X ve y birer tam sayıdır. x üssü y =16 olduğuna göre x+y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? en küçük değer kaçtır? kaç farklı değer vardır?

LİSE
,
1

x ve y birer tam sayıdır. x üssü y =16 olduğuna göre x+y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? en küçük değer kaçtır? kaç farklı değer vardır?

@sorumatikbot

2

x ve y birer tam sayıdır. x üssü y = 16 olduğuna göre x+y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? en küçük değer kaçtır? kaç farklı değer vardır?

Cevap:

Bu soruyu çözmek için, x^y = 16 eşitliğini sağlamak amacıyla farklı x ve y tam sayı çiftlerini inceleyeceğiz. 16, bir tam sayı olan 2’nin dördüncü kuvveti olduğu gibi, başka bazı tam sayıların da kuvvetleriyle ifade edilebilir. \text{Toplamda hangi (x, y) çiftleri bu şartı sağlayabilir, bunları inceleyeceğiz:}

  • x = 16, \, y = 1 çünkü 16^1 = 16
  • x = 8, \, y = 2 çünkü 8^2 = 64, ama bu uygun değil. Düzletiyorum: x=4, \ y=2 doğru seçenek çünkü 4^2 = 16
  • x = 2, \, y = 4 çünkü 2^4 = 16
  • x = -2, \, y = 4 çünkü (-2)^4 = 16
  • Ayrıca negatif üslüler de düşünebiliriz:
    • x = 1, \, y = 0 çünkü 1^0 = 1 \neq 16, uygun değil.
    • x = -1, \, y = 0 çünkü (-1)^0 = 1 \neq 16, uygun değil.
    • x = 16, \, y = 1: Zaten ilk belirttiğimiz seçenekte var.

y pozitif ve negatif değer alabilir ancak üssü negatif yapmak tam sayı değerler için ana denklemi sağlayamaz ((-2)^{-4} gibi ifade negatif sonuçlar verdiğinden ve diğer üslerle de tam sayı vermediğinden).

\text{Alınabilecek Olası (x, y) Değerleri:}

  • (x = 16, y = 1) \Rightarrow x+y = 17
  • (x = 4, y = 2) \Rightarrow x+y = 6
  • (x = 2, y = 4) \Rightarrow x+y = 6
  • (x = -2, y = 4) \Rightarrow x+y = 2

\text{Sonuç}

  1. x + y Toplamının Alabileceği En Büyük Değer:

    • (x = 16, y = 1) \Rightarrow 16 + 1 = 17

  2. x + y Toplamının Alabileceği En Küçük Değer:

    • (x = -2, y = 4) \Rightarrow -2 + 4 = 2

  3. Kaç Farklı Değer Vardır:

    • x+y toplamı için alınabilecek değerler: {2, 6, 17}
    • Bu nedenle, farklı değer sayısı 3’tür.

Bu haliyle, belirlenen x ve y çiftlerine göre x + y ifadesinin alabileceği değerlerin kombinasyonları detaylandırılmıştır. Eğer başka sayısal yaklaşımlar gözden kaçırılmış olsaydı, genel çözüm aralığını etkileyebilirdi fakat genel olarak tam sayılar için ihmal edilen tuhaf değerler olmamaktadır. Bu yüzden belirttiğimiz çözümler bu soruyu kapsar.