Sorunun Çözümü
Verilen Bilgiler:
- Dikdörtgenin kısa kenarı: 15 cm
- Uzun kenarı: 45 cm
- Şekil-II’de \tan{\alpha} = \frac{3}{4} verilmiş. Bu durumda \alpha açısının özellikleriyle ilişkilendirilecek.
Geometrik Analiz:
-
Şekil-II’deki dönüşüm:
Dikdörtgen şekilde dikeyden yataya bir dönüşüm geçirmekte. Köşe noktası A sabit olup, dikdörtgen \alpha açısı kadar döndürülmüştür. -
Yeni konumların analizi (B ve C noktaları):
- Şekil-II’de, B ve C noktalarının yerden yüksekliğini bulmalıyız.
- Şekil-II’de açılardan \sin{\alpha} ve \cos{\alpha} kullanılarak yüksekliği hesaplayabiliriz.
Trigonometrik Oranlar ve Açılar:
- \tan{\alpha} = \frac{3}{4} olduğuna göre, dik üçgende karşı kenar 3k ve komşu kenar 4k olarak alınır. Hipotenüsü \sqrt{3k^2 + 4k^2} = 5k çıkar.
Bu durumda:
- \sin{\alpha} = \frac{karşı}{hipotenüs} = \frac{3}{5}
- \cos{\alpha} = \frac{komşu}{hipotenüs} = \frac{4}{5}
Hesaplamalar:
1. B’nin Yerden Yüksekliği:
- B noktası başlangıçta dikdörtgenin alt kenarındadır (tabanın başlangıcı). Şekil döndürüldükten sonra:
2. C’nin Yerden Yüksekliği:
C noktası dikdörtgenin üst kenarında. Dikey yükseklik \sin{\alpha} cinsinden hesaplanır:
Toplam Yükseklik:
B ve C noktalarının yüksekliklerinin toplamı:
Ancak, C burada yatayda değil 54 anlam. .
Sorunun Çözümü
Verilen Bilgiler:
- Dikdörtgenin kısa kenarı: 15 cm
- Dikdörtgenin uzun kenarı: 45 cm
Trigonometrik Veriler:
- \tan{\alpha} = \frac{3}{4} olduğuna göre, \alpha açısı ile ilgili trigonometri oranları:
- Karşı kenar: 3 birim
- Komşu kenar: 4 birim
- Hipotenüs:\sqrt{3^2 + 4^2} = 5
- \sin{\alpha} = \frac{3}{5}
- \cos{\alpha} = \frac{4}{5}
Yüksekliklerin Hesaplanması:
1. B Noktasının Yüksekliği:
B noktası, dikdörtgenin uzun kenar ucunda bulunur. Döndürme sonrası, B’nin yüksekliği:
2. C Noktasının Yüksekliği:
C noktası, dikdörtgenin kısa kenar ucunda bulunur. Döndürme sonrası, C’nin yüksekliği:
Toplam Yükseklik:
B ve C noktalarının yerden yüksekliklerinin toplamı:
Cevap:
Yanıt, C) 48 olmalı refer kısmını sep değerlend connecting
Kısa kenarı 15 cm ve uzun kenarı 45 cm olan dikdörtgen biçimindeki ABCD levhası, A köşesi sabit kalacak şekilde D köşesi duvara değene kadar döndürüldüğünde, tan α = 3/4 verildiğine göre B ve C köşelerinin yeni konumlarının yerden yükseklikleri toplamı kaçtır?
Cevap:
1. Problemin İncelenmesi
Bu problemde elimizde 15 cm (kısa kenar) ve 45 cm (uzun kenar) uzunluklarına sahip bir dikdörtgen (ABCD) vardır. Başlangıçta, şekil yatay zeminde “AB” kenarı üzerinde durmaktadır (Şekil - I). Ardından, A köşesi yere sabit kalırken dikdörtgen saat yönünde döndürülüp, D köşesi dikey duvara (O) temas edene kadar hareket etmektedir (Şekil - II).
Yeni konumda:
- A noktası yine yerde (zeminde) sabit durmaktadır.
- D noktası duvara dokunmakta ve bu sırada (ODA) = α açısı olmak üzere tan α = 3/4 verilmektedir.
- Bizden istenen, B ve C köşelerinin yeni konumlarında geldikleri noktaların yerden (zeminden) yüksekliklerinin toplamını bulmaktır.
Bu tip bir dönme hareketinde, dikdörtgenin tüm kenar uzunlukları değişmez. Dolayısıyla:
- AD kenarı her zaman 45 cm,
- AB kenarı her zaman 15 cm olacaktır.
2. Koordinat Sistemi ve Temel Varsayımlar
Problemi çözebilmek için yararlı bir yöntem, duvar ile zeminin kesişimini O(0,0) olacak biçimde bir koordinat sistemi kurmaktır:
- x-Ekseni: Zemin boyunca uzanıyor, pozitif yön sağa doğrudur.
- y-Ekseni: Duvar boyunca uzanıyor, pozitif yön yukarı doğrudur.
Bu tanımla, duvar x=0 doğrusu olurken zemin y=0 doğrusuna denk gelir.
2.1 A ve D Noktalarının Konumları
Dikdörtgen döndüğünde:
- A noktası yerde (y=0) kaldığı için koordinatları (x_A, 0) şeklinde olacaktır.
- D noktası duvarda (x=0) kaldığı için koordinatları (0, y_D) şeklindedir.
- AD = 45 \text{ cm} her zaman sabittir.
Bu durumda,
2.2 Tan α = 3/4 Koşulunun Yorumlanması
Şekil-II’de \alpha açısı, genellikle AD kenarının duvarla (y-Ekseni ile) yaptığı açı veya D noktasında tanımlanan açı şeklinde verilir. Problem bize “$\tan \alpha = 3/4$” değerini sunmaktadır. Dik üçgenlerde:
- Tanjant (tanjant) değeri = (karşı kenar) / (komşu kenar).
- “3-4-5” üçgeni bunun en bilinen örneklerinden biridir.
Burada, \tan \alpha = 3/4, bir 3-4-5 oranını akla getirmektedir.
- Eğer AD = 5k ise, “karşı” ve “komşu” kenarlar 3k ve 4k olabilir.
- AD = 45 cm, dolayısıyla 5k = 45 \implies k = 9.
- Karşı kenar 3k = 3 \times 9 = 27, komşu kenar 4k = 4 \times 9 = 36.
Bu şu anlama gelir:
- A noktası zeminde (x_A,0),
- D noktası duvarda (0,y_D),
- Uzunluk AD = 45 cm,
- Yatay uzaklık (A’dan D’ye) = 27 cm,
- Dikey uzaklık (A’dan D’ye) = 36 cm,
- x_A^2 + y_D^2 = 2025 ve \frac{\text{karşı}}{\text{komşu}} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} uyumludur.
Ancak hangi kenarın karşı, hangisinin komşu olduğu sorusu $\alpha$’nın duvarla yaptığı açıya bağlıdır. Pratikte:
- A noktasının zeminde bir miktar uzakta (27,0),
- D noktasının duvarda (0,36)
olduğunu kabul edersek, AD=45 cm koşulu sağlanır ve \tan \alpha = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} elde edilir.
Dolayısıyla:
- A = (27, 0)
- D = (0, 36)
3. B ve C Noktalarının Konumları
Dikdörtgende:
- AB ve DC kenarları birbirine eşit ve paraleldir (kısa kenarlar, 15 cm),
- AD ve BC kenarları birbirine eşit ve paraleldir (uzun kenarlar, 45 cm),
- AB dik (yani 90° açıyla) AD’ye bağlıdır.
Başlangıçta AB = 15 cm yatay durumdayken, dönme sonucu AB “AD” ye halen dik kalır. Başka bir deyişle, vektör \overrightarrow{AB}, vektör $\overrightarrow{AD}$’ye diktir.
3.1 Vektör Dönüşümüyle B’nin Konumu
- \overrightarrow{AD} = D - A = (0 - 27,\, 36 - 0) = (-27,\, 36).
- Uzunluğu 45 cm’dir (zaten biliyoruz).
- \overrightarrow{AB}, $\overrightarrow{AD}$’ye dik olup 15 cm uzunluğunda olmalıdır.
Bir düzlemde iki dik vektör elde etmek için, $\overrightarrow{v}’nin saat yönündeki 90° dönüşü (yani -90°’lük dönüş) “(x,y) \mapsto (y, -x)$” kuralıyla bulunur.
$\overrightarrow{AD} = (-27,, 36)$’yı saat yönünde 90° döndürürsek:
- Bu yeni vektör (36, 27), $\overrightarrow{AD}$’ye diktir; ancak uzunluğu da 45’tir (çünkü orijinalin uzunluğu 45, dönme uzunluğu değiştirmez).
- Oysa bizim istediğimiz \overrightarrow{AB} = 15 cm olmalıdır. Dolayısıyla $(36, 27)’yi \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$ oranında kısaltmamız gerekir.
Buna göre,
Yani B noktası, yeni konumunda (39, 9) koordinatlarına sahiptir; dolayısıyla yerden yüksekliği 9 cm’dir.
3.2 C Noktasının Konumu
Dikdörtgende BC = AD = 45 cm ve \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AD} ile aynıdır (paralel ve eşit uzunlukta). Dolayısıyla:
O halde,
Yukarıdaki hesapla C noktası (12, 45) koordinatlarında yer alır. Bu durumda C’nin zeminden yüksekliği 45 cm olur.
4. Yerden Yüksekliklerin Toplamı
Bizden istenen, B ve C noktalarının yerden yükseklikleri (y-eşitlikleri) toplamıdır:
- B_{y} = 9 cm,
- C_{y} = 45 cm,
- Toplam = 9 + 45 = 54 cm.
Bu sonuç, çoktan seçmeli seçeneklerden E şıkkı (54) ile uyumludur.
5. Hesaplamaların Tablosu
Aşağıdaki tabloda, nihai konumda elde ettiğimiz noktaların koordinatlarını ve yüksekliklerini özetleyebiliriz:
| Nokta | Koordinatlar | Yerden Yükseklik (y) | Kenar Uzunluğu Bilgisi |
|---|---|---|---|
| A | (27, 0) | 0 cm | Sabit nokta, döndürme merkezi |
| D | (0, 36) | 36 cm | AD = 45 cm |
| B | (39, 9) | 9 cm | AB = 15 cm |
| C | (12, 45) | 45 cm | BC = 45 cm (AD’ye paralel) |
Buradan da görüleceği gibi, B’nin yüksekliği 9 cm, C’nin yüksekliği 45 cm olup, toplam 54 cm’dir.
6. Adım Adım Kısa Özet
- Dikdörtgenin Ölçüleri: Kısa kenar = 15 cm, uzun kenar = 45 cm.
- Tan α = 3/4 ipucundan 3-4-5 üçgen ölçeklendirmesi: 45 cm → 5 × 9 = 45, dolayısıyla 3 × 9 = 27, 4 × 9 = 36.
- A ve D Koordinatları: A(27, 0), D(0, 36).
- AB Kenarının Yönü: AD vektörünü saat yönünde 90° döndürüp uygun ölçekle 15 cm elde ettik → B(39, 9).
- C Noktası: C = B + (D - A) = (12, 45).
- Yükseklik Toplamı: B’nin yüksekliği 9 cm, C’nin yüksekliği 45 cm → toplam 54 cm.
7. Sonuç
Bütün bu adımlar sonucunda, B ve C köşelerinin yeni konumlarında yerden yüksekliklerinin toplamı 54 cm bulunur.
Soru:
Kısa kenarı 15 cm ve uzun kenarı 45 cm olan dikdörtgen biçimindeki ABCD levhası, başlangıçta Şekil–I’deki gibi yerde A ve B noktaları üzerinde dururken, A köşesi sabit kalacak biçimde döndürülüp D noktası duvara değene kadar kaldırılıyor. Şekil–II’de, m(ODA) = α olmak üzere tan α = 3/4 verildiğine göre, B ve C köşelerinin yeni konumlarının yerden yükseklikleri toplamı kaçtır?
A) 40 B) 45 C) 48 D) 50 E) 54
Çözüm:
Bu problemde dikdörtgenin bir köşesi (A) sabit kalırken, karşı köşe (D) duvara değecek biçimde levha döndürülmektedir. Verilen:
- AB = 15 cm (kısa kenar),
- BC = AD = 45 cm (uzun kenar),
- m(ODA) = α olup tan α = 3/4.
Burada O, zeminin (yatay) ve duvarın (dikey) kesiştiği nokta; A zeminde sabit, D ise duvarla temas edecek şekilde döndürülmüş durumdadır. Koordinat düzleminde şu şekilde yerleştirebiliriz:
• O noktasını orijin (0, 0),
• A noktasını (x, 0) (yerde bir nokta),
• D noktasını (0, y) (duvarda bir nokta),
• AD = 45 olduğu için üçgen OAD’de OA^2 + OD^2 = AD^2 = 45^2 = 2025,
• Duvar ve yer birbirine dik olduğundan, ∠O = 90° olur ve tan α = tan(∠D) = (karşı kenar)/(komşu kenar) = OA/OD = 3/4.
Bu oranı OA = 3k, OD = 4k şeklinde yazdığımızda,
Dolayısıyla
• OA = 3k = 27 cm,
• OD = 4k = 36 cm.
Böylece A = (27, 0) ve D = (0, 36) konumundadır.
B ve C noktalarının yükseklikleri
Levha ABCD dikdörtgen olduğu için AB dik AD’ye ve |AB| = 15 cm’dir. A→D vektörü ‹–27, 36› olup uzunluğu 45’tir. Buna dik ve uzunluğu 15 olan vektörü bulmak için (–27, 36)’ya dik yön ‹36, 27› kullanılabilir; bu vektörün uzunluğu da 45’tir, dolayısıyla onu 15/45 = 1/3 ile ölçekleyip A’dan başlayarak B’yi buluruz:
- Birim dik vektör:
‹36, 27›’nin uzunluğu 45’tir, bu yüzden (1/45)‹36, 27› = ‹0.8, 0.6›. - AB vektörü = 15 × ‹0.8, 0.6› = ‹12, 9›.
- B noktası = A + AB = (27, 0) + (12, 9) = (39, 9).
C noktası ise B’den D’ye uzanan aynı “45 cm’lik” vektörle bulunur (yani B→C = A→D = ‹–27, 36›):
C = B + (–27, 36) = (39 – 27, 9 + 36) = (12, 45).
• B noktasının yerden yüksekliği yB = 9 cm,
• C noktasının yerden yüksekliği yC = 45 cm.
Bu iki yüksekliğin toplamı:
Dolayısıyla sorunun doğru cevabı 54 (E seçeneği) olur.
Cevap: 54
@username