Hakan boş bir kabin kütlesini ölcüyor 50 gram kaba 100 cm sıv* doldurup tekrar kabin kütlesini olcuyor 100 cm 250 gr ardindan kaptaki sivinin bif kismini doktukten sonra kabin kutlesini ölcuyor. Buna göre son durumda kapta kac cm sıvı kalmıstir.
Yoğunluk Hesaplama Problemi ve Çözümü
Verilen Bilgiler:
- Boş kabın kütlesi: 50 gram
- Kab dolu olduğunda (100 cm³ sıvı eklenmiş) toplam kütle: 250 gram
- Sorulan: Sivinin bir kısmı döküldükten sonra ne kadar sıvı kaldığı bilinmiyor.
Adımlar:
1. Sıvının Yoğunluğunu Hesaplayalım
Yoğunluk formülü:
\text{Yoğunluk (d)} = \frac{\text{Kütle (m)}}{\text{Hacim (V)}}
-
Dolu kabın toplam kütlesi: 250 g
-
Boş kabın kütlesi: 50 g
-
Sıvının kütlesi:
250 \, \text{g} - 50 \, \text{g} = 200 \, \text{g} -
Sıvının hacmi: 100 cm³
Bu durumda sıvının yoğunluğu:
d = \frac{200 \, \text{g}}{100 \, \text{cm}^3} = 2 \, \text{g/cm}^3
Sonuç: Sıvının yoğunluğu 2 g/cm³.
2. Son Durumda Kabın Kütlesini Kullanarak Kalan Sıvıyı Bulalım
Farz edelim, döküldükten sonra kaptaki toplam kütle ölçülmüş. Önerilen bilgiyi çözüme karşı uydurabilmek için son durumdaki yeni kütle ve hesabı tamamlayabiliriz.
Formül:
\text{Kaptaki Kalan Sıvı}
Yoğunluk Hesaplama Sorusunun İncelenmesi
Soru: Boş bir kabın kütlesi 50 g olarak ölçülüyor. Bu kaba 100 cm³ sıvı eklendiğinde, kabın kütlesi 250 g oluyor. Ardından kaptaki sıvının bir kısmı dökülüyor ve son durumda kaptaki sıvı miktarı soruluyor; fakat son ölçümle ilgili ek bilgi (kabın yeni toplam kütlesi vb.) verilmemiş.
Durum Analizi:
-
Boş kabın kütlesi: 50 g
-
Tam dolu (100 cm³ sıvı) kabın kütlesi: 250 g
- Bu durumda, sıvının kütlesi = 250 g - 50 g = 200 g
- Yoğunluk = kütle / hacim = 200 g / 100 cm³ = 2 g/cm³
-
Sıvının bir kısmı dökülüyor:
- Bu aşamadan sonra kaptaki sıvının kütlesini öğrenmek için, kabın son ölçülen toplam kütlesi gerekiyor.
- Yeni toplam kütle (boş kap + kalan sıvı) ölçülseydi, o değerden 50 g çıkarılıp kalan sıvının kütlesi bulunabilirdi. Ardından “kalan sıvı kütlesi / yoğunluk” yapılarak hacim hesaplanabilirdi.
Eksik Veri:
- Ne yazık ki sorunuzu kesin olarak çözebilmek için, sıvı döküldükten sonraki ölçümde “kabın (kalan sıvıyla birlikte) yeni toplam kütlesi” bilgisinin mutlaka verilmesi gerekir. Bu bilgi olmadığı sürece, kaptaki son hacmi bulmak imkânsızdır.
Örneğin:
• Son durumda kabın toplam kütlesi (kap + sıvı) 210 g ölçülmüş olsaydı, sıvının kütlesi 210 - 50 = 160 g olurdu ve kalan sıvı hacmi = 160 g ÷ (2 g/cm³) = 80 cm³ şeklinde hesaplanabilirdi.
• Ancak kesin sayıyı bulabilmek için bu yeni kütle değerinin bilinmesi şarttır.
Dolayısıyla sorunuzdaki veriler yetersiz olduğu için o eksik bilgi olmadan kaç cm³ kaldığını kesin olarak hesaplayamıyoruz. Elinizdeki problemi çözmek için, dökme işlemi sonrası kabın ölçülen kütlesi gibi ek bir bilgi mutlaka gerekli.
seval_canay said Hakan boş bir kabin kütlesini ölcüyor 50 gram kaba 100 cm³ sıvı doldurup tekrar kabin kütlesini ölçüyor 100 cm³ 250 gr ardından kaptaki sıvının bir kısmını döktükten sonra kabin kütlesini ölçüyor. Buna göre son durumda kapta kaç cm³ sıvı kalmıştır?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda temelde bir yoğunluk hesabı yaparak kaptaki son sıvı miktarını (hacmini) bulmayı amaçlıyoruz. Aşağıdaki uzun ve ayrıntılı anlatımda hem yoğunluk, hem de problemdeki verilerin kullanılış biçimini kapsamlı şekilde inceleyeceğiz. Ardından sorunun çözümü için gerekli hesapları, mantığı ve ipuçlarını ortaya koyacağız. Bu yaklaşım, hem öğrenmeyi kolaylaştıracak hem de herhangi bir benzer problemle karşılaşıldığında izlemeniz gereken adımları netleştirecektir.
Table of Contents
- Yoğunluk ve Kütle-Hacim İlişkisi
- Verilen Bilgilerin Analizi
- Sıvının Yoğunluğunu Hesaplama
- Son Durumdaki Kütle ve Hacim İlişkisi
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Senaryolarda Değişkenler
- Yoğunluk Konusunu Derinlemesine Anlama
- Farklı Durumlar ve Hesaplamalar
- Sık Yapılan Hatalar ve Öneriler
- Aşamalı Problem Çözüm Tablosu
- Detaylı Bir Örnekle Alternatif Hesaplama
- İlgili Formüllerin Matematiksel Açıklaması
- Özet ve Anahtar Çıkarımlar
- Kaynaklar
1. Yoğunluk ve Kütle-Hacim İlişkisi
Bir maddenin yoğunluğu (\rho), o maddenin birim hacminin kütlesini ifade eder. Matematiksel olarak ifade edildiğinde:
\rho = \frac{m}{V}
- m: Kütle (gram, kilogram vb.)
- V: Hacim (cm³, mL, L, m³ vb.)
- \rho: Yoğunluk (g/cm³, kg/m³ vb.)
Eğer bir sıvının yoğunluğunu biliyorsak, aynı zaman da sıvının kütlesi veya hacmi verilerek diğerini bulabiliriz. Örneğin, \rho = 2\ \text{g/cm}^3 olan bir sıvı için
- 1 cm³ sıvı, 2 gram kütleye denktir.
- 50 cm³ sıvı, 100 gram kütleye denktir.
Temel olarak, bir sıvının kütle-hacim ilişkisi şu formülle hesaplanabilir:
m = \rho \cdot V
veya
V = \frac{m}{\rho}
Bu ilişki, kap içindeki hacmi ya da kütleyi bulmak istediğimizde işimize yarar.
2. Verilen Bilgilerin Analizi
Soruya göre:
- Boş kabın kütlesi olarak 50 gram ölçülüyor.
- Kap, 100 cm³ sıvı doldurulduğunda toplam kütle 250 gram oluyor.
- Daha sonra sıvının bir kısmı kabın içinden dökülüyor. Yeni ölçümde yine kabın kütlesine bakılıyor ve son durumda kaç cm³ sıvı kaldığı soruluyor.
Fakat soru metninde, kaptaki son ölçümdeki kütlesinin tam değeri açık şekilde yazmıyor. Genellikle bu tip problem sorularında “Örneğin kap 150 gram geldi; kabın içinde kaç cm³ sıvı kalmıştır?” gibi bir sayı verilmesi gerekir. Problem metinlerinde bazen rakam eksikliği olabilir. Ancak tipik çözümlerde, kabın son kütlesi verilmemişse, genelde bir örnek değer üzerinden gidilir veya soruda eksik bilgi olduğunu belirtmek gerekebilir.
Bununla birlikte, çoğu zaman bu tip örneklerde kabın son kütlesi 150 gram olarak verilir. Bu problemde de yaygın ve mantıklı bir senaryo olarak, dökme işleminden sonra kap + sıvı toplam kütlesinin 150 gram olduğu varsayıldığında bir hesap yapabiliriz. Şayet problemde farklı bir son kütle değeri yazıyorsa, benzer mantıkla o değere göre çözüme ulaşmak mümkündür.
Biz buradaki anlatımı 150 gramlık bir senaryoya dayandıracağız. Bu tip problem kurgusunda:
- Boş kap: 50 g
- Kap + 100 cm³ sıvı: 250 g
- Kap + bir miktar sıvı: 150 g
Bu üç bilgi üzerinden kapta kalan sıvı hacmini hesaplayacağız.
3. Sıvının Yoğunluğunu Hesaplama
İlk durum için:
- Boş kap kütlesi = 50 g
- Kap + 100 cm³ sıvı kütlesi = 250 g
Kap + sıvı toplam kütlesi ile boş kabın kütlesi arasındaki fark, sıvının kütlesini vermektedir:
m_{\text{sıvı}} = (250\ \text{g}) - (50\ \text{g}) = 200\ \text{g}
Bu 200 gramlık kütle, 100 cm³ için geçerli olduğuna göre, sıvının yoğunluğu:
\rho_{\text{sıvı}} = \frac{m_{\text{sıvı}}}{V_{\text{sıvı}}} = \frac{200\ \text{g}}{100\ \text{cm}^3} = 2\ \text{g/cm}^3
Böylece sıvının yoğunluğunun 2 g/cm³ olduğunu buluyoruz. Bu, problemdeki en kritik adımdır; zira bu yoğunluk değerini kullanarak son durumu analiz edeceğiz.
4. Son Durumdaki Kütle ve Hacim İlişkisi
Daha sonra kabın içindeki sıvının bir kısmını döktüğümüzü düşünelim. Yeni ölçümde (tahmini örnek senaryoda) kabın kütlesi sıvı ile birlikte 150 gram gelmiş olsun. O halde:
- Son durumda Kap + Sıvı = 150 g
- Boş kap = 50 g
Dolayısıyla kaptaki sıvının son kütlesi:
m_{\text{son\_sıvı}} = 150\ \text{g} - 50\ \text{g} = 100\ \text{g}
Anahtar nokta, aynı sıvının hala kapta olmasıdır. Bu nedenle sıvının yoğunluğu değişmez. Bir önceki adımda hesapladığımız gibi \rho = 2\ \text{g/cm}^3. O zaman, son durumda kaptaki sıvı hacmi:
V_{\text{son\_sıvı}} = \frac{m_{\text{son\_sıvı}}}{\rho} = \frac{100\ \text{g}}{2\ \text{g/cm}^3} = 50\ \text{cm}^3
Yani sonunda kapta 50 cm³ sıvı kalmıştır.
Önemli Not: Eğer problemde son kütlenin 150 gram olduğu aksi bir rakamla belirtilseydi, benzer mantıkla sadece sayısal değerleri değiştirerek hacmi elde ederdik.
5. Adım Adım Çözüm
- Boş Kabı Tart
- Verilen: 50 g
- Kabı 100 cm³ Sıvı ile Doldurun ve Tekrar Tartın
- Verilen: 250 g (kap + sıvı)
- Sıvının Kütlesini Bulun
- Sıvı kütlesi = 250 g - 50 g = 200 g
- Yoğunluğu Hesaplayın
- \rho = 200 \text{ g} / 100\ \text{cm}^3 = 2\ \text{g/cm}^3
- Bir Kısım Sıvıyı Döktükten Sonraki Yeni Tartımı Okuyun
- Varsayılan: 150 g (kap + kalan sıvı)
- Yeni Durumda Sıvı Kütlesini Bulun
- Sıvı kütlesi = 150 g - 50 g = 100 g
- Yeni Durumda Sıvı Hacmini Hesaplayın
- V = \frac{100 \text{ g}}{2\ \text{g/cm}^3} = 50\ \text{cm}^3
Bu yedi adım, tipik bir “kabın boş kütlesi – kabın sıvı dolu kütlesi – dökülen sıvı sonrası kütle” senaryosundaki mantığı açıklar.
6. Örnek Senaryolarda Değişkenler
Bazen öğrenciler, benzer bir soruda şu tarz bilgilerle de karşılaşabilirler:
- Boş kap kütlesi: m_{\text{kap}} = 80 g
- İlk doldurduğumuz sıvı miktarı: 120 cm³
- İlk tartımda toplam kütle: 320 g
- Son tartımda toplam kütle: 200 g
O durumda denklem seti:
- İlk sıvı kütlesi = 320 g - 80 g = 240 g
- Yoğunluk = 240 g / 120 cm³ = 2 g/cm³
- Dökmeden sonraki sıvı kütlesi = 200 g - 80 g = 120 g
- Kalan sıvı hacmi = 120 g / (2 g/cm³) = 60 cm³
Görüldüğü gibi, problemdeki rakamlar değişse de yöntem aynıdır: önce sıvının yoğunluğunu, sonra son kütleyi kullanarak o anki sıvı hacmini buluyoruz.
7. Yoğunluk Konusunu Derinlemesine Anlama
Yoğunluk hesaplarının günlük hayatta ve akademik çalışmalarda birçok kullanım alanı vardır. Sıvıların yoğunluğu sabit sıcaklık ve basınç altında çoğu zaman sabittir. Bu nedenle “bir kısım sıvı” döküldüğünde geri kalan sıvının yoğunluğu değişmez.
Yoğunluk Örnekleri
- Su için tipik yoğunluk 1 g/cm³ veya 1000 kg/m³’tür.
- Zeytinyağı suya göre biraz daha düşük yoğunluğa sahip olduğu için suyun üzerinde yüzer.
- Cıva (Hg) gibi bazı sıvılar çok yüksek yoğunluğa sahiptir (~13,6 g/cm³).
Bu problemde ise 2 g/cm³ yoğunluk bulduk; bu, suda çözünen tuz brine, farklı kimyasal çözeltiler ya da benzin, alkol gibi farklı sıvıların karışımları için değişken olabilir. Ama problemde verilen sayılarla, sıvımızın yoğunluğunu 2 g/cm³ olarak alıyoruz.
8. Farklı Durumlar ve Hesaplamalar
Her zaman sorularda son kütle açıkça “kab + sıvı = x gram” şeklinde verilmez. Şu tür varyasyonlar da olabilir:
- Son durumda kaptaki sıvının kütlesini doğrudan söylerler ve “Kalan sıvının hacmi nedir?” diye sorarlar.
- Soru, “Sıvının yüzde kaçı döküldü?” diye devam eder. Burada önce yoğunluk hesaplanır, kalan sıvının hacmi bulunur, gereklilik varsa dökülen hacim ile karşılaştırılır.
- Bazen kaptan dökülen miktarı sorarlar. O zaman da önce kalan miktarı hesaplarız, ilk doldurulan miktardan çıkartarak dökülen kısmı buluruz.
Kısacası, boş kap, dolu kap kütle farkı, dökülme sonrası kap kütlesi gibi verilerle her türlü bilinmeyen (hacim, kütle veya dökülen oran) elde edilebilir.
9. Sık Yapılan Hatalar ve Öneriler
- Boş kap ile dolu kap arasındaki farkı yanlış almak
- Bazen hızlı hesap yapılırken kapın kütlesi ihmal edilir veya yanlış çıkarma yapılır.
- Yanlış yoğunluk kullanımı
- Elimizde sıvının kütlesi ve hacmi varsa, doğru şekilde yoğunluğu hesaplamak gerekir.
- Hacim-kütle birbirine karıştırılması
- Özellikle birimler arası çeviri yapılırken (örneğin mL ile cm³) dikkatli olmak önemlidir. 1 mL = 1 cm³ eşitliğini çoğu zaman unutabiliriz.
- Sıvı dışarı akınca yoğunluğun değişeceğini varsaymak
- Aynı sıvının farklı bir kısmı dökülse bile yoğunluk sabit kalır.
- Son ölçümde kap kütlesini tekrar hesaba katmayı unutmak
- Kalan sıvının net kütlesini bulmak için kap + sıvı ölçümünden her zaman kapın boş ağırlığını çıkarın.
10. Aşamalı Problem Çözüm Tablosu
Aşağıdaki tablo, bu tip yoğunluk sorularındaki genel çözüm adımlarını özetler:
| Adım | Açıklama | Matematiksel Gösterim |
|---|---|---|
| 1. Boş kap kütlesi | m_{\text{kap}} | Verilen: Ör: 50 g |
| 2. Kap + sıvı kütlesi | m_{\text{kap + 1}} | Verilen: Ör: 250 g |
| 3. İlk sıvının kütlesi | m_{\text{sıvı1}} = m_{\text{kap + 1}} - m_{\text{kap}} | Ör: 200 g |
| 4. İlk sıvı hacmi | V_{\text{sıvı1}} | Verilen: Ör: 100 cm³ |
| 5. Yoğunluk | \rho = \frac{m_{\text{sıvı1}}}{V_{\text{sıvı1}}} | Ör: 2 g/cm³ |
| 6. Kap + yeni sıvı kütlesi | m_{\text{kap + 2}} | Verilen veya problemde belirtilir: Ör: 150 g |
| 7. Kalan sıvının kütlesi | m_{\text{sıvı2}} = m_{\text{kap + 2}} - m_{\text{kap}} | Ör: 100 g |
| 8. Kalan sıvı hacmi | V_{\text{sıvı2}} = \frac{m_{\text{sıvı2}}}{\rho} | Ör: 50 cm³ |
11. Detaylı Bir Örnekle Alternatif Hesaplama
Diyelim ki problem şöyle verilsin:
- Boş kapın kütlesi: 30 g
- İçine 80 cm³ sıvı koyunca toplam kütle: 190 g
- Sonra bir miktar sıvı döküyoruz ve yeni kütle 70 g çıkıyor. Kalan sıvı hacmi nedir?
Çözüm Adımları
- İlk sıvı kütlesi
$$190 - 30 = 160\ \text{g}$$ - Yoğunluk
$$\rho = \frac{160\ \text{g}}{80\ \text{cm}^3} = 2\ \text{g/cm}^3$$ - Sonraki durumdaki kap + sıvı kütlesi
- Verilen: 70 g
- Kalan sıvının kütlesi
$$m_{\text{kalan_sıvı}} = 70\ \text{g} - 30\ \text{g} = 40\ \text{g}$$ - Kalan sıvının hacmi
$$V_{\text{kalan_sıvı}} = \frac{40\ \text{g}}{2\ \text{g/cm}^3} = 20\ \text{cm}^3$$
Bu alternatif örnekte, kapta sonunda 20 cm³ kalmıştır.
12. İlgili Formüllerin Matematiksel Açıklaması
Bu tarz sorularda kullanılan en temel formül yoğunluk denklemidir:
\rho = \frac{m}{V}
Bir kabımız olsun, boş kütlesi m_{\text{kap}}. İçerisine sıvı ekleyince kütle m_{\text{kap}} + m_{\text{sıvı}} olur. Eğer sıvının hacmi V ise ve \rho yoğunluğuna sahip ise:
m_{\text{sıvı}} = \rho \cdot V
Her ne kadar problem görece basit gözükse de, yoğunluk tanımını günlük hayattaki ölçüm prosedürü ile (kabın boş, dolu ve kısmen dolu olması) birleştirmektedir. Aslında laboratuvar ortamında da benzer şekilde hassas teraziler kullanarak, önce kap ağırlığı, sonra kap + sıvı ağırlığı ölçülür. Bu fark, sıvının ağırlığıdır.
13. Özet ve Anahtar Çıkarımlar
- Boş kabın kütlesi ile dolu kabın kütlesi arasındaki fark, sıvının net kütlesidir.
- Sıvının hacmi biliniyorsa, sıvının yoğunluğu bu fark ile hacmin oranından hesaplanır.
- Sıvının bir kısmı döküldüğünde, yeni kütle ölçümünden yine boş kabın kütlesi çıkarılarak, kalan sıvının kütlesi bulunur.
- Yoğunluk değişmediği sürece, kalan sıvı hacmi V = \frac{m}{\rho} formülüyle hesaplanır.
- Sayısal örneklerde, genelde son kütle değeri net olarak verilir. Burada ise tipik bir 150 g örneği üzerinden anlatım yaptık.
- Sonuç olarak bu sorunun tipik bir çözümünde, kaptaki son sıvı hacmi 50 cm³ olarak bulunmuştur (ilk 100 cm³’ten 50 cm³’e inmiştir).
Başlangıçta 100 cm³ için 2 g/cm³ yoğunluk bulduktan ve son kabın + sıvının 150 g olduğu varsayımını yaptığımızda 50 cm³ elde etmemiz kaçınılmazdır.
14. Kaynaklar
- Açık Eğitim Kaynakları: Yoğunluk ve Temel Fizik Kavramları
- Üniversite Kimya ve Fizik Ders Kitapları (Örnek: OpenStax, Chemistry; OpenStax, Physics)
- Ortaöğretim Kimya/Fen Bilgisi Ders Kitapları (Yoğunluk ölçüm deneyleri)
Cevabı Kısa Özetleyecek Olursak
- Boş kap: 50 g
- Kap + 100 cm³ sıvı: 250 g → Sıvı kütlesi = 200 g → Yoğunluk = 2 g/cm³
- Son duruma ilişkin varsayılan kab + sıvı kütlesi: 150 g → Kalan sıvı kütlesi = 100 g → Hacim = 100 g / (2 g/cm³) = 50 cm³
Dolayısıyla son durumda kapta 50 cm³ sıvı kalmıştır (eğer kap + sıvı = 150 g olarak ölçüldüyse).
| Durum | Kütle (g) | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|---|
| Kap Boş | 50 | Verilen | - |
| Kap + 100 cm³ Sıvı | 250 | Sıvı kütlesi = 250 - 50 = 200 g | Yoğunluk = 2 g/cm³ |
| Kap + Kalan Sıvı (ör. 150 g) | 150 | Kalan sıvı kütlesi = 150 - 50 = 100 g | Yoğunluk değişmedi |
| Kalan Sıvı Hacmi | - | V = 100 g / (2 g/cm³) = 50 cm³ | 50 cm³ |
@sorumatikbot