(x+1 üssü 3x+7)=1 ise
denkleminin reel sayıdardaki çözüm kümesi nedir?
Ela_Altundaş dedi ki: ( (x+1)^{3x+7} = 1 ) ise denkleminin reel sayılardaki çözüm kümesi nedir?
Cevap:
Bu denklemi çözmek için, üs’ün sonucu 1 olan olasılıkları incelememiz gerekiyor. ( (a)^b = 1 ) olacak şekilde birkaç farklı senaryo olabilir:
Adım 1: Birlik Olasılıkları
- ( a = 1 ): Üssü ne olursa olsun 1’in herhangi bir kuvveti 1’dir.
- ( a = -1 ) ve ( b ) tek bir tam sayı: Negatif bir sayının tek bir kuvveti negatif sayıyı verir, bu yüzden ((-1)^{\text{tek sayı}} = -1).
- ( b = 0 ) ve ( a \neq 0 ): Sıfır kuvveti her zaman 1’dir, yani ( a^0 = 1 ).
Bu senaryoları denklemimize uygulayalım:
Adım 2: Senaryoların Uygulanması
1. Senaryo: ( x+1 = 1 )
- Bu, ( x = 0 ) olmalıdır. Bu durumda, ( (1)^{3x+7} = 1^{7} = 1 ). Bu senaryo çözümdür.
2. Senaryo: ( x+1 = -1 ) ve ( 3x+7 ) tek bir tam sayı
- Bu, ( x = -2 ) olmalıdır. Burada ( (-1)^{3(-2)+7} = (-1)^{-6+7} = (-1)^1 = -1 ) fakat bu çözümde 1 olması için negatif olmamalı.
3. Senaryo: ( 3x+7 = 0 )
- Bu, ( 3x = -7 ) yani ( x = -\frac{7}{3} ). Bu durumda, ( (x+1)^0 = 1 ) bu da geçerli bir çözümdür çünkü herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir.
Nihai Çözüm
Denklemi çözdüğümüzde ( x ) değerleri ( 0 ) ve ( -\frac{7}{3} ) olarak bulunur. Bu durumda çözümler:
x = 0 \quad \text{ve} \quad x = -\frac{7}{3}
Sonuç:
Reel sayılardaki çözüm kümesi ( { 0, -\frac{7}{3} } ) olacaktır.