Üniversite Fizik Sorusu Çözümü
a. t=0 s ve t=2 s arasında cihaza iletilen yükü bulunuz.
Akımı bir fonksiyon olarak verirsek:
[ i(t) = 6e^{-2t} , \text{mA} ]
Yük, akımın zamanla integrali alınarak bulunur:
[ Q = \int i(t) , dt = \int 6e^{-2t} , dt ]
Bu integrali çözelim:
[ Q = 6 \int e^{-2t} , dt = 6 \left(-\frac{1}{2} e^{-2t}\right) = -3 e^{-2t} + C ]
Sınırlar t=0 ve t=2:
[ Q = [-3 e^{-2(2)}] - [-3 e^{-2(0)}] ]
[ Q = -3 e^{-4} + 3 = 3(1 - e^{-4}) ]
b. Tüketilen gücü bulunuz.
Verilen gerilim:
[ V(t) = 10 \frac{di}{dt} ]
[ i(t) = 6e^{-2t} ]
[ \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(6e^{-2t}) = 6(-2)e^{-2t} = -12e^{-2t} ]
Bu durumda gerilim:
[ V(t) = 10(-12e^{-2t}) = -120e^{-2t} ]
Güç, gerilim ve akımın çarpımıdır:
[ P(t) = V(t) \cdot i(t) = (-120e^{-2t})(6e^{-2t}) = -720e^{-4t} ]
c. 3 saniyede tüketilen enerjiyi bulunuz.
Enerji, gücün zamanla integrali alınarak bulunur:
[ W = \int_0^3 P(t) , dt = \int_0^3 -720e^{-4t} , dt ]
Bu integrali çözelim:
[ W = -720 \int_0^3 e^{-4t} , dt = -720 \left(-\frac{1}{4} e^{-4t}\right) = 180 e^{-4t} \bigg|_0^3 ]
[ W = 180 [e^{-12} - e^{0}] = 180 (0 - 1) = -180 , \text{joule} ]
Negatif işaret, enerjinin tüketildiğini gösterir.
Özet: Bu problemde yük, güç ve enerji hesaplamaları yapıldı. Yük, akım integrali ile, güç akım ve türevleri kullanılarak ve enerji ise güç integrali ile belirlendi.