İndüktör Akımı ve Depolanan Enerji Sorusu
Cevap:
Soruda verilen bilgiler:
- İndüktör: 2 H (Henry)
- Başlangıç akımı: 0.3 A
- Gerilim: V(t) = 20(1 - e^{-2t}) V
Soruda istenenler:
- t = 1 s anındaki indüktör akımı.
- İndüktörde depolanan enerji.
1. İndüktör Akımının Bulunması:
İndüktör üzerindeki gerilim V(t), akımın türevine göre aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
V(t) = L \frac{di(t)}{dt}
Buradan akımın türevini bulup sonrasında akımın kendisini bulabiliriz:
20(1 - e^{-2t}) = 2 \frac{di(t)}{dt}
Türevi açarak:
20 - 20e^{-2t} = 2 \frac{di(t)}{dt}
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
10 - 10e^{-2t} = \frac{di(t)}{dt}
Şimdi bu ifadeyi i(t) cinsinden bulmak için integrasyon yapmamız gerekiyor:
\int di(t) = \int (10 - 10e^{-2t}) \, dt
Bu integralin çözümü:
i(t) = 10t + 5e^{-2t} + C
Başlangıç koşulu i(0) = 0.3 kullanılarak C sabitini bulalım:
i(0) = 10(0) + 5e^{0} + C = 0.3 \\
5 + C = 0.3 \\
C = 0.3 - 5 = -4.7
Bu durumda akım denklemi:
i(t) = 10t + 5e^{-2t} - 4.7
t = 1 için:
i(1) = 10(1) + 5e^{-2} - 4.7
Bu değeri hesaplayarak:
i(1) = 10 + 5 \cdot 0.1353 - 4.7 \\
i(1) \approx 10 + 0.6765 - 4.7 \\
i(1) \approx 5.9765 \, A
2. İndüktörde Depolanan Enerjinin Bulunması:
Enerji formülü:
W = \frac{1}{2} L i(t)^2
t = 1 için enerji:
W = \frac{1}{2} \times 2 \times (5.9765)^2 \\
W = 35.7192 \, J
Sonuç:
- t = 1 s anındaki indüktör akımı: Yaklaşık 5.9765 A
- İndüktörde depolanan enerji: Yaklaşık 35.7192 J