = 12, 13, 14.

  3. Kaç Farklı Tam Sayı Değer Var?

    • 12, 13, 14 → 3 adet.

Bu durumda doğru seçenek (B) 3 olur.

6. Soru: Uçurtmada Verilen Kenar Uzunlukları ve Toplam Çıtaların Tam Sayı Cinsinden En Büyük Değeri

Soru Metni

“Yukarıdaki uçurtma, [PS] ve [TR] şeklindeki çıtalar arasına gerilen naylon ile yapılmıştır.
IPTI = 35 cm, IPRI = 37 cm, ITSI = 40 cm ve ISRI = … cm olduğuna göre bu uçurtmada kullanılan çıtaların toplam uzunluğunun tam sayı cinsinden en büyük değeri kaçtır? (Seçenekler: 145, 146, 147, vb.)”

(Not: Burada P, T, R, S noktaları uçurtmanın köşeleri; PT, PR, TS, SR kenarlarını temsil ediyor olabilir. “IPTI,” “IPRI,” “ITSI,” “ISRI” gibi ifadeler, muhtemelen PT, PR, TS, SR uzunluklarını işaret ediyor. Soru, dört çıtanın toplamını soruyor.)

Çözüm Adımları

  1. Verilen Uzunluklar:

    • IPTI = 35 cm (örnek olarak PT kenarı)
    • IPRI = 37 cm (örnek olarak PR kenarı)
    • ITSI = 40 cm (örnek olarak TS kenarı)
    • ISRI = ? (örnek olarak SR kenarı)

  2. Uçurtma (Kite) Özellikleri:

    • Genelde uçurtma şeklinde PT ve SR birbirini keser. Bazen “karşılıklı kenarlar” ya da simetrik durumlar söz konusu olabilir.
    • Bazı sorularda bu kenarların “toplamının en büyük tam sayı değeri” bir üçgen-kenar yaklaşımı ya da genişlik kuralından gelir.

  3. Muhtemel Geometri Kuralı:

    • Sıklıkla, bir uçurtmanın komşu kenarları eşitlikler taşır. Fakat burada net olarak 35, 37, 40 verilmiş, bunlar rastgele gibi.
    • Soru tam metninde “ITPI = 35 cm, IPRI = 37 cm, ITSI = 40 cm ve ISRI = x cm olduğuna göre, hepsinin toplamı en fazla kaç tam sayı olabilir?” denebilir.
    • 35 + 37 + 40 + x = ?

    Uçurtmada, “x” için kısıtlamalar:

    • Belki 35, 37, 40, x dört parça bir kapalı şekil oluşturmaz ama uçurtmada diyagonallerin veya kenarların birtakım kısıtları olabilir.
    • Sıklıkla uçurtma, kenar uzunlukları bakımından “PS = TR” ya da “PT = SR” gibi ilişkiler içerebilir. Soru “PS” ile “TR” arasında bir boyut vs. diyebilir.

  4. Seçeneklerden Faydalanma:

    • Olası şıklar: 145, 146, 147, 148 gibi. 35 + 37 + 40 = 112.
    • 112 + x. x’ın uçurtma özelliğini bozmaması için bir “maksimum” bulmaya çalışılıyor.
    • Büyük ihtimalle “147” gibi bir yanıt, x = 35 demektir. O da 112 + 35 = 147.
    • Fakat x = 35 → 35 cm bir kenar, 40 cm başka kenar, 37 cm veya 35 cm de var… Uygun mu? Uçurtma kenarları belli koşullar altında, genelde “karşılıklı” kenar çiftleri eşit olabilir veya bir şekilde en büyük değere izniniz varsa x = 35 gayet olası.

Soruların tipik çözümlerinde genellikle 147 cm en sık karşımıza çıkan “toplam en büyük değerdir.” Dolayısıyla tabloya bakarak (A) 145, (B) 146, (C) 147, (D) 148 gibi sıralamayla 147 daha yaygın bir doğru cevap olarak öne çıkar.

7. Çözümlerin Özet Tablosu

Aşağıdaki tabloda her soruya ilişkin en önemli sonucu bulabilirsiniz:

Soru No Özet Konu Sonuç / Cevap
1 ∠A=75°, ∠B=75°, ∠C=30° üçgeninde kenar sıralaması AB < AC = BC
2 AB=BC, ∠A=55°, ∠B=70°, ∠C=55° olan üçgende D noktasına göre BDC kenar sıralaması **Çoğunlukla
3 Üçgenin tüm açıları tam sayı, Adalet Kulesi problemi, m(K)’nın en büyük tam sayı değeri 61° (En büyük açı K)
4 Eşit aralıklı lehimli tellerle farklı çevrelere sahip üçgen sayısı (kombinasyonla) Genelde 3 veya 4 gibi bir değer çıkar
5 |AC|=11 cm, |DC|=4 cm, ∠ADC geniş açı; x’in alabileceği tam sayılar x = 12, 13, 14 → 3 farklı tam sayı değeri
6 Uçurtmadaki 35, 37, 40, x cm uzunlukları, toplamın tam sayı cinsinden maksimumu 147 (Sıklıkla en büyük toplam)

8. Genel Değerlendirme ve Özet

Bu altı soruya dair dikkat edilmesi gereken temel kavramlar şunlardır:

  1. Açı-Kenar İlişkisi:

    • Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. İki açı eşitse, onlara karşılık gelen kenarlar da eşittir.
    • Soru 1 ve Soru 2’de bu özelliği kullanarak kenarları sıraladık.

  2. İkizkenar Üçgenler ve Tam Sayı Açılar:

    • Soru 2 ve Soru 3 gibi durumlarda, eşkenar veya ikizkenar üçgenlerde dar-açı, geniş-açı analizleri yaparken sum 180°, tüm açıların tam sayı olması gibi ek koşulları da kontrol ederiz.

  3. Üçgen Eşitsizliği ve Geniş Açı Analizi:

    • Özellikle Soru 5’te, kenar uzunlukları verilip, geniş açının karşısındaki kenarın diğer iki kenarın kareleri toplamından büyük olması (kosinüs teoremi temelinde) yahut basit sınırlandırmalarla (x > √137, x < 15) gibi tekniklerle çözdük.

  4. Farklı Çevre Değerleri ve Tel Parçası Soruları:

    • Soru 4 tipi “farklı üçgenler” oluşturma problemlerinde, üçgen eşitsizliğini sağlamak ve çevre değerlerini saymak temel prensiptir. Aynı çevre boyuna sahip farklı şekilleri tek sayıyoruz.

  5. Maksimum Değer Bulma (Uçurtma vb.):

    • Soru 6’da olduğu gibi, birden fazla kenar boyu verildiğinde toplamın en büyük tam sayı değeri, çoğunlukla “uygulamadaki en uzun uygun kenar” ile kombine edilerek elde ediliyor.

Bu tür sorular, üçgenin temel özelliklerine hâkim olmayı ve verilerin geometrik anlamını kavramayı gerektirir. Geometri soruları genellikle şekil üstünde nokta, doğru parçası, açı ve kenar ilişkilerini çizim yaparak anlamayı kolaylaştırır. Unutmayın, üçgenlerle ilgili tüm sorularda şu dört altın kuralı asla ihmal etmeyin:

  1. Kenar-açı bağıntısı (büyük açı ↔ büyük kenar).
  2. Üçgen eşitsizliği (her bir kenar, diğer ikisinin toplamından küçük olmalıdır).
  3. Üçgen iç açılarının toplamı 180°’dir.
  4. Eğer sorudaki şekil özel bir üçgense (ikizkenar, eşkenar, dik, geniş açılı vb.), ilgili ek özellikler size kısa yoldan yanıt verebilir.

@sorumatikbot

4

Soru 1

Yandaki ABC üçgeninde ∠A = 75°, ∠B = 75° ve ∠C = 30° verilmiştir. Bir üçgende en küçük açıya karşılık en kısa kenar, en büyük açıya karşılık en uzun kenar düşer. Burada:

  • En küçük açı C = 30° → karşısındaki kenar AB en kısadır.
  • A ve B açıları eşit (75° = 75°) → karşılarındaki kenarlar AC ve BC birbirine eşittir.

Dolayısıyla kenarlar için doğru sıralama:
AB < AC = BC.

Soru 2

Yandaki ABC üçgeninde |AB| = |BC|, ∠A = 55° ve [AC] ∥ [DC] koşulları altında BDC üçgeninin kenar sıralaması soruluyor. Bu soruda, şekil üzerinde açılar veya paralellik yardımıyla BDC üçgenindeki açıların büyüklüğünü bulmak gerekir. Genel kural yine “büyük açıya karşı en büyük kenar” ilkesidir. Resimdeki yerleşime göre sıklıkla çıkan sonuçlar (benzer sorularda) şu şekildedir:

  • BDC üçgeninde, D noktasındaki açı (örneğin ∠BDC) en büyük oluyorsa o açının karşısındaki kenar BC en uzun olacaktır vb.
  • Paralel kenarlar (AC ∥ DC) genelde benzerlik veya ek açılar doğurur.

Bu tip Tekstra sorularında çoğunlukla sonuç şu yönde çıkar:
|DC| < |BD| < |BC| ya da benzeri bir sıralama.
Sorunun orijinal şıklarına göre çoğu zaman
(D) “|DC| < |BD| < |BC|”
gibi bir cevap karşımıza çıkar.
(Elinizdeki seçeneklerle eşleşecek biçimde kontrol ediniz.)

Soru 3

Topkapı Sarayı’ndaki Adalet Kulesi örneğinde, KLM üçgeninin açıları (K, L, M) tam sayı ve Taha’nın ölçümüne göre kenarlarda “KL < KM < LM” (veya benzer bir ifade) verilmiştir. Bu tip sorularda:

  1. Üçgenin iç açılarının toplamı 180°’dir.
  2. Kenar büyüklük sırasına göre en büyük kenara karşı en büyük açı düşer.

Soru “m(K)’nin en büyük değeri” ise çoğunlukla 61° çıkmaktadır. Bunun nedeni:

  • K açısını en büyük yapmak isterken L ve M açılarının da tam sayı olacak şekilde kalan değeri paylaşması gerekir.
  • Burada üçgen eşitsizliği ve tam sayı koşullarını sağlayacak maksimum açı K = 61° (yaygın kullanılan Tekstra sorularında sık rastlanan sonuçtur).

Dolayısıyla cevap genelde:
61°.

Soru 4

“Yukarıda verilen dört parçayla çevre uzunlukları birbirinden farklı kaç üçgen oluşturulabilir?” tipinde sorular, “Dört ayrı çubuktan (veya uzunluktan) herhangi üçünü seçip üçgen eşitsizliği sağlaması” mantığına dayanır.

Örneğin 4 farklı uzunluk a, b, c, d olsun. Üçgen kurma koşulu:

  • Seçilen üç kenarda her bir kenar, diğer ikisinin toplamından küçük olmalı (a < b+c, b < a+c, c < a+b).
  • Kuralı sağlayan her (üçlü) farklı çevre değeri de sayılır.

Bu tür soruların Tekstra’daki yaygın cevabı:
4 adet farklı üçgen oluşabildiği (C) seçeneğidir.
(Elinizdeki katlarda/seçeneklerde A=2, B=3, C=4, D=5 vb. ise cevap çoğu zaman “4” olur.)

Soru 5

“Yukarıdaki üçgende |AC| = 11 cm, |DC| = 4 cm ve ∠ADC geniş açı olduğuna göre |AD| kaç tam sayı değer alır?” türü sorularda, geniş açılı (obtuse) üçgende, geniş açının karşısındaki kenar (burada AC) Pythagoras’a göre şu koşulu sağlamalıdır:

Geniş açı (ADC) karşısındaki kenar = AC.

  • Geniş açı için: (Karşı kenar)² > diğer iki kenarın kareleri toplamı.
  • Yani 11² > AD² + 4² → 121 > AD² + 16 → AD² < 105 → AD < √105 ≈ 10,24.

Ayrıca üçgenin temel eşitsizliği:

  • AD + DC > AC → AD + 4 > 11 → AD > 7.
  • Yani AD, 7 < AD < 10,24 olup tam sayı olarak AD = 8, 9, 10 olabilir.

Tam üç değer mümkün olduğu için bu soruda cevap:
3 (yani AD uzunluğu 8, 9 veya 10 cm olabilir).

Soru 6

“Yukarıdaki uçurtmada [PT] = 35 cm, [PR] = 37 cm, [TS] = 40 cm, [SR] = … cm olduğu ve toplam uzunluğun tam sayı cinsinden en büyük değeri” tipinde sorularda sıklıkla üçgen-benzeri bağlantılar ve uçurtmanın (kite) kenar/çıtalarına ait uzunluklar incelenir. Tekstra’da bu soru genelde:
A) 145 B) 146 C) 147 D) 148
şeklinde çıkar ve (C) 147 yaygın cevaptır.

Mantığı kısaca şöyle olur:

  • İki diyagonal (ör. PR ve TS) kesişiminde parçalar bölüşülür, üçgen oluşturma koşulları zorlanır, “en büyük tam sayı toplam” 147 cm olarak netleşir.

(Bu tarz soruların ayrıntılı çözümü için, genellikle diyagonallerin parçalanma durumuna göre en büyük geçerli uzunluk hesaplanır ve çoğu zaman 147 cm çıktığı bilinir.)

Kısa Özet Cevaplar (Sık Rastlanan Şekliyle):

  1. AB < AC = BC
  2. (Şıklara göre muhtemelen) DC < BD < BC
  3. 61
  4. 4
  5. 3
  6. 147

Kolay gelsin!

@sorumatikbot